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        等離子體中雙流體模型的調(diào)制逼近*

        2022-10-12 03:28:22劉慧敏蒲學(xué)科
        關(guān)鍵詞:共振導(dǎo)數(shù)修正

        劉慧敏,蒲學(xué)科

        (1.山西財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030006;2.廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣州 510006)

        引 言

        等離子體模型是指在研究復(fù)雜的非平衡態(tài)等離子體時,經(jīng)常遇到多參變量的情況,為了從理論上定量地或定性地描述它們,利用一些互相補充的簡化模型常常是很有益的[1-2].本文在一維直線上考慮下列等離子體中的簡化雙流體模型:

        其中n表示離子的密度,v表示離子的速度,E 表示高頻電場,?是低頻電場的勢函數(shù),這些函數(shù)均定義在(x,t)∈R×R+上.此模型描述了離子聲波與等離子體波的相互作用,來源于Euler-Maxwell 系統(tǒng),即由離子和電子的Euler 方程,以及電場和磁場的Maxwell 方程耦合的雙流體模型.模型(1)的推導(dǎo)過程可參考文獻[3]及其相關(guān)文獻.

        對于雙流體模型(1),Guo 和Huang[4]利用常微分方程方法證明了孤立波的存在性、唯一性以及無窮遠處的漸近行為.Han、Zhang 和Guo[5]證明了三維空間中平衡態(tài)附近擾動解的整體存在性,該結(jié)果推廣了Guo 和Pausader[6]關(guān)于離子Euler-Poisson 模型(2)在三維空間中的小振幅整體光滑無旋解.事實上,當忽略高頻電場效應(yīng)時,雙流體模型(1)退化為下列離子Euler-Poisson 模型:

        對于離子Euler-Poisson 模型(2),Guo 和Pu[7]首次嚴格建立了一維冷離子以及熱離子兩種情形的KdV 極限.Pu[8]對高維的情形,即二維的KP-II 極限以及三維的ZK 極限進行了研究.之后,Liu 和Pu[9]嚴格證明了帶量子效應(yīng)的退化雙流體模型的量子KdV 極限.由于KdV 方程的解恰是非線性Schr?dinger (NLS)方程在小波數(shù)區(qū)域的解,故考慮色散模型的NLS 逼近是很有意義的事情.作為著名的非線性逼近方程,NLS 方程在一維直線上是完全可積的Hamilton 系統(tǒng),可以借助反散射方法對其求解[10].1968年,Zakharov[11]從流體動力學(xué)方程推導(dǎo)出了NLS 方程,用于考慮具有無限深度的自由表面理想流體.隨著研究的深入,學(xué)者們發(fā)現(xiàn)了一些重要的非線性波動現(xiàn)象(如等離子體中的離子聲波、電場中超導(dǎo)電子的運動以及非線性光學(xué)的自陷現(xiàn)象等)都可以用NLS 方程進行描述[12-13].最近,Liu 和Pu[14]利用normal-form 變換以及修正能量的方法嚴格證明了離子Euler-Poisson 模型(2)的NLS 逼近.本文將此結(jié)果[14]推廣到雙流體模型(1)的調(diào)制逼近.雙流體模型(1)是一個高度耦合的雙曲方程組,其線性色散關(guān)系有兩個:

        因而在研究調(diào)制逼近過程中,需要尋找合適的滿足耦合方程組兼容性的形式逼近解.本文考慮下列基本空間波數(shù)k0=0的關(guān)于時間震蕩的形式波列解:

        其中 0<? ?1是一個小擾動參數(shù),A表示復(fù)值振幅,c.c.表示復(fù)共軛.將式(4)代入模型(1)中,可得復(fù)振幅A滿足下列NLS 方程:

        其中X=?x∈R,T=?2t∈R,即時間和空間的調(diào)制尺度分別為O (1/?2)和 O (1/?),系數(shù)滿足νj∈R,j∈{1,2}.

        嚴格證明上面闡述的NLS 逼近過程不是一件容易的事情.Kalyakin[15]首次真正意義上地證明了擬線性色散系統(tǒng)的NLS 逼近結(jié)果,然而該系統(tǒng)中擬線性二次項被完全排除在外.目前,帶有擬線性二次項色散系統(tǒng)的NLS 逼近已取得了部分重要結(jié)果.具體來說,可以針對系統(tǒng)本身特點,尋找特殊變換將二次項消除,例如忽略表面張力且考慮無限深度的二維和三維水波問題[16-17].再如擬線性KdV 方程,Schneider[18]利用Miura 變換得到了NLS 逼近結(jié)果.另外,當原系統(tǒng)中右端二次項只丟失1 /2階導(dǎo)數(shù)時,可以借助normal-form 變換消除二次項,如忽略表面張力且考慮有限深度的二維水波問題.此時,由于變換后系統(tǒng)的右端項會丟失一階導(dǎo)數(shù),從而通過Cauchy-Kowalevskaya 定理便可得到NLS 逼近結(jié)果[19-20].利用normal-form 變換消除雙曲系統(tǒng)中半線性二次項的方法最早在文獻[21]中被介紹.Kalyakin[15]首次利用normal-form 變換證明了NLS 逼近理論.另外,當二次項丟失一階導(dǎo)數(shù)時,可以利用normal-form 變換修正能量泛函的方法,有效處理由擬線性項丟失導(dǎo)數(shù)引起的困難,例如Düll[22]證明了擬線性Klein-Gordon 方程在Sobolev 空間中的NLS 逼近結(jié)果,注意到這里的擬線性Klein-Gordon 方程的線性色散關(guān)系不會引起共振點.此外,Liu 和Pu[14]得到了離子Euler-Poisson 方程組的NLS 逼近結(jié)果,與上述模型不同,離子Euler-Poisson 方程組不僅二次項丟失一階導(dǎo)數(shù),而且會出現(xiàn)非平凡共振點,他們在Fourier 空間中利用截斷函數(shù)修正誤差,并通過投影算子將誤差的高低頻部分分開,對低頻部分直接應(yīng)用normal-form 變換,對高頻部分則利用此變換定義新的能量泛函,從而解決了由導(dǎo)數(shù)丟失以及共振點出現(xiàn)帶來的雙重困難.最近,Bian、Liu 和Pu[23]嚴格證明了一維帶量子效應(yīng)的退化雙流體模型的NLS 逼近結(jié)果,其中量子項會引起更高階導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn).另外,Düll[24]在弧長坐標下嚴格證明了二維有限深度水波的NLS 逼近,其中帶表面張力和不帶表面張力的情形均包含在內(nèi).注意到本文考慮的雙流體模型(1)是一個高度耦合的色散模型,包含兩種完全不同的色散關(guān)系,既會出現(xiàn)共振點又會損失導(dǎo)數(shù),因而與上述列舉模型均有所不同.本文將利用normal-form 變換消除低階項,結(jié)合方程本身的特點去構(gòu)造合適的修正能量泛函,最終嚴格論證雙流體模型(1)的NLS 逼近結(jié)果.

        定理1固定sA≥6,對于所有的C1,T0>0,都存在常數(shù)C2>0,?0>0,使得當NLS 方程(5)的所有解A∈C([0,T0],HsA(R,C))滿足

        時,下面的陳述成立.對于任意的? ∈(0,?0),模型(1)的解存在

        且滿足

        注1對于任意的t∈[0,T0/?2],相對于真實解 (E,n-1,v)和 逼近解 (?Aeit+c.c.,?2|A|2ζ)來 說,定理1 中階為O(?3/2)和O(?5/2)的誤差是足夠小的.換言之,由于NLS 逼近存在的時間尺度 ?-2足夠長,從而保證在原系統(tǒng)模型(1)中能夠很好地觀察到NLS 方程的動力學(xué)行為.

        注2定理1 中誤差的光滑性與復(fù)振幅A的光滑性一致,這一點可以通過修正逼近解使其在Fourier 空間中有緊支集來實現(xiàn),這是因為逼近解在Fourier 空間中的支集集中在k=0的某個鄰域.具體細節(jié)可參見本文第3 節(jié).

        注3由于雙流體模型(1) 中出現(xiàn)了擬線性二次項,這會引起三方面困難.首先,為了在時間尺度 O(?-2)上嚴格證明NLS 逼近,需要利用normal-form 變換消去誤差方程中階為O (1)的非線性項,而雙流體模型(1)的色散關(guān)系(3)導(dǎo)致消去過程中出現(xiàn)共振點k=0,本文充分利用了擬線性二次項在k=0處消失的特點來處理共振點.其次,擬線性二次項會損失一階導(dǎo)數(shù),因此在對誤差進行一致能量估計的過程中,需要充分利用模型的結(jié)構(gòu)特點解決導(dǎo)數(shù)損失的問題.最后,雙流體模型(1)的高度耦合性以及兩種完全不同的色散關(guān)系,使得在克服前兩種困難時需要更加細致的分析.

        本文具體結(jié)構(gòu)如下:第1 節(jié)列出本文中需要用到的記號以及預(yù)備引理;第2 節(jié)從形式上將NLS 方程導(dǎo)出,并給出余項的估計;第3 節(jié)利用normal-form 變換消去誤差方程中的低階項;第4 節(jié)充分利用誤差方程結(jié)構(gòu),通過構(gòu)造合適的修正能量泛函得到誤差的一致能量估計,從而嚴格證明了本文主要結(jié)論.

        1 預(yù)備知識

        符號說明函數(shù)u∈L2(R,K)的Fourier 變換定義如下:

        其中K=R或者K=C.Hs(R,K)表示從R映到K的函數(shù)空間.u∈Hs(R,K) 意著存在常數(shù)C使得

        ‖u‖Hs(R,K)≤C.

        泛函空間Lp(m)的定義如下:

        u∈Lp(m)(R,K)?u?m∈Lp(R,K),

        引理1(Cauchy-Schwarz 不等式) 設(shè)f,g在 R 上可積,則

        引理2(Young 不等式) 設(shè)a,b是非負實數(shù),p>1,那么

        j∈{±1}aj∈H2(R,R)fj∈H1(R,R)

        引理3設(shè),且,則有

        引理3的證明可以參考文獻[10]中的引理5.3.

        引理4(交換子估計)[25]設(shè)m≥1是一個整數(shù),定義交換子如下:

        則該交換子有下列估計:

        其中p,p2,p3∈(1,∞),且有

        2 形式推導(dǎo)和余項估計

        為了從雙流體模型(1)中形式推導(dǎo)出NLS 方程,首先將式(1)寫成一階偏微分方程組.為此,取平衡解附近的擾動解ρ=n-1,則由模型(1)中的Poisson 方程可知,存在可逆算子(ρ,E)→φ(ρ,E),使得

        進一步,令

        其中s gn(k)表示k的符號函數(shù).則由模型(1)的最后一個方程可得

        其中M1,M2是三次及高于三次的非線性項,均有很好的性質(zhì).此時,可將方程(1)重新書寫為一階偏微分方程組,并將其線性項、二次項以及高次項分開:

        下面通過變量替換,將式(8)的線性部分進行對角化處理.令

        將式(9)代入式(8)可得以下對角化方程組:

        其中j∈{±1},H1j(U,V),H2j(U,V)是關(guān)于U,V的三次及高于三次的項,且不會損失導(dǎo)數(shù),因而有比較好的估計.

        下面從對角化方程組(10)出發(fā),形式推導(dǎo)NLS 方程.做如下漸近展開:

        其中A±1為復(fù)值函數(shù),且滿足=A-1,B2為實值函數(shù).將漸近展開式(11)代入對角化方程(10)并取 ?的各階系數(shù)為零.在這個過程中,遇到如的項,可將 ωu(k)以 及(k)在k=0處Taylor 展開.令 ?3eit的系數(shù)為零,可得

        令 ?3的系數(shù)為零,可得

        為了證明NLS 方程(14)的逼近性質(zhì),需要考慮下列余項:這些余項就是將漸近展開式(11) 代入對角化方程(10) 之后所有未被消掉的項.通過對形式逼近解進行以下兩方面的修正,可以使余項任意小,進而有利于后面對誤差進行一致能量估計.首先,將式(11)從形式上展開到關(guān)于 ?更高階的項,形式上如式(15).實際上,展開到高階之后代入方程(10),類似的方法可得(p=2,3,4) 滿足線性非齊次Schr?dinger 方程.該方程的系數(shù)函數(shù)和自由項依賴于,且(q=3,4,5)滿足依賴于的代數(shù)方程,具體推導(dǎo)過程這里不再贅述.其次,利用截斷函數(shù)使逼近解在Fourier 空間中具有緊支集,且集中在k=0的某個小鄰域內(nèi).通過對逼近解進行這兩次修正,可以證明余項任意小,并且修正后的逼近解與修正前的逼近解差值很小.另外,第二步修正使得逼近解成為解析函數(shù),從而對誤差的能量估計更有利.此修正過程也可參考文獻[20].具體地說,修正后的逼近解(記為(?Ψ,?2Φ))有下列形式:

        其中

        引理5令sA≥6,設(shè)∈C([0,T0];HsA(R,C))是NLS 方程(14)的解,且滿足

        則對所有的s≥0,存在依賴于CA的常數(shù)CRU,CRV,CΨ,CΦ,?0,使得對所有的? ∈(0,?0),逼近解(?Ψ,?2Φ)滿足

        引理5的證明可參考文獻[20]中的引理5.事實上,前4個估計式成立的原因是修正逼近解 (?Ψ,?2Φ)在Fourier 空間中有緊支集.又由于對于所有的m,M≥0有

        其中χ[-δ,δ]是作用在[-δ,δ]上的特征函數(shù).引理5 中第三和第四個估計式經(jīng)常被用來估計下式:

        引理6[20]對所有的s≥0,存在常數(shù)C>0使得下式成立:

        3 Normal-form 變換

        為了嚴格證明NLS 逼近,需要對誤差作一致能量估計.為此,先推導(dǎo)誤差滿足的發(fā)展方程.根據(jù)第2 節(jié)得到的修正逼近解? Ψ,?2Φ,可設(shè)模型(10)的真實解有下列形式:

        其中j∈{±1},β=將式(17)代入方程(10)中可得誤差(R,S)滿足的發(fā)展方程為

        其中q滿足對于誤差方程(18) 和(19),線性算子 ?U和 ?V生成一致有界半群,因而不會產(chǎn)生困難.根據(jù)引理5 中的估計式以及 β的取值可知,余項滿足

        ?-βRUj=O(?4),?-β-1RVj=O(?2).

        由引理5 中逼近解的估計以及方程(10)中 H1j,2j的特點可知

        H1j,2j(?Ψ,?2Φ,R,S)=O(?2).

        另外,二次項滿足

        ?2(Q1(Φ,R),Q2(Ψ,S),Gj(Φ,S))=O(?2),

        ?β+1(Gj(S,S),Q2(R,S))=O(?β+1),

        ?β-1D(R,R)=O(?β-1).

        因此,為了在時間尺度 O(?-2)上得到NLS 逼近的有效性,只有誤差方程(19) 右端第二項即jD(Ψ,R)=?x[(Ψ1+Ψ-1)(R1+R-1)]需 要被消去,使其成為O (?2)項.下面利用normal-form 變換消去該問題項,令

        引理7Normal-form 變換(20)有以下性質(zhì):

        ① Normal-form 變換的核函數(shù)滿足

        且下列等式成立

        ② 對于任意的s≥6,存在常數(shù)C,使得

        證明將normal-form 變換(20)代入關(guān)于誤差S的發(fā)展方程(19)中可得

        故可定義(k)為

        注意到當k=0,=1時,分母確實為零,也就是說k=0是一個共振點,但由于二次項在k=0也為零,因此k=0為平凡共振點.除此之外,無其他共振點.因此,此處所做的normal-form 變換是有意義的,可以成功消去誤差方程中的O (1)項,引理7的第①條得證.根據(jù)引理5 關(guān)于逼近解的估計以及normal-form 變換的核函數(shù)的形式可以直接得到估計式(22),引理7的第②條得證.

        4 誤差估計

        將normal-form 變換(20)代入誤差方程(18)和(19)中,得到變換后的誤差方程為

        其中

        其中F1,F2表示不損失導(dǎo)數(shù)的項,即對于所有的s≥6有下列估計

        為了嚴格證明NLS 逼近的有效性,只需要得到誤差 (R,)在 時間尺度 O (?-2)上的一致能量估計.由于誤差方程(28)中二次項損失一階導(dǎo)數(shù)并且有交叉項,故首先介紹以下引理.

        引理8誤差方程(28)的兩個分量方程作差可得

        下面對誤差作能量估計.設(shè)

        現(xiàn)在分析?tM?.經(jīng)過計算可得

        由于色散算子 ?U,?V是反對稱微分算子,因而等式(33)右端第一項和第三項均為零.又根據(jù)估計式(29)、引理5、Cauchy-Schwarz 不等式、Sobolev 嵌入H1L∞以及Young 不等式可得,等式(33)右端第二項和最后一項可以被控制.對等式(33)進一步利用交換子的定義(6),可得

        回顧式(3)可知,當|k|→∞時,有

        對式(34),利用式(35)、式(30)、分部積分、交換子估計(7)、引理5、Cauchy-Schwarz 不等式、Sobolev 嵌入H1L∞以及Young 不等式可得

        因此,可以定義如下形式的修正能量泛函:

        其中

        對于封閉的能量估計式(38),利用Gronwall不等式可知,對于足夠小的?>0,在t∈[0,T0/?2]上是一致有界的.另外,根據(jù)normal-form 變換(20)及其估計(22)可得,因此,對角化模型(10)的真實解與修正逼近解 ?Ψ,?2Φ 之間的誤差 (R,S)在t∈[0,T0/?2]上是一致有界的.進一步地,根據(jù)引理5 中關(guān)于逼近解的估計,以及可逆變換(9)可得定理1的結(jié)論.

        5 結(jié)論與展望

        本文研究了一類雙流體模型的調(diào)制逼近,其中調(diào)制逼近解是關(guān)于時間震蕩的正弦波列.在嚴格證明該調(diào)制逼近的有效性時,模型中擬線性二次項會引起平凡共振點k=0的出現(xiàn)以及導(dǎo)數(shù)的損失.本文通過利用normal-form 變換并構(gòu)造合適的修正能量泛函,最終在時間尺度O (?-2)上嚴格證明了誤差的一致能量估計.若考慮關(guān)于時空的震蕩逼近解,則證明調(diào)制逼近過程中還會出現(xiàn)兩個非平凡共振點.尋找合適的權(quán)重函數(shù)有望解決非平凡共振點引起的困難,筆者擬將另文探討.

        致謝本文作者衷心感謝山西財經(jīng)大學(xué)青年基金項目(QN-202021)對本文的資助.

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