李宇，董世杰，喬云強(qiáng)，賴亞平，薛曉鋒

（1.長安大學(xué)公路學(xué)院，陜西西安 710064；2.林同棪國際工程咨詢（中國）有限公司，重慶 401121）

抗震設(shè)計的能力譜法是一種計算結(jié)構(gòu)彈塑性地震響應(yīng)的近似方法，其計算精度雖然低于非線性時程分析法，但它的計算過程比較簡潔、計算速率也較高，便于工程人員快速估算結(jié)構(gòu)抗震性能.

能力譜法最初是由Freeman［1］建議的，并為各國規(guī)范所采用［2］.目前，已有許多學(xué)者對該法進(jìn)行了改進(jìn)，例如：Chopra 等［3］建議了改進(jìn)的能力譜方法，并提出了多模態(tài)推覆分析方法；曹一山等［4］提出了適用于橋梁結(jié)構(gòu)的簡化能力譜法；王克海等［5］提出了基于模態(tài)分析的Pushover 方法；Ahmad 等［6］、陳偉宏等［7］、季春芳等［8］、李延和等［9］都將能力譜法應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)的抗震性能評估中；李宇等［10-11］將高階振型的影響引入能力譜法中，并應(yīng)用于鐵路高橋墩的抗震性能評估中；FEMA440［2］則給出考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用（SSI效應(yīng)）的等效線性化方法，可用于中遠(yuǎn)場地震下的橋梁抗震設(shè)計.

雖然上述學(xué)者［1-11］對能力譜法進(jìn)行了大量的研究，但是還沒有文獻(xiàn)研究在近斷層地震作用下的能力譜法.由于近斷層地震可以使建筑物直接承受高能量的沖擊，其脈沖性運(yùn)動也會產(chǎn)生更為嚴(yán)重的震害［12-14］，因此，有必要研究近斷層地震作用下的能力譜法.另外，F(xiàn)EMA440［2］所建議的能力譜法雖然能夠考慮SSI效應(yīng)的影響，但它所采用的需求譜是依據(jù)國外規(guī)范，因此，不能直接應(yīng)用于我國橋梁的抗震設(shè)計中.

綜上所述，本文選取了215 條近斷層地震動記錄，計算了適用于我國橋梁抗震設(shè)計的近斷層地震彈塑性加速度和位移反應(yīng)譜，進(jìn)而得到了考慮近斷層地震影響的需求譜，并將其與FEMA440 建議的考慮SSI效應(yīng)的能力譜法相結(jié)合，完善了近斷層地震下梁式橋考慮SSI效應(yīng)的能力譜法.

1 FEMA440考慮SSI效應(yīng)的方法［2］

在FEMA440中，SSI效應(yīng)包括［2］：基礎(chǔ)柔性效應(yīng)、運(yùn)動學(xué)效應(yīng)和地基阻尼效應(yīng).基礎(chǔ)柔性效應(yīng)可以在建立結(jié)構(gòu)的有限元模型時，采用模擬基礎(chǔ)的轉(zhuǎn)動和平動剛度的彈簧單元來考慮.運(yùn)動學(xué)效應(yīng)和地基阻尼效應(yīng)的確定方法闡述如下.

1.1 運(yùn)動學(xué)效應(yīng)

式中：T為周期，s；e為基礎(chǔ)埋深，m；vs為場地剪切波速，m/s；n為剪切波速的折減系數(shù)，見表1.

表1 剪切波速的折減系數(shù)Tab.1 Reduction factors of shear wave velocity

定義RRS=RRSbsa×RRSe，并分別將彈塑性加速度和位移反應(yīng)譜的譜值乘RRS，以此來考慮運(yùn)動學(xué)效應(yīng)對需求譜的影響.

1.2 地基阻尼效應(yīng)

分別建立結(jié)構(gòu)的固結(jié)和柔性基礎(chǔ)的模型，并計算得它們的基階周期分別為T和T′，s

計算固結(jié)基礎(chǔ)模型的等效單自由度（SDOF）體系的剛度：

式中：M為固結(jié)基礎(chǔ)模型的總質(zhì)量（kg）；α1為基階振型的質(zhì)量參與系數(shù).

計算基礎(chǔ)的平動剛度Kx：

式中：λ和G分別為土的泊松比和等效剪切模量（Pa）；rx為等效半徑，m；Af為基礎(chǔ)面積，m2。

計算基礎(chǔ)的等效轉(zhuǎn)動剛度Kθ和轉(zhuǎn)動半徑rθ：

式中：h*為等效計算高度，取結(jié)構(gòu)70%的高度，m.

計算等效周期延長比（/Teff）：

式中：μsys為土-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的預(yù)期位移延性比.

計算地基輻射阻尼比βf：

式中：ce、a1和a2都為地基輻射阻尼比的參考系數(shù)。

最后，計算土-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的總阻尼比β0：

式中：βi為初始阻尼比，一般取5%.

在此基礎(chǔ)上，從用RRS修正后的需求譜（對應(yīng)不同阻尼比）中，選取與β0對應(yīng)的需求譜，并與結(jié)構(gòu)的能力譜相結(jié)合，以求解結(jié)構(gòu)的性能點.這就考慮了運(yùn)動學(xué)效應(yīng)和地基阻尼效應(yīng)的影響.

2 近斷層地震的彈塑性反應(yīng)譜

本節(jié)將統(tǒng)計適用于我國橋梁抗震設(shè)計的近斷層地震彈塑性加速度和位移反應(yīng)譜，并以此作為本文建議的改進(jìn)能力譜法的需求譜.

2.1 近斷層地震動記錄的選取

呂紅山等［15］、劉培玄等［16］對我國抗震設(shè)計規(guī)范［17-18］和美國“NEHRP 報告”［19］的場地類型進(jìn)行了對比，得到了以下結(jié)論（表2）：美國“NEHRP 報告”［19］中v30（土層深度30m 處的剪切波速）＞510 m/s、v30=260～510 m/s、v30=150～260 m/s、v30＜150 m/s 對應(yīng)的場地類型與我國抗震設(shè)計規(guī)范［17-18］中I～I(xiàn)V 類場地相對應(yīng).

表2 中國和美國的場地分類指標(biāo)對比Tab.2 Comparison of site classification indicators between Chinese and American codes

另外，根據(jù)Liossatou 等［12］、Alici 等［13］、Li 等［14］的研究成果，本文采用的近斷層地震動記錄的選取原則為：有明顯速度脈沖［20-21］，矩震級MR≥5.0，斷層投影距離D≤15 km，PGA≥0.05g.

在此基礎(chǔ)上，本文從美國的太平洋地震工程研究中心（PEER）的強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫中，選取了219 條近斷層地震動記錄，它們的矩震級MR和震中距R（km）的分布關(guān)系見圖1.然后，根據(jù)中美場地分類指標(biāo)的對比表（表2），將選取的地震動記錄按照我國抗震設(shè)計規(guī)范的場地類型進(jìn)行分類，其中：I0類37 條、I1類40條、II類53條、III類45條、IV類44條.

圖1 矩震級MR和震中距R的分布關(guān)系Fig.1 Relation between MR and R

2.2 近斷層地震的彈塑性反應(yīng)譜

將選取的215 條近斷層地震動記錄的峰值加速度PGA調(diào)幅到0.2g后，輸入BISPEC軟件中，采用Takeda 剛度退化模型，并取阻尼比ξ=5%、屈服后剛度比η=0.05 和位移延性比μ=1.0～6.0，可計算得對應(yīng)于ξ=5%和μ=1.0～6.0 的近斷層地震彈塑性加速度和位移反應(yīng)譜，如圖2和圖3所示.

圖2 近斷層地震彈塑性加速度譜Fig.2 Near-fault elastoplastic acceleration response spectra

2.3 ξ對近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜的影響關(guān)系式

在考慮地基阻尼效應(yīng)（1.2 節(jié)）后，土-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的總阻尼比會變?yōu)棣?［式（9）］.因此，在采用能力譜法時，應(yīng)選取與β0對應(yīng)的近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜，來建立相應(yīng)的需求譜.圖2 和圖3 分別為ξ=5%對應(yīng)的近斷層地震彈塑性加速度和位移反應(yīng)譜，不能直接用于土-結(jié)構(gòu)系統(tǒng).

圖3 近斷層地震彈塑性位移譜Fig.3 Near-fault elastoplastic displacement response spectra

為了能夠利用圖2 和圖3（對應(yīng)ξ=5%）快速求得β0對應(yīng)的近斷層地震彈塑性加速度和位移反應(yīng)譜，以下將建立ξ=5%和β0分別對應(yīng)的近斷層地震加速度和位移彈塑性反應(yīng)譜之間的關(guān)系.具體做法為：

1）利用2.2 節(jié)方法，繼續(xù)計算ξ=1%、10%、15%、20%對應(yīng)的Ⅱ～Ⅳ類場地（根據(jù)FEMA440［2］，Ⅰ0和Ⅰ1類場地不考慮SSI 效應(yīng)）的彈塑性反應(yīng)譜（μ=1.0～6.0）；

2）分別計算ξ=1%、10%、15%、20%與ξ=5%的近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜的比值；

3）利用Matlab 擬合ξ對近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜的影響系數(shù)，即式（10）：

式中：Δ為任意ξ的反應(yīng)譜與ξ=5%的反應(yīng)譜的比值；a～f為擬合參數(shù)，見表3.

表3 阻尼比對近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜的影響系數(shù)Tab.3 Impact factor of damping ratio on the near-fault elastoplastic spectra

在此基礎(chǔ)上，利用式（10）、圖2 和圖3，可求得任意ξ的近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜.以Ⅱ類場地為例（設(shè)μ=3），先由式（9）求得土-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的ξ=8%，再由式（10）算得Δ=0.922 3，并乘圖3 的譜值，可得到ξ=8%的彈塑性位移反應(yīng)譜（圖4）.

圖4 Ⅱ類場地（μ=3）的彈塑性位移反應(yīng)譜Fig.4 Elastoplastic displacement spectrum of class Ⅱsite（μ=3）

3 近斷層地震下考慮SSI效應(yīng)的能力譜法

本文根據(jù)FEMA440［2］考慮SSI 效應(yīng)的方法（第1節(jié)），并采用Chopra［3］的改進(jìn)能力譜法的步驟，再結(jié)合圖2、圖3、式（10）和表3，完善了近斷層地震下適用于我國梁式橋的考慮SSI效應(yīng)的能力譜法.其詳細(xì)步驟如下：

1）按照《鐵路工程抗震設(shè)計規(guī)范》（GB 50111—2006）［18］計算基礎(chǔ)的水平和轉(zhuǎn)動剛度，并采用彈簧單元來模擬基礎(chǔ)，進(jìn)而建立考慮基礎(chǔ)柔性效應(yīng)的梁式橋有限元模型，并對其進(jìn)行Pushover 分析，以得到ADRS形式的能力譜；

2）按照梁式橋所處的場地和抗震設(shè)防標(biāo)準(zhǔn)，從圖2 和圖3 中選取對應(yīng)的近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜（ξ=5%），進(jìn)而繪制近斷層地震彈塑性需求譜；

3）由式（1）和式（2）計算折減因子RRS，進(jìn)而修正第2）步的近斷層地震彈塑性需求譜，以此來考慮運(yùn)動學(xué)效應(yīng)的影響；

4）由式（3）～式（9）計算得土-結(jié)構(gòu)體系的阻尼比β0，并利用式（10）來修正第3）步的近斷層地震彈塑性需求譜，以此來考慮地基阻尼效應(yīng)的影響；

5）將第1）步的能力譜和第4）步的近斷層地震需求譜繪制到同一坐標(biāo)系中，再根據(jù)Chopra 等［3］的改進(jìn)能力譜法的計算步驟，求得等效SDOF體系的性能點，并轉(zhuǎn)化為墩底剪力和墩頂位移.

4 工程實例

4.1 工程簡介

某三級公路的梁式橋如圖5和圖6所示.上部結(jié)構(gòu)為等截面五跨預(yù)應(yīng)力簡支箱梁（跨徑30 m）；橋墩采用C30 混凝土，截面配置60 根Φ32 的HRB400 縱筋和體積配箍率0.5%的HPB300 箍筋；采用剛性擴(kuò)大基礎(chǔ)（C25 混凝土、邊長5 m 的正方形、厚度2 m），基底埋深4 m；處于Ⅱ類場地，8度設(shè)防.

圖5 工程實例（單位：m）Fig.5 Project case（unit：m）

圖6 橋墩及其有限元模型（單位：mm）Fig.6 Pier and its finite element model（unit：mm）

4.2 有限元建模

采用SAP2000 軟件，按照《公路橋梁抗震設(shè)計規(guī)范》（JTG/T 2231-01—2020）［17］建立該梁式橋的單墩有限元模型，如圖6（b）所示：1）將上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量（5.31×105kg）等效為集中荷載施加于模型頂部，并用剛臂與墩體相連；2）按照《公路橋梁抗震設(shè)計規(guī)范》（JTG/T 2231-01—2020）［17］計算得墩底塑性鉸長度為1.5 m，并用XTRACT 軟件計算塑性鉸截面的M-φ曲線（圖7），以模擬墩底塑性鉸；3）根據(jù)《鐵路工程抗震設(shè)計規(guī)范》（GB 50111—2006）［18］計算的基礎(chǔ)的平動和轉(zhuǎn)動剛度分別為150.85×105kN/m 和56.33×106kN·m/rad，進(jìn)而在模型底部加設(shè)彈簧單元來考慮基礎(chǔ)柔性效應(yīng).

圖7 M-φ曲線Fig.7 M-φ curve

4.3 本文改進(jìn)能力譜法的應(yīng)用及驗證

步驟1計算能力譜曲線（考慮基礎(chǔ)柔性效應(yīng)）

采用SAP2000 軟件，對考慮基礎(chǔ)柔性效應(yīng)的有限元模型［圖6（b）］進(jìn)行Pushover 分析，得到了該梁式橋考慮基礎(chǔ)柔性效應(yīng)的能力譜曲線（ADRS形式）.

步驟2計算需求譜曲線（考慮運(yùn)動學(xué)效應(yīng)和地基阻尼效應(yīng)）

（1）利用式（1）～（2），可計算得運(yùn)動學(xué)效應(yīng)的折減因子RRS（圖8）.如果將圖2 和圖3 的近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜的譜值乘RRS，即可得到考慮運(yùn)動學(xué)效應(yīng)的近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜.

圖8 運(yùn)動學(xué)效應(yīng)的折減因子Fig.8 Reduction factor of kinematic effects

（2）采用SAP2000軟件，對有限元模型［圖6（b）］進(jìn)行動力特性分析，可計算得：

①基礎(chǔ)固結(jié)模型的基階周期T=0.933 9 s；

②柔性基礎(chǔ)模型的基階周期T′=0.996 5 s；

③基礎(chǔ)固結(jié)模型的基階振型的質(zhì)量參與系數(shù)和參與質(zhì)量分別為α1=0.767 9和m=8.493 9×105kg；

④根據(jù)式（3）～式（5）可計算得K*fixed=38 447 kN/m、Kx=2.762 8×106kN/m和Kθ=7.700 6×107kN·m/rad.

在此基礎(chǔ)上，對應(yīng)于不同的μ，可由式（7）計算得等效周期延長比，再由式（8）計算得地基輻射阻尼比βf，最后由式（9）計算得土-結(jié)構(gòu)體系的總阻尼比β0.其中，不同μ對應(yīng)的/Teff、βf和β0的計算結(jié)果如表4所示.

表4 不同μ對應(yīng)的/Teff、βf和β0Fig.4 /Teff，βf and β0 with different μ

表4 不同μ對應(yīng)的/Teff、βf和β0Fig.4 /Teff，βf and β0 with different μ

然后，令ξ=β0，并代入式（10）中，即可計算得對應(yīng)于不同μ的Δ（即得到任意β0的反應(yīng)譜與圖2-3 的ξ=5%的反應(yīng)譜的比值）.將圖2 和圖3 的近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜的譜值乘以Δ，即可得到考慮地基阻尼效應(yīng)的近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜.

（3）由于該橋處于Ⅱ類場地且為8 度設(shè)防，可根據(jù)《鐵路工程抗震設(shè)計規(guī)范》（GB 50111—2006）［17］取設(shè)計加速度峰值PGAd=0.3g.根據(jù)文獻(xiàn)［22］的研究成果，可將圖2和圖3的近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜乘αm，以得到與PGAd對應(yīng)的近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜.

式中：αm為近斷層地震彈塑性加速度和位移反應(yīng)譜的調(diào)整系數(shù)。

（4）將（1）～（3）計算得到的RRS、Δ和αm乘圖2和圖3 的近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜后，即可得到與PGAd對應(yīng)的、考慮運(yùn)動學(xué)效應(yīng)和地基阻尼效應(yīng)的近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜.然后，按照文獻(xiàn)［11］的方法，分別以彈塑性加速度為縱坐標(biāo)（Sa）、彈塑性位移為橫坐標(biāo)（Sd），繪制出與PGAd對應(yīng)的、考慮運(yùn)動學(xué)效應(yīng)和地基阻尼效應(yīng)的近斷層地震彈塑性需求譜（圖9）.

步驟3將步驟1求得的考慮基礎(chǔ)柔性效應(yīng)的能力譜（圖9）與步驟2 求得的考慮運(yùn)動學(xué)效應(yīng)和地基阻尼效應(yīng)的需求譜（圖9）繪于同一坐標(biāo)系中，再用Chopra［3］的改進(jìn)能力譜法來求性能點.具體做法為：

圖9 ADRS形式的能力譜和需求譜Fig.9 Capacity and demand spectra with ADRS form

（1）根據(jù)圖9可求得各交點（a～f）的結(jié)構(gòu)延性，如表5 所示：c（d）點延性大（?。┯谛枨笱有?因此，結(jié)構(gòu)的性能點（圖9中的星號點）的延性應(yīng)介于c點和d點之間，并可插值求得其延性為μ=2.727.

表5 求解性能點Fig.5 Solution of the performance point

（2）在圖9 中，進(jìn)一步查得結(jié)構(gòu)性能點（星號點）的譜位移和譜加速度分別為：Sd=7.533 cm和Sa=2.236 m/s2.然后，根據(jù)等效SODF 體系和MDOF 體系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，按照文獻(xiàn)［11］的方法，可計算得墩頂位移和墩底剪力分別為8.152 cm和1 375.85 kN.

步驟4從圖1中分別選?、瘛ⅱ颉ⅱ箢悎龅氐慕鼣鄬拥卣饎佑涗浉? 條，并將它們的PGA 都調(diào)幅為0.3g后，輸入有限元模型［圖6（b）］中，進(jìn)而用SAP2000 進(jìn)行非線性時程分析，可算得算例梁式橋的墩頂位移均值和墩底剪力均值，并與本文改進(jìn)能力譜法和FEMA440 的計算結(jié)果相互對比（圖10），從中可知：

圖10 計算結(jié)果的對比Fig.10 Comparison of result

（1）與非線性時程分析法計算的墩頂位移相比，本文改進(jìn)能力譜法和FEMA440 的計算結(jié)果的誤差分別為8.97%和16.32%.可見，對于近斷層地震下考慮SSI 效應(yīng)的我國梁式橋，F(xiàn)EMA440 的計算結(jié)果偏于保守，而本文改進(jìn)能力譜法是有效且可行的.

（2）與非線性時程分析法計算的墩底剪力相比，本文改進(jìn)能力譜法和FEMA440 的計算結(jié)果都偏小.這是因為能力譜法主要是考慮了結(jié)構(gòu)基階振型的計算結(jié)果，而非線性時程分析法則考慮了結(jié)構(gòu)全部振型的計算結(jié)果.

綜上所述，本文完善的近斷層地震下適用于我國梁式橋考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用的能力譜法是有效可行的，可以用于我國梁式橋的抗震性能評估.

5 結(jié)論

雖然FEMA440 建議的能力譜法能考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用（SSI效應(yīng)）的影響，但它所采用的需求譜是來自國外規(guī)范，即該法不能直接應(yīng)用于我國橋梁的抗震設(shè)計中，而且該法也未能考慮近斷層地震動的影響.因此，本文致力于完善近斷層地震下我國梁式橋考慮SSI效應(yīng)的能力譜法，主要工作有：

1）根據(jù)近斷層地震動特性和我國抗震設(shè)計規(guī)范，從PEER 強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫中合理選取了四類場地的215 條近斷層地震動記錄.再采用BISPEC 軟件計算了適用于我國橋梁抗震設(shè)計的近斷層地震彈塑性加速度和位移反應(yīng)譜，并擬合了阻尼比對近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜的影響關(guān)系式.

2）將計算得到的近斷層地震彈塑性反應(yīng)譜與FEMA440 考慮SSI 效應(yīng)的方法、Chopra 的改進(jìn)能力譜法相結(jié)合，完善了近斷層地震下適用于我國梁式橋且能考慮SSI效應(yīng)的改進(jìn)能力譜法，并應(yīng)用于某梁式橋的抗震性能評估中.

3）與非線性時程分析法的計算結(jié)果對比后，可知：對于近斷層地震下考慮SSI 效應(yīng)的我國梁式橋，F(xiàn)EMA440 的計算結(jié)果偏于保守，而本文的改進(jìn)能力譜法是有效且可行的，可以應(yīng)用于我國梁式橋的抗震性能評估中.