文/萬廣磊
法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F.Vieta,1540—1603)第一次有意識(shí)地使用系統(tǒng)的代數(shù)字母與符號(hào),以輔音字母表示已知量,元音字母表示未知量,推進(jìn)了方程論的發(fā)展,使代數(shù)成為一般類型的形式和方程的學(xué)問,因其抽象而應(yīng)用更為廣泛,被稱為“代數(shù)符號(hào)之父”。
在研究一元二次方程的解法時(shí),他發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間存在的特殊關(guān)系,也就是我們學(xué)習(xí)的“韋達(dá)定理”。有趣的是,韋達(dá)在16 世紀(jì)就發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理,證明這個(gè)定理要依靠代數(shù)基本定理,而代數(shù)基本定理卻在1799 年才由高斯作出第一個(gè)實(shí)質(zhì)性的論證。
韋達(dá)定理
已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù),a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2,那么
下面我們用兩種方法證明。
證法一:
∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù),a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2,
證法二:
關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù),a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2,
將等式的左邊進(jìn)行因式分解,得
進(jìn)一步化簡等式右邊,得
對(duì)比等式兩邊,可得
同學(xué)們,你還有其他的證明方法嗎?請(qǐng)大膽挑戰(zhàn)一下,寫下來。