羅元庚，張曉紅，馮 澤

(1.太原科技大學經(jīng)濟與管理學院，太原 030024；2.太原科技大學工業(yè)與系統(tǒng)工程研究所，太原 030024)

在工業(yè)生產應用中，為保證生產的連續(xù)性和安全性，同時避免長時間的維修停機造成的高昂生產損失[1]，諸如礦井通風機、電廠火檢冷卻機等系統(tǒng)均設計為可切換式兩設備冗余結構，采用離線切換式維修，在運行設備使用一定周期后切換至備用設備，兩個設備交替使用，切換后在生產的同時再對切換下來的設備進行離線檢修或保養(yǎng)后再使用。

由于此類可修系統(tǒng)中設備存在交替使用的特點，系統(tǒng)的故障特性由兩個冗余設備的性能及退化特性共同決定。如何為可修系統(tǒng)安排合理的切換及維修活動，有效地提高系統(tǒng)可靠性，延長系統(tǒng)的使用壽命是一個值得研究的問題[2]。

已有許多學者針對可修系統(tǒng)開展了維修決策研究。和不可修系統(tǒng)的維修決策研究相似，前期的可修系統(tǒng)維修決策也多采用基于時間的維修建模理論，提出了基于失效次數(shù)的更換策略N[3]、基于使用時間的周期性更換策略T[4]和綜合考慮失效次數(shù)和使用時間的(T，N)更換策略[5]。但基于時間的維修決策[6]易出現(xiàn)“過維修”或“欠維修”的情況。

視情維修通過對系統(tǒng)實際劣化程度的評估安排維修工作，減少不必要的維修。許多學者研究了可修系統(tǒng)的視情維修決策。如Zhu等[7]針對連續(xù)劣化的可修系統(tǒng)，引入聯(lián)合維修周期，研究了視情維修策略的決策問題。Hossein Rahimi[8]制定了包含多種不同效果的多種維修方式的維修策略，建立了同時考慮劣化和沖擊的視情維修決策模型。Alaswa[9]對隨機劣化系統(tǒng)的視情維修優(yōu)化模型進行了綜述，歸納了單部件可修系統(tǒng)和多部件可修系統(tǒng)的建模方法。

修理效果決定了系統(tǒng)在維修后再投入再生產的潛在價值，維修效果通常為非完美的。Pham等[10]歸納了基于系統(tǒng)年齡的8種非完美維修建模方法。視情維修策略中的非完美維修效果建模多是參考前期基于時間維修策略下的建模方式衍生改進的。文獻[11-12]建立了可修系統(tǒng)的隨機非完美維修模型。徐立新[13]用確定的維修因子描述可修系統(tǒng)的視情非完美維修效果。李志強[14]針對馬爾科夫多狀態(tài)可修系統(tǒng)，建立了視情非完美維修決策模型。Mercier[15]針對可修系統(tǒng)比較了役齡遞減和狀態(tài)算術遞減的兩種非完美維修模型。

本文針對需周期切換且狀態(tài)可測的可修系統(tǒng)，制定了切換式離線視情維修策略，引入維修資源投入度的概念，分析了維修資源投入度對修理效果、修理時間和修理成本的影響關系模型，建立了有限時間范圍內以平均費用率最小為目標的解析模型，并采用遺傳算法進行優(yōu)化，得到了最優(yōu)切換周期、預防性維修閾值和維修資源投入度。

1 系統(tǒng)描述

本文關注的是由一用一備兩個設備組成的切換式可修系統(tǒng)，運行設備的故障會導致整個系統(tǒng)的故障，其劣化可近似表征系統(tǒng)的劣化特性。

1.1 系統(tǒng)劣化建模及假設

由于兩個設備通常相同或相似，可假設具有相同的劣化特性，其劣化過程定義如下：

(1)設備在運行過程中發(fā)生單調累積劣化，其劣化水平是一個可檢測的隨機量，其劣化過程形成了一個連續(xù)隨機過程{Z(t)，t≥0}；

(2)設t時刻設備的劣化狀態(tài)為Xt.t=0時刻，部件全新，X0=0，Xt隨時間不斷增大，當Xt超過預先設定的故障閾值Df時，設備發(fā)生累積劣化故障，該故障不會導致系統(tǒng)直接停機，僅可通過檢測發(fā)現(xiàn)，故障后設備可以繼續(xù)劣化運行；

(3)設備任意第k個單位時間Δt的劣化增量ΔX(k)=XkΔt-X(k-1)Δt(k∈N)是服從概率密度函數(shù)為f(x)的非負穩(wěn)定且獨立的隨機變量。則t個單位時間內的劣化增量服從概率密度函數(shù)為f(t)(x)的分布，f(t)(x)是f(x)的t次卷積。

1.2 切換式離線視情維修策略

對系統(tǒng)采用切換式離線視情維修策略，該策略下，運行設備與備用設備按照交替使用和修理，同一設備在相鄰周期內被用作運行設備和備用設備。

分別用A和B表示系統(tǒng)的運行設備和備用設備，為設備定義了預防維修閾值Dp，一般認為0

(1)系統(tǒng)每運行T個單位時間，用備用設備對運行設備進行切換。單次切換成本為Cr，相比系統(tǒng)的運行時間，切換時間較短，故假設忽略；

(2)由檢測設備對切換后的設備B的劣化狀態(tài)進行檢測，單次檢測成本為Cins，檢測為瞬間無損檢測，和切換時間類似，檢測時間假設忽略；

(4)因系統(tǒng)的修理時間和訂購時間均具有隨機性，若修理時間或訂購時間大于系統(tǒng)運行時間T，則無法及時切換，為保證系統(tǒng)的安全生產，系統(tǒng)停機等待，單位時間產生停機損失Cd.

2 模型建立

選用系統(tǒng)的維修費用率最小作為目標，建立費用率決策模型。用R表示建模的時間范圍，C(R)表示時間范圍內的維修總成本，CR表示維修費用率，設R包含N個運行周期，由于系統(tǒng)可能停機，實際的周期長度R≥NT，決策模型定義如下：

(1)

切換周期T、預防維修閾值Dp、維修資源投入度W的大小會對系統(tǒng)的費用率目標產生直接影響。故將其作為決策變量。模型表示如下：

s.tT=1，2，…；0

(2)

(3)

則第k個周期產生的期望總費用為：

(4)

綜上，N個周期的總費用為：

E(C(R))=N(Cr+Cins)+

(5)

任意第k個運行周期實際周期長度分析如下：

當k=1時，由于備用設備處于全新，沒有停機可能性，故周期時間長度僅包含系統(tǒng)的正常運行時間T.

因此，N個運行周期總時間為：

(6)

則費用率模型可表示為：

minCR(t)=

s.t.T=1，2，…；0

(7)

3 系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率模型

系統(tǒng)的劣化由兩個設備的交替退化共同確定，且受到修理過程的影響。系統(tǒng)中的設備的交替劣化示意過程如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)劣化狀態(tài)轉移及維修示意圖Fig.1 system deterioration state transition and maintenance diagram

在系統(tǒng)第一個周期(k=1)和第二個周期(k=2)均使用全新的設備，故周期結束時系統(tǒng)的狀態(tài)分布為初始分布Ω1(X)=Ω2(X)=f(T)(x).

第k(3≤k≤N)個運行周期開始時，系統(tǒng)是由第k-2個運行周期結束后切換后設備經(jīng)過維修后再使用。因此，第k個運行周期結束時系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布可由第k-2個運行周期結束時設備的所有狀態(tài)分析得到。第k-2個運行周期中對備用設備的處理方式有不維修、預防性維修以及報廢處理三種。

(8)

(9)

利用式(10)正交近似數(shù)值求解規(guī)則對穩(wěn)態(tài)密度函數(shù)計算。

(10)

令s(x)=f(T)(x)，采用Dmax對∞進行截尾，每一個正交點的近似方程可表示為：

(11)

其中，x/h=i，y/h=j，Dp/h=aDf/h=b，Dmax/h=c.用向量形式表示穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的解Ωk=[Ωk(h)，Ωk(2h)，…，Ωk(ch)]T，則有:

Ωk=hK1Ωk-2+hK2Ωk-2+hK3Ωk-2

(12)

其中，

K1=

(13)

(14)

(15)

可通過遞推方式求得Ωk的數(shù)值近似解。

4 維修資源投入度影響分析

系統(tǒng)的維修資源投入度直接影響修理任務完成所需的修理時間和修理成本，同時決定修理效果的好壞。

4.1 維修資源投入度與修理效果

通常，隨維修資源投入度的增大系統(tǒng)的修理效果更佳，二者呈現(xiàn)單調遞增的關系。本文的模型中，修理效果越好，修復后的狀態(tài)值越小，即Q越趨近0，而修理效果越差，Q越趨近1.

若維修初期的資源投入對改善效果較為明顯，而當修理效果達到一定程度，更多資源投入對效果的改善不明顯時。如鋰電池的充電過程和軋輥的修磨過程。因此，維修資源投入度與Q的關系可表征為圖2中的曲線a.若維修初期受修理設備磨合和修理工技術熟練程度影響，修理效果改善不明顯，而后期效果較好，則其關系可表示為圖2中的曲線b.若Q隨維修資源投入度勻速變化時，二者呈線性關系，如圖2中的c.

圖2 維修資源投入度與修理效果關系示意圖Fig.2 The relationship between maintenance resource input degree and repair effect

4.2 維修資源投入度與修理成本、時間

維修資源投入度是維修資源投入的量化，維修資源使用越多，所付出的成本也越大。因此維修資源投入度與修理成本呈現(xiàn)單調遞增關系。

由于維修時間具有隨機性，故本文選擇對修理時間期望與維修資源投入度之間的關系進行建模。維修資源投入度越高，在給定資源條件下耗時越長，故維修資源投入度與平均修理時間呈現(xiàn)一種單調遞增關系。

5 數(shù)值實驗

通風設備是保證煤礦安全生產的主要設備之一，礦井地面的通風機按規(guī)定一般均為兩臺，其中一臺運行，一臺備用，定期輪流倒換運行。通風機實際的性能隨使用而逐漸改變。并且其性能指標可以通過傳感器定期檢測獲得。隨著設備的使用，通風裝置不斷耗損，導致風量減小，需要進行維修干預才能保證系統(tǒng)的風量。由此可見，礦井通風機的劣化是一個連續(xù)累積的退化過程，并且其劣化狀態(tài)具有可檢測性。本文以礦井通風機為對象，驗證提出的維修決策和建立的模型的正確性及有效性。

5.1 穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的數(shù)值求解

設單臺設備在單位時間內系統(tǒng)劣化增量服從Γ(α，β)，則t個單位時間內的累積增量服從分布Γ(tα，β).選取實驗數(shù)據(jù)α=1.2，β=2，T=10，Dp=15，W=0.6，N=20，Df=35，以非更換手段很難將設備恢復全新，故定義維修因子Q=v(W)=1-W2.

圖4顯示了不同運行次數(shù)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)Ωk(x)的近似數(shù)值解，其中用4Df對積分上限∞作截尾處理。由圖可知隨著系統(tǒng)運行次數(shù)k的增加，Ωk(x)均值明顯右移，峰值在逐漸減小，系統(tǒng)單位時間內劣化增量的均值不斷增大。

圖4 不同運行次數(shù)的穩(wěn)態(tài)概率密度近似解Fig.4 The approximate solution of stable probability density under different running times

(1)正確性分析

圖5-圖6顯示了不同系統(tǒng)的劣化參數(shù)的Ωk(x)的近似數(shù)值解。隨著形狀參數(shù)α和尺度參數(shù)β的增大，系統(tǒng)單位時間的劣化增量均值增大。且由于β對單位時間劣化增量的方差是以平方級影響，故圖形變化更為明顯。

圖5 β=2的穩(wěn)態(tài)概率密度近似解Fig.5 The approximate solution of stable probability density when β=2

圖6 α=1.2的穩(wěn)態(tài)概率密度近似解Fig.6 The approximate solution of stable probability density when α=1.2

(2)有效性分析

基于制定的維修策略，每次僅改變某一個參數(shù)分析T、Dp、W對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的影響。

圖7、圖8顯示了Ωk(x)闥鎀和Dp的變化情況。不難發(fā)現(xiàn)，隨著T和Dp增大，系統(tǒng)的故障概率增大，且T對故障概率的影響較大。

圖7 不同切換周期對應的穩(wěn)態(tài)概率密度近似解Fig.7 The approximate solution of stable probability density under different switching periods

圖8 不同預防維修閾值對應的穩(wěn)態(tài)概率密度近似解Fig.8 The approximate solution of stable probability density under different preventive maintenance thresholds

圖9顯示Ωk(x)隨W的變化情況。隨著W的增大，系統(tǒng)的修理效果提升，故障概率降低。

圖9 不同維修資源投入度對應的穩(wěn)態(tài)概率密度近似解Fig.9 The approximate solution of stable probability density under different maintenance input degrees

以上實驗結果表明，改變系統(tǒng)的T、Dp、W均會改變Ωk(x)的數(shù)值解，進而改變維修需求概率和修理效果等。

5.2 優(yōu)化模型的近似解

假設Cp與W之間符合圖3(a)中的曲線b的變化趨勢，參考文獻[16]定義修理成本Cp=ηe2W-1，其中η為成本基數(shù)。假設Cins=3，Cr=5，Cd=50，Cc=100，η=12，τo服從參數(shù)為30的指數(shù)分布。假設E(τm)與W之間符合圖3(b)中的曲線c的變化趨勢，參照文獻[17]定義τm服從參數(shù)為(8，2-W)的威布爾分布，實驗費用參數(shù)單位均為千元。

圖3 維修資源投入度與修理成本、時間關系示意圖Fig.3 The relationship between maintenance resource input degree，repair effect and time

(1)模型比較分析

為了驗證維修資源投入度及切換式離線視情維修策略對維修成本的影響，將本文模型與傳統(tǒng)在線視情維修模型和未考慮維修資源投入度的離線視情維修模型進行比較，實驗結果如表1.實驗結果表明，依據(jù)本文維修策略建立的解析模型能有效的降低系統(tǒng)維修費用率。

表1 不同模型最優(yōu)維修策略及費用率Tab.1 The optimalmaintenance strategy and expense rate

(2)靈敏度分析

分別對成本參數(shù)Cr、Cins、Cd、Cc、Cp計算基數(shù)η進行增大或者縮小適當倍數(shù)的處理，分析該參數(shù)對最優(yōu)維修策略參數(shù)的影響，其優(yōu)化結果分別如表2至表6所示。

由表2可知，隨著Cr增大，T隨之增大，系統(tǒng)檢測頻率降低。Dp隨之增大，減少預防性維修概率，降低修理費用，但由于檢測周期和Dp的增大，系統(tǒng)故障風險增大，W提高，增強修理效果抵御風險。

表2 切換成本Cr對最優(yōu)維修策略的影響Tab.2 The influence of switching cost Cron optimal maintenance strategy

由表3可知，隨著Cins的增大，W隨之減小，Dp隨之增大，通過降低系統(tǒng)預防維修費用控制系統(tǒng)總費用率。同時，T對Cins變化不敏感。

表3 檢測成本Cins對最優(yōu)維修策略的影響Tab.3 The influence of inspection cost Cins on optimal maintenance strategy

由表4可知，隨Cd的增加，T隨之減小，系統(tǒng)檢測頻率增加，系統(tǒng)的劣化狀態(tài)捕捉更及時，停機風險降低。W隨之增大，預防維修的修理效果提升，以降低系統(tǒng)發(fā)生故障的概率。Dp降低，提高系統(tǒng)預防性維修的概率，降低系統(tǒng)發(fā)生故障的概率。

表4 停機成本Cd對最優(yōu)維修策略的影響Tab.4 The influence of downtime cost Cdon optimal maintenance strategy

由表5可知，隨著Cc的增加，T隨之減小，系統(tǒng)檢測頻率增加，降低系統(tǒng)故障概率。Dp隨之減小，提高預防性維修概率，減少系統(tǒng)故障概率，由于適當降低W，降低修理成本。

表5 報廢處理成本Cc對最優(yōu)維修策略的影響Tab.5 The influence of discard treatment cost Ccon optimal maintenance strategy

由表6可知，隨著η的增加，W隨之減小，降低系統(tǒng)的修理成本。Dp隨之增大，減小預防性維修的概率。但由于修理效果和預防維修概率降低，T隨之降低，系統(tǒng)檢測頻率增加，降低發(fā)生故障概率。

6 總結

本文針對需周期切換的可修系統(tǒng)，制定了切換式離線視情維修策略，考慮了維修資源投入度對修理效果、時間及成本的影響，推導了有限時間范圍內各周期的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的計算模型，建立了以最小費用率為目標的決策模型。通過遺傳算法優(yōu)化，得到了系統(tǒng)全局最優(yōu)的維修決策變量值。并以礦井通風機為案例進行了數(shù)值實驗，實驗結果表明，提出的離線視情維修策略能有效的降低系統(tǒng)的維修成本。