張 添 汪 磊 沈思東

(上海工程技術大學城市軌道交通學院，上海 201620，中國)

0 引 言

20世紀40年代起，國外學者圍繞非飽和土固結開展了大量的研究：含有封閉氣泡的非飽和土一般固結理論最先被提出(Biot，1941)；孔隙比和飽和度的變化被引入了包含封閉氣體的非飽和土固結模型(Scott，1963)；Barden(1965)進行了壓實非飽和黏土的一維固結分析；最具代表性的是Fredlund et al.(1979)的一維非飽和土固結理論，他提出的固結方程由氣相、液相的兩個連續(xù)方程組成，并給出了較為完善的非飽和土固結模型。近年來，非飽和土固結理論也成為了國內(nèi)研究的熱點：20世紀初，假定孔隙氣排氣率恒定的非飽和土簡化固結理論被提出(沈珠江，2003)；針對氣體封閉的非飽和土模型，曹雪山等(2009)提出了僅考慮水壓消散和將水、氣視為混合流體的簡化方法；周萬歡等(2013)利用差分求積法研究了復雜初始和邊界條件對一維非飽和土固結的影響；基于線性假定，汪磊(2017)得到了多種邊界條件、任意荷載下一維和兩維非飽和土固結方程的半解析解。非飽和土軸對稱固結理論也已受到關注：秦愛芳等(2017，2019)對考慮涂抹區(qū)滲透系數(shù)變化及半滲透邊界下非飽和土砂井地基的超孔隙壓力進行了求解；隨后，秦愛芳等(2020)對瞬時荷載作用下考慮井阻及涂抹作用下的非飽和土豎井地基固結方程進行了求解，并對固結過程中井阻因子和涂抹系數(shù)的影響進行了深入的研究。

實際的巖土工程經(jīng)常會受到循環(huán)荷載的影響，如交通荷載、風浪荷載和儲油罐荷載等，其具有典型的周期性和不連續(xù)性。分段循環(huán)荷載的形式主要有半正(余)弦、三角形、矩形和梯形等形式的分段循環(huán)荷載。連續(xù)循環(huán)荷載在同一周期內(nèi)可以用單一的函數(shù)關系式表達，而分段循環(huán)荷載在同一周期不同階段擁有不同的函數(shù)關系式，具有明顯的隨機性與不確定性，更接近實際工程中的荷載。循環(huán)荷載作用下的固結研究主要有：謝康和等(2006)建立了低頻循環(huán)荷載作用下地基的一維固結方程；在給出了半正矢循環(huán)荷載作用下一維固結控制方程的半解析解后，Razouki et al.(2013)研究了荷載頻率對固結特性的影響。雖然近年來相關學者已經(jīng)在非飽和土循環(huán)荷載固結問題上取得了部分研究成果，但研究的荷載大多是連續(xù)循環(huán)荷載，缺少對分段循環(huán)荷載的研究分析。此外，為了提高固結排水速率，在鐵路或公路路基施工中經(jīng)常會在路基兩側設置砂井，土體中的孔隙水和孔隙氣既可以沿豎直方向排出又可以通過側向的砂井排出。因此，二維的非飽和土固結特性研究具有重要的現(xiàn)實意義。目前尚未出現(xiàn)對分段循環(huán)荷載作用下非飽和土二維固結模型的研究。本文給出了分段循環(huán)荷載作用下二維非飽和土固結的超孔隙壓力和沉降的半解析解表達式，并研究了各類分段循環(huán)荷載作用下不同參數(shù)對沉降的影響，可為實際工程提供一定的理論指導和參考依據(jù)。

1 計算模型

1.1 控制方程

在Dakshanamurthy et al.(1980)提出的非飽和土固結理論基礎上，設計一種新型的二維非飽和土固結模型，如圖1所示，模型的深度為h、長度為l,q(t)為所研究的分段循環(huán)荷載。在該模型中，超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力沿水平方向(x軸方向)和豎直方向(z軸方向)同時消散。

該模型的主要假設如下：

(1)模型中非飽和土體是均質(zhì)的；

(2)液相和氣相連續(xù)且各自獨立；

(3)固結過程中土的體積變化系數(shù)恒定；

(4)氣相和液相的滲透系數(shù)均為定值；

(5)忽略空氣在水中和水蒸氣在土體中的運移等影響；

(6)土顆粒和孔隙水均不可壓縮。

氣相和液相的基本控制方程如下：

(1)

(2)

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

(3e)

(3f)

(3g)

(3h)

1.2 初始條件

(4a)

(4b)

1.3 邊界條件

(1)頂面邊界(z=0)：

ua(x，0，t)=0

(5a)

uw(x，0，t)=0

(5b)

(2)底面邊界(z=h)：

(6a)

(6b)

(3)側面邊界(x=0)和(x=l)：

ua(0，z，t)=ua(l，z，t)=0

(7a)

uw(0，z，t)=uw(l，z，t)=0

(7b)

模型頂面和側面為透氣透水邊界，底面為不透氣不透水邊界。

1.4 荷載條件

常見的分段循環(huán)荷載主要有三角形荷載、矩形荷載和梯形荷載。

圖2中T代表分段循環(huán)荷載周期，m、n為正整數(shù)，qmax為荷載最大值，q0為荷載初值。

三角形荷載如圖2a所示，表達式如式(8a)，對固結模型線性加載T/2時間，荷載特征參數(shù)為a1，加載后按相同速率卸載。

矩形荷載如圖2b所示，對模型持續(xù)施加恒定荷載qmax后循環(huán)驟減驟加過程，表達式如式(8b)。值得指出的是矩形荷載初值假定為qmax。

梯形荷載如圖2c所示，荷載特征參數(shù)為a2，線性加載mT后，持續(xù)(1-2m)T保持qmax加載，以同樣速率卸載，表達式如式(8c)。

(8a)

(8b)

(8c)

此外，荷載特征參數(shù)即qmax與加載天數(shù)的比值。矩形循環(huán)荷載無線性加、卸載的過程，荷載特征參數(shù)體現(xiàn)為周期。

2 求解和驗證

2.1 控制方程的求解

由于側面邊界可透氣、透水，因此x方向可用Fourier正弦級數(shù)表示，此時ua和uw可轉化為：

(9)

(10)

將式(9)和式(10)分別對t求一階和二階導后分別代入式(1)和式(2)可得：

(11)

(12)

根據(jù)正弦函數(shù)的正交性，式(11)和式(12)可轉化為：

(13)

(14)

對式(13)和式(14)進行Laplace變換，整理得：

(15)

(16)

對式(14)求關于z的二階導，得：

(17)

將式(14)和式(17)代入(15)得：

(18)

解四階微分方程式(18)得：

(19)

U～w=a5C1eξz+a5C2e-ξz+a6D1eηz+a6D2e-ηz+a7

(20)

式(19)和式(20)分別為固結過程中超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力在Laplace域內(nèi)的通解。C1，C2，D1和D2是關于n和s的任意函數(shù)，由邊界條件決定。將式(19)和式(20)及其關于z的一階導數(shù)代入邊界條件，整理得：

(21)

(22)

對式(9)和式(10)進行Laplace變換并結合式(21)和式(22)即得到Laplace域中控制方程的通解：

(23)

(24)

二維固結模型下體變可表示為：

(25)

將式(25)進行Laplace變換得：

(26)

在Laplace域中，沉降可表達為：

(27)

結合式(23)、式(24)、式(26)和式(27)得：

(28)

(29)

(30)

(31)

式中：tj=jΔt=jT/N，j=0，1，2，…，N-1，T為總的計算時段；N為總的計算步數(shù)，對于L×N=50～5000，當aT=5～10時，計算結果較好，且穩(wěn)定。本文采用此方法得到的半解析解與解析解進行了驗證對比，精度較高，缺點是當時間較小時無法計算出結果，可以通過延長計算時段取特定時刻的結果解決。

(32a)

(32b)

(32c)

2.2 退化法驗證

為了驗證所推導的半解析解的正確性，將非飽和土二維固結的半解析解退化為頂面透氣透水、底面不透氣不透水邊界下一維固結問題的半解析解。此時，固結模型中橫向的體積變化系數(shù)和氣相與液相的滲透系數(shù)均為0。結合一維體變可得到退化后的非飽和土一維固結的沉降表達式如式(33)：

(33)

然后，采用經(jīng)典算例進行驗證，參數(shù)取值與文獻(秦愛芳等，2008)相同。圖3為所得半解析解結果(縮寫為SAS)與文獻中解析解結果(縮寫為AS)的對比。顯然兩者結果一致，驗證了本文半解析解的正確性。

3 算例和分析

非飽和土的固結特性通常由ua，uw及由此推導的固結度(U)和沉降(w)體現(xiàn)，各項參數(shù)中滲透參數(shù)k對ua和uw中影響最大。由于氣相的存在才造成了非飽和土結構的復雜性，而二維的固結模型與一維相比則是增加了氣相與液相在x方向的流動。此外，分段循環(huán)荷載的變化通過荷載特征參數(shù)a體現(xiàn)。因此本文選用ka/kw、kx/kz和荷載特征參數(shù)a分析固結特性。

需要指出的是：

(1)當研究ka/kw對分段循環(huán)荷載作用下二維平面應變固結的影響時，ka為變量，kw為定值，此時ka/kw=kax/kwx=kaz/kwz。

(2)當研究kx/kz對固結沉降的影響時，kz保持不變，kx是變量，此時kx/kz=kax/kaz=kwx/kwz。

(3)當研究荷載特征參數(shù)a對固結沉降的影響時，假定ka/kw=kx/kz=1，荷載周期分別取4id，40id，400id，荷載特征參數(shù)對應求得。

此外，在3種荷載作用下研究不同參數(shù)取值對固結的影響時，模型的計算點設為x=1im，z=1im。

3.1 三角循環(huán)荷載作用下的固結特性

本節(jié)研究三角形循環(huán)荷載作用下二維非飽和土的固結特性。結合式(31)和式(32a)可以求出三角形循環(huán)荷載作用下二維平面應變固結的沉降值。

圖4a為三角形荷載作用下ka/kw變化時沉降的發(fā)展曲線。沉降發(fā)展的前期主要由超孔隙氣壓力的消散造成，超孔隙氣壓力的消散隨著ka/kw的增大加快，沉降發(fā)展的速度也加快，曲線波動的振幅增大。沉降的后期主要由超孔隙水壓力消散引起，當ka/kw>10時，ka對沉降后期超孔隙水壓力的消散無明顯影響，所以后期的曲線振幅差異不明顯。

圖4b中可以看出kx/kz的增大將加速固結，使得沉降曲線振幅波動變大，第1次峰值出現(xiàn)在106is后。kx/kz≤1時，kx對后期超孔隙壓力消散影響較小，沉降的差異也較小。

圖4c是滲透系數(shù)一定時，荷載特征參數(shù)a1變化引起的三角形荷載作用下固結沉降規(guī)律曲線。由于a1與加載的時間有關，所以a1的變化直接影響了沉降發(fā)展的起始時間。a1越大，沉降在荷載斜坡期增長越快，曲線振幅越小。

3.2 矩形循環(huán)荷載作用下的固結特性

由式(31)和式(32b)可以得到矩形循環(huán)荷載作用下二維固結的沉降。由于矩形荷載初始值為qmax之后在qmax至q0間循環(huán)，而三角形與梯形荷載相反，所以矩形荷載作用下的沉降曲線會呈現(xiàn)出與其余兩種荷載作用下不同的規(guī)律。

圖5a描繪了矩形荷載作用下不同ka/kw引起的沉降差異。當ka/kw=100時，前期超孔隙氣壓力消散較快，沉降較大。

從圖5b中可以看出橫向與豎向滲透參數(shù)比值kx/kz越大，沉降值越大。

矩形循環(huán)荷載中荷載參數(shù)的變化體現(xiàn)荷載周期的變化。如圖5c，滲透系數(shù)一定時，當周期取值最小即T=3.456×105is時，沉降最早發(fā)生，相應的值也最小。

3.3 梯形循環(huán)荷載作用下的固結特性

由式(31)和式(32c)可以得出梯形荷載作用下二維平面應變固結的沉降結果。

圖6a為荷載特征參數(shù)a=2.315×10-4ikPa·s時，不同ka/kw引起的沉降變化曲線。結果表明，ka/kw越大，沉降發(fā)展越快，最終曲線振幅越大。

圖6b中體現(xiàn)了不同kx/kz對沉降的影響，隨著kx/kz的增大，曲線振幅逐漸減大。此外，kx/kz≤1時，同樣存在沉降差異不明顯的規(guī)律。

從圖6c中可以明顯看出在滲透系數(shù)ka/kw=1，kx/kz=1時，不同荷載特征參數(shù)引起的沉降起始時間差異明顯。如圖6，參數(shù)a2越大，沉降起始越早，沉降量越小，與三角形荷載擁有相同的規(guī)律。

4 結 論

(1)各種類型的分段循環(huán)荷載對固結過程均有顯著影響，沉降發(fā)展的周期與荷載施加的周期一致，沉降發(fā)展的特征與荷載的特征一致。

(2)在相同的情況下，ka/kw越大，超孔隙氣壓力消散越快，沉降越顯著；而kx/kz的增大使得非飽和土體各向異性更加明顯，加速了固結進程，沉降量增大，因此水平方向的滲透性在二維非飽和土固結過程中起到了十分重要的作用。

(3)荷載特征參數(shù)直接影響沉降發(fā)展的起始時間，因此在實際施工過程中可以通過改變施工速度來控制非飽和土體的固結沉降過程。