王 琮，沈會良，夏永祥，白光晗，方依寧

（1.浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院，浙江 杭州 310063；2.杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江 杭州 310018；3.國防科技大學(xué)智能科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410073）

0 引 言

隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，現(xiàn)代戰(zhàn)爭已逐漸向著信息化作戰(zhàn)的方向演變，各種高新技術(shù)武器裝備日益成為制約戰(zhàn)斗力發(fā)展的關(guān)鍵。要充分發(fā)揮現(xiàn)有裝備的作戰(zhàn)能力，就要建立起與之相配套的裝備保障體系，實現(xiàn)精確保障。裝備保障體系是指在動態(tài)不確定環(huán)境中，由具有一定保障功能的保障實體，按照一定的保障原則，通過多種交通方式下的交通樞紐之間的互聯(lián)互通，綜合集成的以完成特定保障任務(wù)的有機整體。近年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論不斷發(fā)展，鑒于裝備保障體系在體系結(jié)構(gòu)、組成要素、連接關(guān)系等方面與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論有著相當(dāng)?shù)钠ヅ湫?，將?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究方法應(yīng)用于研究裝備保障體系中，對裝備保障體系的建設(shè)和發(fā)展有著重要意義。

裝備保障體系在肩負重要保障任務(wù)的同時，也逐漸成為對方打擊的重點目標(biāo)。尤其是面對信息化戰(zhàn)場，對方對己方后勤保障網(wǎng)絡(luò)的精確打擊，使得裝備保障網(wǎng)絡(luò)的抗毀性受到越來越大的考驗。研究表明，現(xiàn)實中大部分網(wǎng)絡(luò)都具有無標(biāo)度的特性，這些網(wǎng)絡(luò)對隨機攻擊具有較強的承受能力，但只需要對一些關(guān)鍵節(jié)點進行攻擊，那么網(wǎng)絡(luò)將會一觸即潰。國外有關(guān)研究表明，摧毀一個系統(tǒng)，只需要使這個系統(tǒng)5%到10%的關(guān)鍵節(jié)點同時失效就能夠達到目的。美國在2003年發(fā)生的北美停電事故，便是部分“關(guān)鍵節(jié)點”故障造成的。因此，研究裝備保障體系的關(guān)鍵節(jié)點識別技術(shù)，尋找薄弱環(huán)節(jié)，從而為進一步優(yōu)化裝備體系結(jié)構(gòu)、進行作戰(zhàn)部署打好基礎(chǔ)，對未來戰(zhàn)爭而言，有著重要的意義。

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域中，過去經(jīng)常使用節(jié)點中心性指標(biāo)來對節(jié)點的重要性進行衡量，從而識別關(guān)鍵節(jié)點。常用的有節(jié)點的度中心性、介數(shù)中心性、接近中心性等。然而，這類指標(biāo)在用于識別關(guān)鍵節(jié)點時，都存在一定的局限性。度中心性是一種基于節(jié)點局部特征的指標(biāo)，缺少全局化的視角。介數(shù)中心性及接近中心性則是基于全局特征，根據(jù)節(jié)點間的最短距離路徑衡量節(jié)點重要性。然而，在一些現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點間并非沿最短距離路徑傳輸。這類傳統(tǒng)指標(biāo)僅依照網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)衡量節(jié)點的重要性，忽略了實際應(yīng)用需求等因素可能造成的影響。因此，這類指標(biāo)在實際使用時識別關(guān)鍵節(jié)點的能力有限，現(xiàn)在常被當(dāng)作參照指標(biāo)來評估其他節(jié)點重要性指標(biāo)的性能。

為了進一步提高識別關(guān)鍵節(jié)點的準(zhǔn)確性，許多學(xué)者在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上，通過結(jié)合多個中心性指標(biāo)或是對中心性指標(biāo)加以改進，提出了多種新的節(jié)點重要性指標(biāo)?？紤]到節(jié)點重要性不僅與節(jié)點自身的度中心性相關(guān)，還與節(jié)點鄰域范圍內(nèi)節(jié)點的中心性有關(guān)。文獻［11］針對度中心性指標(biāo)的局限性進行改進，充分考慮每個節(jié)點的四階鄰居中包含的信息，稱為Local Rank算法。同樣考慮鄰居節(jié)點的影響，文獻［12］使用結(jié)合節(jié)點自身的度中心性及周圍鄰居節(jié)點平均度的方法，對關(guān)鍵節(jié)點進行識別，從而得到優(yōu)于傳統(tǒng)指標(biāo)的結(jié)果。文獻［13］則在考慮鄰域范圍內(nèi)的連邊數(shù)對節(jié)點重要性影響的基礎(chǔ)上，進一步考慮節(jié)點聚類系數(shù)的影響，并得出在一般情況下，鄰居節(jié)點數(shù)量相同時，節(jié)點的聚類系數(shù)越大，其影響越小。除了考慮節(jié)點的鄰域性造成的影響之外，節(jié)點間的傳輸路徑也是影響節(jié)點重要性的關(guān)鍵所在。文獻［14］研究了城市交通系統(tǒng)中流量、節(jié)點中心性及節(jié)點關(guān)鍵性的關(guān)系，得出了介數(shù)中心性指標(biāo)與系統(tǒng)彈性間的關(guān)聯(lián)性。文獻［15］則對根據(jù)全局路由得到的節(jié)點介數(shù)中心性指標(biāo)進行了改進，將統(tǒng)計范圍由全局改為節(jié)點所在的局域，并進一步與接近中心性指標(biāo)相結(jié)合，綜合評估節(jié)點的重要性。另外，有文獻綜合考慮多種因素影響，結(jié)合多種指標(biāo)進行多屬性排序。例如，文獻［20］綜合了節(jié)點的度中心性、介數(shù)中心性及接近中心性3種指標(biāo)作為最終評估節(jié)點重要性的指標(biāo)，表明節(jié)點傳輸?shù)男畔⒘吭蕉?、傳輸效率越高以及信息控制能力越強，?jié)點越重要。文獻［21］綜合考慮了節(jié)點的局部與全局信息，提出節(jié)點的度值越大（對應(yīng)局部連接能力越強），與周圍節(jié)點間的距離越短且權(quán)重越大（對應(yīng)全局傳輸能力越強），則節(jié)點的影響力越大。文獻［22］則指出了結(jié)合多個指標(biāo)量化節(jié)點影響力這一策略的研究價值。為了綜合評價節(jié)點重要性，一種基于與理想目標(biāo)相似性偏好排序的多屬性排序方法也已被多種研究采用，用于關(guān)鍵節(jié)點的識別。除了提出節(jié)點重要性指標(biāo)角度外，部分研究還采用智能算法對關(guān)鍵節(jié)點進行識別。

本文在上述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵節(jié)點識別方法的基礎(chǔ)上，提出一種新的用于裝備保障體系中關(guān)鍵節(jié)點識別的方法。從保障節(jié)點的局部連接能力、全局運輸能力周圍保障節(jié)點的影響等多個角度綜合評估保障節(jié)點的重要性。對于裝備保障體系而言，在維持自身正常運行的狀態(tài)下，還應(yīng)支撐相應(yīng)的任務(wù)需求，不同的任務(wù)需求可能對關(guān)鍵節(jié)點的識別造成影響。裝備保障體系在完成保障任務(wù)時，面對的任務(wù)需求主要包括減少時間成本和降低經(jīng)濟成本兩方面。不同場景下兩種任務(wù)需求的優(yōu)先級不同，使得保障物資的運輸線路規(guī)劃受到影響，進而導(dǎo)致保障網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的重要性發(fā)生變化。因此，本文通過定義一種面向任務(wù)需求的路由規(guī)劃方法，衡量不同任務(wù)需求對保障節(jié)點重要性造成的影響，并綜合路由規(guī)劃結(jié)果，提出一種新的節(jié)點重要性指標(biāo)。通過與另外6種常用的節(jié)點重要性評價指標(biāo)作比較，模擬多種不同的保障任務(wù)需求，評估各種指標(biāo)在識別多個及單個關(guān)鍵保障節(jié)點上的性能。

本篇文章內(nèi)容安排如下：引言介紹了研究背景和現(xiàn)狀，針對不足之處提出了本文的改進方法；模型描述部分主要介紹了本文使用到的各類模型，包括用于模擬裝備保障體系的網(wǎng)絡(luò)模型、運輸保障物資的路由模型、連邊容量及擁塞模型；節(jié)點重要性指標(biāo)部分介紹并定義了本文使用到的節(jié)點重要性指標(biāo)，包括6種對照指標(biāo)和本文提出的面向任務(wù)需求的識別關(guān)鍵節(jié)點的指標(biāo)；實驗仿真及分析部分提出了兩種評估節(jié)點重要性指標(biāo)性能的方法，并進一步介紹了使用該方法進行實驗仿真得到的結(jié)果及對應(yīng)的分析；最后總結(jié)部分對全文內(nèi)容進行了總結(jié)。

1 模型描述

1.1 裝備保障體系模型

裝備保障體系通過多種交通方式下交通樞紐之間的互聯(lián)互通執(zhí)行保障任務(wù)。裝備保障任務(wù)的復(fù)雜多樣決定體系的結(jié)構(gòu)復(fù)雜多樣，因此裝備保障體系建模需要進行層次劃分，以表示不同層次之間的交互關(guān)系。本文選取航空和鐵路兩種主要的運輸方式，使用由航空網(wǎng)和鐵路網(wǎng)組成的雙層耦合網(wǎng)絡(luò)模型模擬裝備保障體系。模型中的節(jié)點表示具備對應(yīng)交通模式下的保障站點（機場或火車站）的城市，層內(nèi)連邊表示所在層對應(yīng)的交通模式下的保障運輸線路（航線或鐵路）。對于同時具備多種保障站點的城市，其在上下兩層網(wǎng)絡(luò)中都有位于同一位置的對應(yīng)節(jié)點存在，位于不同層但表示同一城市的節(jié)點則通過層間連邊相耦合。

考慮到實際航空運輸網(wǎng)絡(luò)與鐵路運輸網(wǎng)絡(luò)在站點數(shù)量及拓撲結(jié)構(gòu)上的差異，分別為兩層網(wǎng)絡(luò)定義不同的節(jié)點數(shù)量及連邊規(guī)則。上層航空網(wǎng)由個節(jié)點構(gòu)成。鑒于Barabasi和Albert提出的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的無標(biāo)度特性已在許多現(xiàn)實異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中被證實，因此上層將按照無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的連邊規(guī)則相連。從具有個節(jié)點的連通網(wǎng)絡(luò)出發(fā)，每個時間步長內(nèi)引入一個新的節(jié)點并與個已存在的節(jié)點相連。新加入節(jié)點與一個已存在的節(jié)點之間的連接概率（）滿足：

式中：k 表示節(jié)點的度，即與節(jié)點直接相連的節(jié)點數(shù)目。直至網(wǎng)絡(luò)規(guī)模增長至個節(jié)點。

下層鐵路網(wǎng)由個節(jié)點構(gòu)成。在建立鐵路網(wǎng)模型時，考慮到在實際中，只有相距較近的站點之間才會建立鐵路直接相連。距離較遠的站點之間需要通過一系列中間節(jié)點間接連通。上述特征與空間網(wǎng)絡(luò)模型的特征較為符合，因此使用隨機幾何圖這一空間網(wǎng)絡(luò)模型來進行模擬。首先定義網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的最長連邊距離和最多連邊數(shù)量，接著對每個節(jié)點，隨機選擇與其相距范圍內(nèi)的節(jié)點相連，直接相連的節(jié)點個數(shù)不超過節(jié)點的最多連邊數(shù)量。

在實際中，由于飛機場常建立于運輸流量較大的城市，且具有飛機場的城市往往也配備有火車站。因此在建立裝備保障體系模型時，首先建立鐵路網(wǎng)模型，包含個節(jié)點，代表個配備有車站的城市。將個節(jié)點按照隨機幾何圖的規(guī)則建立完成后，對鐵路網(wǎng)中的所有節(jié)點按照度值大小排序，選取前個度值較大的節(jié)點（對應(yīng)個城市），為其配備航空網(wǎng)中對應(yīng)的節(jié)點。航空網(wǎng)絡(luò)中的個節(jié)點按照Barabási和Albert提出的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則相連。最后，位于不同層但表示同一城市的節(jié)點間將通過層間連邊相連。通過層間連邊可以將保障物資由其中一層轉(zhuǎn)運至另一層網(wǎng)絡(luò)進行運輸，即航空和鐵路之間的轉(zhuǎn)運。這樣就建立起了一個用于模擬裝備保障體系的無向雙層耦合網(wǎng)絡(luò)，其中上層航空網(wǎng)絡(luò)節(jié)點稀疏，下層鐵路網(wǎng)絡(luò)節(jié)點致密。上層網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點都和下層網(wǎng)絡(luò)中表示同一城市的節(jié)點相耦合。

裝備保障體系通過系統(tǒng)中的交通線路運輸保障物資時，需要付出相應(yīng)的運輸時間、運輸費用等代價。通過為網(wǎng)絡(luò)中的連邊定義權(quán)重，衡量在連邊上運輸需要付出的成本。首先以節(jié)點間歐式距離作為連邊的長度，即節(jié)點和節(jié)點之間的連邊長度d 為

式中：（x ，y ）和（x ，y ）分別為節(jié)點和節(jié)點的坐標(biāo)。為了保持統(tǒng)一性，上下兩層網(wǎng)絡(luò)使用同一坐標(biāo)系。

網(wǎng)絡(luò)中的每條邊定義運輸時間成本和運輸經(jīng)濟成本兩種權(quán)值，分別表示在該連邊上運輸所需的時間和費用。權(quán)值的大小由邊的實際長度、所在層的運輸速度及價格決定。邊的長度除以對應(yīng)層的運輸速度得到的是所需的時間成本，即層（＝1，2）上節(jié)點和節(jié)點之間連邊對應(yīng)的運輸時間成本為

類似地，可以用邊的長度乘以對應(yīng)層的單位距離運輸價格得到運輸?shù)慕?jīng)濟成本，即層（＝1，2）上節(jié)點和節(jié)點之間連邊對應(yīng)的運輸經(jīng)濟成本為

由于不同層的運輸速度以及單位運輸價格不同，因此即使是同一對節(jié)點間的連邊，在不同層中運輸所對應(yīng)的運輸成本也不同。另外，由于本文重點關(guān)注保障物資在兩層網(wǎng)絡(luò)中的運輸，因此忽略轉(zhuǎn)換交通模式帶來的的轉(zhuǎn)運成本，即假設(shè)層間連邊上的權(quán)重默認為零。

最終建立完成的用于模擬裝備保障體系的無向加權(quán)雙層耦合網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中，上層航空運輸網(wǎng)絡(luò)節(jié)點稀疏、運輸速度快但運輸價格高。下層鐵路運輸網(wǎng)絡(luò)節(jié)點致密、運輸速度慢但運輸價格低。網(wǎng)絡(luò)模型的局部示意圖如圖1所示。

圖1 雙層耦合網(wǎng)絡(luò)局部示意圖Fig.1 Two-layer coupled network local schematic

1.2 保障運輸路由模型

裝備保障體系模型建成后，進一步模擬保障物資的運輸過程。考慮實際應(yīng)用中減少保障時間和降低保障費用的任務(wù)需求，本文將網(wǎng)絡(luò)中的每條連邊定義為在其上運輸?shù)目偝杀荆蛇\輸時間成本和經(jīng)濟成本組成。規(guī)定保障物資沿著總成本最低的路徑進行運輸。在不同應(yīng)用場景下，兩種任務(wù)需求的優(yōu)先級不同，對應(yīng)著兩種成本在總成本中所占比例的不同。當(dāng)減少保障時間的需求更優(yōu)先時，路由應(yīng)沿著運輸時間成本更低的路線進行；當(dāng)降低保障費用的需求更優(yōu)先時，路由應(yīng)沿著運輸經(jīng)濟成本更低的路線進行。因此，節(jié)點間的保障運輸線路規(guī)劃應(yīng)隨著任務(wù)需求優(yōu)先級的變化而動態(tài)改變。

為了反映任務(wù)需求的影響，本文提出一種面向任務(wù)需求的運輸路由規(guī)則。

首先定義參數(shù)表示經(jīng)濟成本在總成本中所占的比例，則時間成本占總成本的比例為（1-）。層（＝1，2）上節(jié)點和節(jié)點之間連邊對應(yīng)的總運輸成本為

在確定了參數(shù)的取值后，節(jié)點間按照總運輸成本最低原則進行路由。任意一對節(jié)點和節(jié)點之間沿總運輸成本最低的線路可表示為

該線路上的總運輸成本滿足：

基于該路由規(guī)則，節(jié)點間進行保障物資運輸時可能需要通過層間連邊轉(zhuǎn)運，從而使用到上下兩層網(wǎng)絡(luò)上的保障連邊。參數(shù)取值越大則表明經(jīng)濟成本占總運輸成本的比例越大，對應(yīng)著降低運輸費用的需求優(yōu)先級更高。此時為了降低總運輸成本，路由時會更傾向于選擇運輸價格更低的線路。

1.3 保障連邊容量模型

本文將裝備保障體系中的保障任務(wù)抽象為保障物資在上文所構(gòu)建的保障網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點間的輸運過程?？紤]在單位時間內(nèi)保障網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點對之間都會通過網(wǎng)絡(luò)按照第1.2節(jié)定義的路由規(guī)則將保障物資從供應(yīng)節(jié)點輸運到需求節(jié)點，這樣網(wǎng)絡(luò)中的每條連邊上都會流過一定量的保障物資。將正常狀態(tài)下保障網(wǎng)絡(luò)中流過某條連邊的保障物資的多少定義為該邊上的初始負荷（0），并依照Motter-Lai模型定義每條連邊上的容量，作為該邊上能流過的最大保障物資的度量正比于其初始運輸負載：

式中：稱為冗余系數(shù)。至此，可以得到網(wǎng)絡(luò)中所有連邊上的容量，該容量限制了能在連邊上運輸?shù)淖畲筘撦d量，一旦運輸?shù)奈镔Y量超過了規(guī)定的容量，則連邊上會發(fā)生擁塞，進而影響到整個體系的保障運輸能力。

1.4 裝備保障擁塞模型

不失一般性，假設(shè)在執(zhí)行保障運輸任務(wù)時，待運輸物資均勻地分配到每對節(jié)點，并沿著最低成本路徑進行運輸。當(dāng)待運輸保障物資總量的值較低時，按照任務(wù)需求進行路由規(guī)劃后，分配到每條連邊上運輸?shù)呢撦d量均小于連邊容量，保障運輸任務(wù)正常執(zhí)行。隨著的不斷增大，各條連邊上運輸?shù)呢撦d量也在不斷增大。當(dāng)某條連邊上分配的負載量超過其容量時，則待運輸物資會在該連邊上不斷累積，最終導(dǎo)致系統(tǒng)陷入擁塞狀態(tài)。

為了能更好地描述這一過程，定義序參量：

式中：（）表示在時間步時刻系統(tǒng)中的總流量；〈·〉表示對于時間窗口Δ求平均。在自由流狀態(tài)下，每時刻新加入系統(tǒng)的負載與到達目的地后從系統(tǒng)中移除的負載保持平衡，此時序參量的值為零。但當(dāng)系統(tǒng)陷入擁塞狀態(tài)時，每時刻新加入的負載與從系統(tǒng)中移除的負載不再平衡，流量在系統(tǒng)中不斷累積，導(dǎo)致序參量的值大于零。系統(tǒng)由自由態(tài)轉(zhuǎn)變到擁塞態(tài)時，系統(tǒng)中運輸?shù)谋Ｕ衔镔Y總量記為R 。R表示系統(tǒng)在沒有出現(xiàn)擁塞情況下能夠承載的最大負載量，又稱為系統(tǒng)的承載量。顯然系統(tǒng)承載量的值越大，裝備保障體系在沒有擁塞狀態(tài)下能夠運輸?shù)奈镔Y量越多，意味著系統(tǒng)的運輸能力越強。

2 節(jié)點重要性指標(biāo)

裝備保障體系的主要任務(wù)就是將保障物資通過各種交通方式輸運到目的地。裝備保障體系肩負著重要的物資保障任務(wù)，也是對方攻擊的重要目標(biāo)。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中有某個節(jié)點因打擊而失效后，節(jié)點及其連邊將無法再承擔(dān)物資運輸?shù)谋Ｕ先蝿?wù)。此時，原本通過該節(jié)點進行運輸?shù)谋Ｕ衔镔Y需要重新選擇其他線路。由于每條線路上的承載量有限，重新規(guī)劃后的運輸線路分配結(jié)果可能會增大其他連邊上的負載。進而隨著系統(tǒng)運輸?shù)谋Ｕ衔镔Y總量不斷增加，連邊更容易出現(xiàn)擁塞，最終使得整個系統(tǒng)的承載量R 下降。節(jié)點的失效通過影響系統(tǒng)的承載量進而影響了裝備保障體系的保障能力，影響的嚴(yán)重程度反映出了節(jié)點的關(guān)鍵程度。基于上述分析，本文將系統(tǒng)中的關(guān)鍵節(jié)點定義為其失效后會導(dǎo)致系統(tǒng)承載量下降最多的節(jié)點。

因此，為了準(zhǔn)確識別出裝備保障體系中的關(guān)鍵保障節(jié)點，需要定義節(jié)點重要性指標(biāo)進行定量分析。本節(jié)將介紹本文使用到的幾種節(jié)點重要性指標(biāo)，并提出一種新的綜合性指標(biāo)用于識別關(guān)鍵節(jié)點。

2.1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點重要性指標(biāo)

在進行關(guān)鍵節(jié)點識別時，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)科學(xué)多采用基于網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的方法。本文選取了3種常用的節(jié)點重要性指標(biāo)作為后續(xù)實驗中的比較對象。

2.1.1 度中心性

保障節(jié)點的度中心性DC（）定義為在節(jié)點所在網(wǎng)絡(luò)層內(nèi)與節(jié)點直接相連的鄰居節(jié)點的數(shù)目。度中心性指標(biāo)反映了一個節(jié)點對系統(tǒng)中其他節(jié)點的直接影響力。節(jié)點的度中心性值越大，能直接影響到的鄰居就越多，節(jié)點就越重要。

2.1.2 介數(shù)中心性

節(jié)點的介數(shù)中心性反映了節(jié)點對沿最短路徑傳輸?shù)牧髁康目刂屏?，?jié)點的介數(shù)中心性BC（）定義為

式中：表示網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的集合；表示節(jié)點的總數(shù)。σ表示節(jié)點到節(jié)點的所有最短路徑的數(shù)目，σ（）表示從節(jié)點到節(jié)點的所有最短路徑中經(jīng)過節(jié)點的最短路徑數(shù)目。

節(jié)點的介數(shù)中心性值越大，表明經(jīng)過節(jié)點的最短路徑數(shù)目越多，因此在網(wǎng)絡(luò)中越重要。在裝備保障體系中，介數(shù)值較高的保障節(jié)點往往是連接供應(yīng)節(jié)點與需求節(jié)點之間的紐帶節(jié)點，具有較重要的保障作用。在雙層耦合網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點間進行最短路徑路由時沿上下兩層網(wǎng)絡(luò)進行，通過層間連邊實現(xiàn)跨層路由。同時，為了反映網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)對節(jié)點重要性的影響，節(jié)點間的最短路徑定義為沿兩層網(wǎng)絡(luò)傳輸時跳數(shù)最少的路徑。

2.1.3 接近中心性

節(jié)點的接近中心性CC（）反映了節(jié)點通過網(wǎng)絡(luò)對其他節(jié)點施加影響的能力，具體定義為

式中：d 表示節(jié)點到節(jié)點的最短距離。節(jié)點的接近中心性值越大，表明節(jié)點越位于網(wǎng)絡(luò)的中心，因此在網(wǎng)絡(luò)中越重要。

2.2 基于任務(wù)需求的節(jié)點重要性指標(biāo)

上述3種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點重要性指標(biāo)，僅考慮了網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)對節(jié)點重要性的影響。而在不同的保障任務(wù)中，任務(wù)需求會對系統(tǒng)的路由規(guī)劃產(chǎn)生影響，進而將沿著不同的運輸線路執(zhí)行物資運輸任務(wù)。因此，在不同的任務(wù)需求下，節(jié)點的重要性也會發(fā)生變化，而上述基于網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的節(jié)點重要性指標(biāo)無法體現(xiàn)這種變化。

在本文使用的裝備保障體系模型中，隨著參數(shù)取不同的值，每條連邊上的經(jīng)濟成本和時間成本在總運輸成本中所占的比例不同，進而每條連邊上總運輸成本的大小會發(fā)生變化。為了使總運輸成本最低，不同取值情況下的運輸線路會發(fā)生改變，導(dǎo)致關(guān)鍵節(jié)點也會發(fā)生變化。因此，參數(shù)的變化即反映出了任務(wù)需求對系統(tǒng)運輸以及節(jié)點重要性的影響。由于在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點的介數(shù)中心性和接近中心性指標(biāo)大小受到節(jié)點間最短路徑的影響，因此考慮對指標(biāo)進行改進，進一步考慮任務(wù)需求的影響，按照不同參數(shù)值下得到的最低成本路徑規(guī)劃結(jié)果重新計算節(jié)點的中心性值。

改進后的介數(shù)中心性BC′和接近中心性CC′的計算方法基本與原來的指標(biāo)保持一致。節(jié)點改進后的介數(shù)中心性BC′（）定義為

改進后的接近中心性CC′（）定義為

不同的是，在結(jié)合了任務(wù)需求后，前者由統(tǒng)計經(jīng)過節(jié)點的最短路徑條數(shù)變?yōu)榱私y(tǒng)計最低成本路徑條數(shù)；后者在統(tǒng)計節(jié)點到其他節(jié)點的最短距離時，同樣改為按照最低成本路徑下的距離進行計算。兩種指標(biāo)均是由于節(jié)點間路由的變化導(dǎo)致指標(biāo)的大小發(fā)生變化。傳統(tǒng)的BC和CC二者都屬于靜態(tài)指標(biāo)，網(wǎng)絡(luò)模型建立完成后不會再發(fā)生改變；而改進后的介數(shù)中心性BC′和接近中心性CC′的值會隨著參數(shù)的變化而變化，對應(yīng)著在不同任務(wù)需求下節(jié)點的重要性也會發(fā)生改變。

2.3 節(jié)點重要性綜合評估指標(biāo)

為了更好地識別出裝備保障體系中的關(guān)鍵保障節(jié)點，需要綜合考慮節(jié)點的拓撲因素以及節(jié)點的角色功能信息，從局域和全局等多個維度評估節(jié)點重要性，并提出一種綜合能效節(jié)點重要性評估指標(biāo)。

在局域范圍內(nèi)評估節(jié)點重要性時，節(jié)點與周圍鄰居節(jié)點間的連邊越多，相連的鄰居節(jié)點越重要，則該節(jié)點的連接能力越強，在保障運輸中發(fā)揮的作用越大。因此，本文選擇使用節(jié)點所在網(wǎng)絡(luò)層中的一階鄰居節(jié)點度值之和DC′這一指標(biāo)來描述其連接能力：

在全局范圍內(nèi)評估節(jié)點重要性時，通過節(jié)點進行保障運輸?shù)穆窂皆蕉鄤t該節(jié)點的運輸能力越強。使用第2.2節(jié)中定義的由路由改進的介數(shù)中心性BC′指標(biāo)衡量全局下的節(jié)點重要性。該指標(biāo)一方面受到系統(tǒng)靜態(tài)拓撲結(jié)構(gòu)的影響，另一方面受到實際運輸中的路由選擇的影響。節(jié)點改進后的介數(shù)中心性BC′的值越大，則全局范圍內(nèi)通過該節(jié)點運輸?shù)牡统杀韭窂皆蕉?，?jié)點在保障運輸過程中發(fā)揮著越重要的作用。

上述DC′指標(biāo)從局域范圍出發(fā)，以節(jié)點及其相鄰節(jié)點的連接能力評估節(jié)點重要性；BC′指標(biāo)從全局范圍出發(fā)，以不同任務(wù)需求下節(jié)點的運輸能力評估節(jié)點重要性。綜合上述兩種指標(biāo)，提出一種新的衡量節(jié)點重要性的指標(biāo)，考慮鄰居度及介數(shù)的綜合性（neighbor degree＆betweeness centrality，NDBC）指標(biāo)如下：

將每個節(jié)點改進后的介數(shù)中心性BC′的值和改進后的度中心性DC′的值歸一化后一一相乘，得到每個節(jié)點的重要性指標(biāo)NDBC的值。

作為對照，本文還使用平均鄰居節(jié)點度k 指標(biāo)代替DC′指標(biāo)衡量節(jié)點局部重要性，由此得到考慮平均鄰居節(jié)點度及介數(shù)的綜合性指標(biāo)（neighbor average degree＆betweeness centrality，NADBC），即

該指標(biāo)將用于和本文提出的NDBC指標(biāo)進行對照，評估NDBC指標(biāo)的性能。

3 實驗仿真及分析

3.1 評估節(jié)點重要性指標(biāo)的方法

本文采用下述兩種方法，從不同的角度比較和展示各種節(jié)點重要性指標(biāo)的性能。

3.1.1 方法一

3.1.2 方法二

通過對參數(shù)取多個不同值，模擬任務(wù)需求的變化對節(jié)點間運輸線路規(guī)劃以及節(jié)點重要性的影響，在此情況下統(tǒng)計不同指標(biāo)識別出最關(guān)鍵節(jié)點的概率（最關(guān)鍵節(jié)點可以通過窮舉法遍歷所有節(jié)點找出）。參數(shù)值的不同，代表時間成本和經(jīng)濟成本在總成本中比例的不同，對應(yīng)著不同的任務(wù)需求。這樣，一種節(jié)點重要性指標(biāo)識別出最關(guān)鍵節(jié)點的概率值越高，則表明該指標(biāo)能在多種任務(wù)需求下保持較好的性能。

3.2 實驗仿真參數(shù)設(shè)定

在本文中，規(guī)定裝備保障體系中上層航空網(wǎng)絡(luò)由200個保障節(jié)點構(gòu)成（＝200），下層鐵路網(wǎng)絡(luò)由500個保障節(jié)點構(gòu)成（＝500）。上層網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點都與下層網(wǎng)絡(luò)中代表同一城市的節(jié)點耦合。參照現(xiàn)實中飛機與高鐵間的速度比，上層網(wǎng)絡(luò)的傳輸速度是下層網(wǎng)絡(luò)的3倍，即＝3。為了簡化計算，?。?／9，則＝3＝1／3。同樣，考慮到現(xiàn)實中兩種交通模式的運輸價格，航空網(wǎng)絡(luò)和鐵路網(wǎng)絡(luò)之間的運輸價格比（／）設(shè)置為5∶1。實驗仿真中，設(shè)定下層網(wǎng)絡(luò)單位距離的運輸價格＝1，則上層網(wǎng)絡(luò)的單位距離運輸價格＝5＝5。網(wǎng)絡(luò)中的每條連邊設(shè)置相同的冗余量＝1，即每條連邊的容量都等于其初始負載量的兩倍。

3.3 實驗結(jié)果及分析

首先使用第3.1.1節(jié)的方法一比較本文提出的節(jié)點重要性綜合評估指標(biāo)NDBC與其他6種對照指標(biāo)在識別多個關(guān)鍵節(jié)點上的性能表現(xiàn)?？紤]到在實際保障運輸中，面對不同的任務(wù)需求，經(jīng)濟成本與時間成本各自的比重會不同，即參數(shù)的值會發(fā)生變化。而參數(shù)值的變化會影響節(jié)點間運輸線路規(guī)劃，進而對節(jié)點重要性造成影響。為了展示出在不同任務(wù)需求下的指標(biāo)識別關(guān)鍵節(jié)點的性能，圖2中選取了參數(shù)分別為0、0.5和1時的仿真結(jié)果。

圖2 各種節(jié)點重要性指標(biāo)識別的前1%～10%關(guān)鍵節(jié)點的性能Fig.2 Performance of the top 1%-10%critical nodes identified by the node importance indices

在圖2的每個分圖中，7條曲線對應(yīng)7種節(jié)點重要性指標(biāo)的性能。不難看出，NDBC曲線始終位于另外6種指標(biāo)曲線的下方。表明由本文提出的節(jié)點重要性綜合指標(biāo)NDBC識別出的關(guān)鍵節(jié)點對于裝備保障體系運輸能力的影響更大，即該指標(biāo)更能有效地識別出容易導(dǎo)致系統(tǒng)嚴(yán)重毀傷的關(guān)鍵節(jié)點。

另外，通過對圖2中各分圖進行對比可以發(fā)現(xiàn)，隨著參數(shù)取不同的值，不同曲線的相對位置在發(fā)生變化。也就是說，當(dāng)參數(shù)取不同值時7種節(jié)點重要度指標(biāo)的相對性能的優(yōu)劣會發(fā)生變化。對于僅考慮網(wǎng)絡(luò)拓撲的3種指標(biāo)（節(jié)點的度、介數(shù)和接近中心性）而言，由于沒有考慮任務(wù)需求的影響，隨著參數(shù)的變化，曲線的相對位置會發(fā)生明顯變化。這表明3種指標(biāo)在識別關(guān)鍵節(jié)點上的相對性能的優(yōu)劣在不斷改變，在某一參數(shù)取值處能有效識別出關(guān)鍵節(jié)點的指標(biāo)，可能并不適用于另一個取值的情況，即這3種重要度指標(biāo)不能很好地適用于實際中的多種不同任務(wù)需求。例如，對比圖2中使用度中心性指標(biāo)得到的曲線，在取值0時該指標(biāo)的識別性能僅次于NDBC指標(biāo)以及BC′指標(biāo)，性能表現(xiàn)較好；在取值0.5時，識別關(guān)鍵節(jié)點的性能表現(xiàn)同樣較好，僅次于NDBC指標(biāo)的識別性能；然而當(dāng)取值為1時，該指標(biāo)的識別性能則大幅下降，表現(xiàn)在圖2（c）中，對應(yīng)曲線遠位于所有其他曲線的上方，即識別出的關(guān)鍵節(jié)點對系統(tǒng)承載量的影響是最小的。由此可見，度中心性指標(biāo)在識別關(guān)鍵節(jié)點時性能不穩(wěn)定，不能很好地滿足實際任務(wù)需求的變化。

對于另外4種考慮了任務(wù)需求（即值對指標(biāo)有影響）的指標(biāo)而言，當(dāng)值變化時，幾種指標(biāo)的相對性能優(yōu)劣始終維持不變。從曲線的位置可以看出，NDBC指標(biāo)始終是最優(yōu)的，NADBC指標(biāo)其次，BC′指標(biāo)第3，CC′指標(biāo)最差。作為參照的NADBC指標(biāo)在＝0及＝1時，都表現(xiàn)出了與本文提出的NDBC指標(biāo)類似的識別性能，均比其他的幾種指標(biāo)的識別效果要好。然而，在參數(shù)＝0.5時，NADBC指標(biāo)的識別效果則表現(xiàn)不如度中心性指標(biāo)DC。由此可見，使用平均鄰居節(jié)點度衡量局部重要性得到的NADBC指標(biāo)在識別關(guān)鍵節(jié)點時，隨著參數(shù)的變化，識別性能表現(xiàn)也不穩(wěn)定。與其他節(jié)點重要性指標(biāo)相比，本文提出的NDBC指標(biāo)在值變化時識別性能始終維持最優(yōu)，在識別關(guān)鍵節(jié)點時表現(xiàn)出了較強的穩(wěn)定性。

上述實驗比較了不同節(jié)點重要性指標(biāo)識別多個關(guān)鍵節(jié)點的性能。對于實際應(yīng)用而言，能否識別出系統(tǒng)中最重要的單個節(jié)點往往具有重要的意義。對最關(guān)鍵的節(jié)點進行保護，能夠最大化地減輕系統(tǒng)毀傷，提高系統(tǒng)的抗毀性。按照第3.1節(jié)中的方法二，實驗?zāi)M7種節(jié)點重要性指標(biāo)在不同任務(wù)需求（即參數(shù)的值不同）下識別出最重要節(jié)點的概率。

圖3顯示了在多個不同取值下（即模擬多種任務(wù)需求），多次重復(fù)實驗得出的7種節(jié)點重要性指標(biāo)識別出最關(guān)鍵節(jié)點的概率。可以明顯看出，本文提出的節(jié)點重要性綜合指標(biāo)NDBC在7種指標(biāo)中成功識別出最關(guān)鍵節(jié)點的概率最高。這表明在參數(shù)取多個不同值，即對應(yīng)實際中不同的任務(wù)需求下，NDBC指標(biāo)識別出對裝備保障體系運輸能力影響最大的關(guān)鍵節(jié)點的概率更高，從而有利于更好地發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中的薄弱環(huán)節(jié)。

圖3 節(jié)點重要性指標(biāo)識別出最關(guān)鍵節(jié)點的概率Fig.3 Probability of node importance metric identifying the most critical nodes

通過上述兩種實驗方法的檢驗，可以看出無論是在識別多個關(guān)鍵節(jié)點還是在識別單個最關(guān)鍵的節(jié)點方面，相對其他6種節(jié)點重要性指標(biāo)而言，本文提出的NDBC指標(biāo)的性能都是最優(yōu)的。而且，隨著任務(wù)需求的變化，NDBC指標(biāo)的性能始終維持相對最優(yōu)，具有很好的穩(wěn)定性。

4 總 結(jié)

裝備保障體系在戰(zhàn)爭中承擔(dān)著重要的保障物資運輸任務(wù)，一旦其中的關(guān)鍵節(jié)點由于遭到攻擊而失效，將對系統(tǒng)的運輸能力產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。因此，本文研究了裝備保障體系中識別關(guān)鍵節(jié)點的方法，提出了一種新的綜合性節(jié)點重要性指標(biāo)，對雙層耦合交通網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的重要性進行評估，從而識別出系統(tǒng)的關(guān)鍵節(jié)點。這種節(jié)點重要性指標(biāo)綜合了節(jié)點自身及鄰居的影響、節(jié)點局部連接能力及全局運輸能力的影響、網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)及任務(wù)需求的影響等多個因素。通過與另外6種常用的節(jié)點重要性指標(biāo)對比表明，無論是在識別多個關(guān)鍵節(jié)點，還是識別單個最關(guān)鍵的節(jié)點上，本文提出的NDBC指標(biāo)性能都保持相對最優(yōu)，并且在面對不同任務(wù)需求時均能保持良好的性能，具有很強的穩(wěn)定性。