文/聶雨薇
一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),也是中考必考內(nèi)容之一。但不少同學(xué)常因?yàn)楦拍畈磺?、解法不?dāng)?shù)仍颍诮鉀Q一元二次方程相關(guān)問題時出現(xiàn)錯誤?,F(xiàn)從一元二次方程的概念、解法、根與系數(shù)的關(guān)系、應(yīng)用等方面進(jìn)行錯解例析,希望同學(xué)們能從中吸取經(jīng)驗(yàn),避免犯同樣的錯誤。
例1若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+(m+2)=0 有實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是________。
【錯解】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+(m+2)=0 有實(shí)數(shù)根,所以(-2m)2-4(m-1)(m+2)≥0,解得m≤2。
【錯因】本題雖然考查的是根的判別式,但不少同學(xué)錯在忽略了一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不等于0這一條件,屬于概念不清。
【正解】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+(m+2)=0 有實(shí)數(shù)根,所以(-2m)2-4(m-1)(m+2)≥0,得m≤2。又因?yàn)閙-1≠0,即m≠1,所以m≤2且m≠1。
【評析】同學(xué)們都知道利用根的判別式求解此題,但經(jīng)常會忽視隱藏條件。題目中交代了該方程是一元二次方程,而一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 中a≠0,這是解題的關(guān)鍵。當(dāng)然,若將題目中的“一元二次方程”改為“方程”,就需要分類討論了,同學(xué)們可以想想答案是什么。
例2解方程:(1)(x+1)2=9;(2)x2+x=2;(3)(x-2)2=3(x-2)。
【錯解】(1)x+1=3,x=2;
(2)運(yùn)用公式法,將a=1,b=1,c=2 代入求根公式,方程無解;
(3)方程兩邊同除以x-2,得x-2=3,x=5。
【錯因】(1)未掌握平方根的定義,導(dǎo)致用直接開平方法求解方程時漏根。
(2)用公式法求解方程時未將方程化為一般式,導(dǎo)致a、b、c提取錯誤,進(jìn)而影響結(jié)果。
(3)等式的基本性質(zhì):等式兩邊都乘(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不能是0),所得結(jié)果仍是等式。錯解未正確使用等式的基本性質(zhì),未考慮到x-2=0 的情況,導(dǎo)致漏掉了x=2 這個根。
【正解】(1)x+1=±3,x+1=3 或x+1=-3,解得x1=2,x2=-4。
(2)化為一般式后再運(yùn)用公式法,將a=1,b=1,c=-2代入求根公式,解得x1=1,x2=-2。
(3)(x-2)2-3(x-2)=0,(x-2)(x-2-3)=0,x-2=0或x-2-3=0,解得x1=2,x2=5。
【評析】用直接開平方法解一元二次方程時,一要注意將方程右邊化為非負(fù)常數(shù)再開平方,二要謹(jǐn)防漏根,部分同學(xué)還會犯以下錯誤:x+1=±3,x=±2;用公式法解一元二次方程時,除了要準(zhǔn)確記憶公式,還要記得先將方程化為一般式,準(zhǔn)確提取a、b、c的值;應(yīng)用等式的基本性質(zhì)解方程,切不可在方程兩邊同除以含未知數(shù)的代數(shù)式。此外,對于一個一元二次方程,同學(xué)們在求解時要合理選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?,其中因式分解法簡便易用,是解一元二次方程常用的方法,因而在解方程?)時,我們無需展開再求解。
例3關(guān)于x的方程x2-(k+1)x+k+2=0的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1和x2,且x12+x22=6,則k的值是________。
【錯解】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,可得x1+x2=k+1,x1x2=k+2,則x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k+1)2-2(k+2)=6,解得k=±3。
【錯因】一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系存在的前提是方程有根。因此,在解出k的值后,要判斷是否符合題意。
【正解】因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2-(k+1)x+k+2=0的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1和x2,
所以x1+x2=k+1,x1x2=k+2。
因?yàn)閤12+x22=6,
所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k+1)2-2(k+2)=6。
解這個方程,得k=±3。
當(dāng)k=3 時,b2-4ac=16-20=-4<0,不符合題意;
當(dāng)k=-3時,b2-4ac=4+4=8>0,符合題意。
所以k=-3。
【評析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,涉及根的判別式、完全平方公式等。運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題時,我們切記必須保證方程有實(shí)數(shù)根。我們可以通過根的判別式求出k的具體范圍,也可以直接代入驗(yàn)證,相對來說后者計算量較小。
例4某商店經(jīng)銷一批季節(jié)性家電,每臺成本40元,經(jīng)市場預(yù)測,定價為52元時,可銷售180 臺,定價每增加1 元,銷售量將減少10 臺。商店銷售該家電獲利2210 元,同時讓顧客更實(shí)惠,那么每臺家電定價應(yīng)為多少?
【錯解】設(shè)每臺家電定價為x元。
根據(jù)題意,得(x-40)[180-10(x-52)]=2210。整理,得x2-110x+3021=0。解這個方程,得x1=53,x2=57。
答:每臺家電定價為53元或57元。
【錯因】解出兩個根后,未根據(jù)題目中“同時讓顧客更實(shí)惠”這一要求對根進(jìn)行取舍。
【正解】設(shè)每臺家電定價為x元。
根據(jù)題意,得(x-40)[180-10(x-52)]=2210。整理,得x2-110x+3021=0。解這個方程,得x1=53,x2=57。
為讓顧客更實(shí)惠,每臺家電定價57 元不合題意,舍去。
答:每臺家電定價為53元。
【評析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,要求同學(xué)們能夠理解題意并根據(jù)“總盈利=單件利潤×數(shù)量”的等量關(guān)系準(zhǔn)確列出方程。在解決實(shí)際問題時,一定要記得檢驗(yàn),除了檢驗(yàn)根是否滿足方程本身,更要檢驗(yàn)最終方案是否符合實(shí)際意義。