姚落根， 翁嘉雪， 劉 歡，王敬童

(湖南工商大學(xué) 理學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙,410205)

0 引言

期權(quán)定價(jià)和保險(xiǎn)定價(jià)是金融數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容, 本質(zhì)上都是對(duì)未定權(quán)益的權(quán)利價(jià) 值進(jìn)行定價(jià). 已有研究成果(如Mildenhal[1]等)指出期權(quán)定價(jià)和保險(xiǎn)定價(jià)之間只有細(xì)微的差別, 這就為這兩種定價(jià)方法的交叉融合提供了可能. 目前, 期權(quán)定價(jià)對(duì)保險(xiǎn)定價(jià) 產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響, 它強(qiáng)調(diào)了保險(xiǎn)產(chǎn)品與期權(quán)之間的相似性, 因而保險(xiǎn)定價(jià)可以借助期 權(quán)定價(jià)的思想與方法. 這方面的研究已取得很多成果, 見(jiàn)文獻(xiàn)[2-5]等. 然而, 利用保險(xiǎn) 定價(jià)方法解決期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的研究成果很少, 僅見(jiàn)到文獻(xiàn)Gerber等人[6-7]和Bladt等[8].值得注意的是, Schmitz[9]用反例證明了Bladt等[8]的結(jié)論是錯(cuò)誤的. 隨著保險(xiǎn)證券化的急劇發(fā)展, 特別是保險(xiǎn)期權(quán)的面市, 更是對(duì)這種融合提出了現(xiàn)實(shí)需要. 因此, 將保險(xiǎn)定價(jià)方法運(yùn)用于期權(quán)定價(jià)具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義.

在保險(xiǎn)定價(jià)理論中, 概率變換是一種常用的風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)方法. 設(shè)隨機(jī)變量X代表風(fēng)險(xiǎn), 王樹(shù)勛[10]利用Choquet積分定義其價(jià)格H[X;γ]如下

其中SX(x)是X的生存函數(shù),gγ是某個(gè)概率扭曲函數(shù). 如果X非負(fù),則H[X;γ]簡(jiǎn)化為

基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 王樹(shù)勛[10]提出了著名的王氏變換

gγ(u)=Φ(Φ-1(u)+γ)，

(1)

Hamada[14]的結(jié)果表明, 在正態(tài)收益率時(shí), 利用王氏變換計(jì)算期權(quán)價(jià)格非常有效, 但在非正態(tài)收益率時(shí)卻不盡人意. 金融資產(chǎn)的收益率呈非正態(tài)分布特征早已成為人們的共識(shí). 為了適應(yīng)收益率的非正態(tài)特征, 王氏變換有必要進(jìn)行改進(jìn).目前國(guó)內(nèi)外這方面的研究已有一些結(jié)果, 王樹(shù)勛[15]提出了如下的雙參數(shù)變換替代王氏變換

gν,γ(u)=Tν(Φ-1(u)+γ)，

其中Tv為自由度為v的t分布的分布函數(shù). Kijima & Muromachi[16]考慮了如下變換

gγ(u)=E[Φ(G-1(u))Y+γ]，

其中Y是非負(fù)隨機(jī)變量,G(x)是隨機(jī)變量U/Y的分布函數(shù),U是與Y獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量. Godin等[17]引入了NIG變換

gα,β,δ,γ(u)=ΦNIG(ΦNIG-1(u)+γ)，

其中ΦNIG為NIG分布的分布函數(shù).

為了刻畫(huà)收益率的非正態(tài)性質(zhì), 國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了很多模型模擬收益率. Meixner過(guò)程就是其中之一.Meixner過(guò)程的增量分布具有尖峰厚尾性質(zhì), 這些性質(zhì)非常適合刻畫(huà)資產(chǎn)價(jià)格的收益率. 本文利用概率變換思想, 基于Meixner分布定義了一類(lèi)新的概率扭曲函數(shù)——Meixner扭曲函數(shù), 證明了在Meixner模型中, 按Meixner扭曲函數(shù)得到的期權(quán)價(jià)格和在均值修正鞅測(cè)度(mean correcting martingale measure)下得到的期權(quán)價(jià)格一致, 從而說(shuō)明了按Meixner扭曲函數(shù)得到的期權(quán)價(jià)格無(wú)套利. 數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明, 按Meixner扭曲函數(shù)得到的期權(quán)價(jià)格非常準(zhǔn)確.

1 Meixner分布和Meixner過(guò)程

Meixner過(guò)程源于正交多項(xiàng)式理論的研究, 首先由Schoutens等[18]引入.后來(lái), Grigelionis[19]將其應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)的建模. 目前,Meixner過(guò)程是金融數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型.本節(jié)將介紹Meixner分布和Meixner過(guò)程.

定義1如果隨機(jī)變量X的特征函數(shù)為

(2)

Grigelionis[19]給出了Meixner分布的密度函數(shù)

(3)

Meixner分布的各階矩都存在. 這里僅列出后面參數(shù)估計(jì)中需要用到的期望(E(X)), 方 差(D(X)), 偏度(Skewness(X))和峰度(Kurtosis(X)),

由于正態(tài)分布的峰度為3, 容易看到Meixner分布的峰度總是大于正態(tài)分布的峰度.

由(2)式，對(duì)任意正整數(shù)n有

故Meixner分布無(wú)窮可分, 從而可以按如下方式定義Meixner過(guò)程.

定義2概率空間(Ω,F,(Ft)t≥0,P) 上的右連左極過(guò)程X={Xt,t≥0}稱(chēng)為具有參數(shù)(a,b,m,d)的Meixner過(guò)程, 如果Xt滿(mǎn)足

1.X0=0 a.s.;

2.Xt具有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量 ;

3.Xt～M(a,b,mt,dt) .

下面的結(jié)論在本文后面定理4的證明和數(shù)值實(shí)驗(yàn)中需要用到.

定理1設(shè)X～M(a,b,m,d),α∈R,β∈R,α≠0, 記Y=αX+β.則

Y～M(a|α|,sgn(α)b,αm+β,d),

(4)

其中sgn是符號(hào)函數(shù).特別地, 若Y=-X, 則Y～M(a,-b,-m,d).

證明只需證明Y的特征函數(shù)具有(2)形式.

E[exp(iuY)]=E[exp(iu(αX+β))]

由于cosx,coshx都是偶函數(shù), 故

最后等式表明Y～M(a|α|,sgn(α)b,αm+β,d).

2 Meixner扭曲函數(shù)

本節(jié)基于Meixner分布, 提出Meixner扭曲函數(shù), 并研究Meixner扭曲函數(shù)對(duì)Meixner分布的影響.

定義3設(shè)X～M(a,b,m,d), 稱(chēng)概率扭曲函數(shù)

(5)

為Meixner扭曲函數(shù).

與王氏變換只有一個(gè)參數(shù)不一樣,Meixner扭曲函數(shù)有5個(gè)參數(shù). 本質(zhì)上,Meixner扭曲函數(shù)就是把-X的x分位數(shù)向左或向右平移|γ|個(gè)單位, 然后重新用-X的分布函數(shù)作用. 我們接下來(lái)討論Meixner扭曲函數(shù)對(duì)Meixner分布的影響.

定理2設(shè)X～M(a,b,m,d),h(X)是連續(xù)遞增的非負(fù)函數(shù),Z=h(X).則

(6)

證明因X是連續(xù)型隨機(jī)變量, 故

SZ(x)=P(Z>x)=P(h(X)>x)=P(X>h-1(x))=F-X(-h-1(x)).

將Meixner扭曲函數(shù)gγ;a,b,m,d(x)作用于SZ(x)可得

因此, (6)成立.

3 期權(quán)定價(jià)

本節(jié)研究Meixner扭曲函數(shù)在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用.

考慮如下幾何Lévy市場(chǎng)模型: 市場(chǎng)中有兩種資產(chǎn), 一種為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn), 其價(jià)格過(guò)程為

Bt=exp(rt).

另一種資產(chǎn)稱(chēng)為股票, 其價(jià)格過(guò)程為

St=S0eXt,0≤t≤T,

(7)

其中, 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r和股票初值S0都是正常數(shù),X={Xt,t∈[0,T]}是定義在概率空間(Ω,F,F=(Ft)t∈[0,T],P)上的的Lévy過(guò)程. 如果Xt不是布朗運(yùn)動(dòng)和泊松過(guò)程, 則上述市場(chǎng)模型不完備, 因而存在無(wú)窮多個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度. 在幾何Lévy模型中, 通常選取均值修正鞅測(cè)度作為定價(jià)測(cè)度(參見(jiàn)Schoutens[20]). 均值修正鞅測(cè)度的核心思想是通過(guò)修正Lévy過(guò)程的均值, 使得股票價(jià)格過(guò)程的折現(xiàn)過(guò)程為鞅, 從而得到定價(jià)測(cè)度. 在Xt為Meixner過(guò)程時(shí), 我們把Schoutens[20]的結(jié)果總結(jié)為如下的引理.

引理1在模型(7)中, 設(shè)Xt在市場(chǎng)概率P下是參數(shù)為(a,b,m,d) 的Meixner過(guò)程, 則執(zhí)行價(jià)格為K、到期日為T(mén)的歐式看漲期權(quán)(ST-K)+在均值修正鞅測(cè)度Q下的價(jià)格為

EQ[e-rT(ST-K)+],

(8)

在模型(7)中, 設(shè)Xt是參數(shù)為(a,b,m,d)的Meixner過(guò)程,則XT～M(a,b,mT,dT). 令h(x)=S0ex, 則ST=h(XT). 利用定理2, 我們有

H[ST;-γ]=E[h(XT-γ)]

=S0e-γE[eXT]

=S0e-γeφ(-i)T.

γ*=(φ(-i)-r)T,

(9)

則顯然有

H[ST;-γ*]=S0erT.

換言之, 在Meixner扭曲函數(shù)g-γ*;a,b,mT,dT作用下, 資產(chǎn)的收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.

下面的定理說(shuō)明在指數(shù)Meixner模型中, 由Meixner扭曲函數(shù)得到的期權(quán)價(jià)格等于均值修正鞅測(cè)度下的價(jià)格.

定理3在模型(7)中, 如果Xt是參數(shù)為(a,b,m,d)的Meixner過(guò)程, 則

H[e-rT(ST-K)+;-γ*]=EQ{e-rT(ST-K)+},

(10)

其中Q是均值修正鞅測(cè)度,γ*由(9)式定義.

證明令h(x)=e-rT(S0ex-K)+, 則h(XT)=e-rT(S0eXT-K)+. 由定理2,

記YT=XT-γ*. 由于在實(shí)際概率P下,XT～(a,b,mT,dT), 由定理1可知, 在實(shí)際概率P下,YT～M(a,b,mT-γ*,dT). 另一方面,

EQ{e-rT(ST-K)+}=e-rTEQ{(S0eXT-K)+}.

因此, 定理的結(jié)論成立.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將對(duì)來(lái)自五個(gè)常用的期權(quán)定價(jià)模型(B-S模型、Merton跳擴(kuò)散模型、NIG模型、Meixner模型和VG模型)的模擬數(shù)據(jù), 討論三種扭曲函數(shù)(分別基于正態(tài)分布、NIG分布和Meixner分布)定價(jià)的準(zhǔn)確性.

理論上, 在將要討論的5個(gè)模型中, 股票價(jià)格的下確界為0, 上確界為+∞. 但在計(jì)算機(jī)模擬過(guò)程中, 必有min{ST}>0,max{ST}<+∞. 同時(shí), 在數(shù)值計(jì)算中, 需要用經(jīng)驗(yàn) 分布代函數(shù)代替真實(shí)分布函數(shù). 這些都會(huì)對(duì)相對(duì)誤差產(chǎn)生無(wú)法避免的影響. 另外，容易得到當(dāng)執(zhí)行價(jià)格K大于或等于模擬價(jià)格的最大值時(shí), 任何模型下, 三種扭曲算子的相對(duì)誤差都等于1; 而當(dāng)執(zhí)行價(jià)格K小于或等于模擬價(jià)格的最小值時(shí), 任何模型下, 三種扭曲算子的相對(duì)誤差都等于exp(-rT)min{ST}/S0. 因此, 對(duì)于深度虛值期權(quán)和深度實(shí)值期權(quán)而言, 比較三種扭曲算子的準(zhǔn)確性就沒(méi)有意義. 基于這個(gè)原因, 本文主要討論當(dāng)執(zhí)行價(jià)格在股票初始價(jià)格S0附近時(shí)的相對(duì)誤差.

4.1 B-S模型

在模型(7)中, 令Xt=(μ-0.5σ2)t+σWt, 其中Wt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng). 首先利用參數(shù)S0=50,r=0.05,T=0.5,σ=0.15,μ=0.1, 模擬出5 000個(gè)股票價(jià)格ST. 其次, 利用極大似然估計(jì)方法求得NIG分布的參數(shù)估計(jì)

和Meixner分布的參數(shù)估計(jì)

最后利用三種扭曲函數(shù)(分別基于正態(tài)分布、NIG分布和Meixner分布)計(jì)算歐式看漲期權(quán)的價(jià)格及其相對(duì)誤差. 由于此次模擬max{ST}=76.254 1, min{ST}=34.803 7, 從圖1左圖可以看到, 當(dāng)執(zhí)行價(jià)格不小于76.254 1時(shí), 三種扭曲函數(shù)得到的相對(duì)誤差都為1; 當(dāng)執(zhí)行價(jià)格K→0+時(shí), 三種扭曲函數(shù)得到的相對(duì)誤差都收斂于

exp(-rT)min{ST}/S0=0.678 9.

從圖1右圖可以看到, 當(dāng)執(zhí)行價(jià)格在S0=50附近時(shí), 王氏變換的相對(duì)誤差最小, Meixner和NIG變換的相對(duì)誤差幾乎沒(méi)差異, 最大的相對(duì)誤差不超過(guò)6.5%. 因此, 在BM模型中, 由這三種扭曲函數(shù)得到的期權(quán)價(jià)格都非常準(zhǔn)確.

圖1 B-S模型中三種扭曲算子價(jià)格的相對(duì)誤差Fig.1 The relative errors of prices of three distortion operators in B-S model

4.2 Merton跳擴(kuò)散模型

Merton[21]考慮了如下跳擴(kuò)散模型

與B-S模型的做法類(lèi)似, 給定S0=30,r=0.05,T=0.5,μ=-0.1,σ=0.2,λ=1.5,

μY=0.2,σY=0.3. 先模擬出5 000個(gè)股票價(jià)格ST.利用極大似然估計(jì)方法求得NIG分布和Meixner分布的參數(shù)分別為

此次模擬max{ST}=173.801 5,min{ST}=6.702 3, 從圖2左圖可以看到, 當(dāng)執(zhí)行價(jià)格不小于173.801 5時(shí),3種扭曲函數(shù)得到的相對(duì)誤差都為1; 當(dāng)執(zhí)行價(jià)格K→0+時(shí),3種扭曲函數(shù)得到的相對(duì)誤差都收斂于exp(-rT)min{ST}/S0=0.217 9. 從圖2右圖可以看到, 當(dāng)執(zhí)行價(jià)格在30附近時(shí), Meixner價(jià)格和NIG價(jià)格比較準(zhǔn)確, 相對(duì)而言, Meixner價(jià)格稍?xún)?yōu)于NIG價(jià)格, 但王氏變換價(jià)格比較差.

圖2 Merton跳擴(kuò)散模型中三種扭曲算子價(jià)格的相對(duì)誤差Fig.2 The relative errors of prices of three distortion operators in merton jump diffusion model

4.3 NIG模型

在模型(7)中, 設(shè)Xt是參數(shù)為(α,β,μ,δ)的NIG過(guò)程. Godin[17]給出了均值修正鞅測(cè)度下, 歐式看漲期權(quán)CT=max{ST-K,0}∣的價(jià)格為

給定S0=30,r=0.08,T=0.5,α=10,β=-0.2,μ=0.1,δ=0.3后, 模擬出5 000個(gè)股票價(jià)格ST. 利用極大似然估計(jì)方法求得Meixner分布的參數(shù)為

本次模擬max{ST}=59.561 3,min{ST}=16.949 3, 從圖3左圖可以看到, 當(dāng)執(zhí)行價(jià)格不小于59.561 3時(shí), 三種扭曲函數(shù)得到的相對(duì)誤差都為1; 當(dāng)執(zhí)行價(jià)格K→0+時(shí), 三種扭曲函數(shù)得到的相對(duì)誤差都收斂于exp(-rT)min{ST}/S0=0.542 8. 從圖3右圖可以看到, NIG價(jià)格和Meixner價(jià)格比較準(zhǔn)確, 王氏變換價(jià)格比較差.

圖3 NIG模型中三種扭曲算子價(jià)格的相對(duì)誤差Fig.3 The relative errors of prices of three distortion operators in NIG model

4.4 Meixner模型

設(shè)模型(7)中的Xt是參數(shù)為(a,b,m,d)的Meixner過(guò)程.給定S0=50,r=0.08,

T=0.5,a=0.3,b=-0.1,m=0.15,d=0.2后, 模擬出5 000個(gè)股票價(jià)格ST.NIG分布參數(shù)的極大似然估計(jì)值為

本次模擬max{ST}=142.816 8,min{ST}=15.522 9, 從圖4左圖可以看到, 當(dāng)執(zhí)行價(jià)格不小于142.816 8時(shí), 三種扭曲函數(shù)得到的相對(duì)誤差都為1; 當(dāng)執(zhí)行價(jià)格K→0+時(shí), 三種扭曲函數(shù)得到的相對(duì)誤差都收斂于exp(-rT)min{ST}/S0=0.298 3. 從圖4右圖仍然可以看到,NIG價(jià)格和Meixner價(jià)格比較準(zhǔn)確, 王氏變換價(jià)格比較差.

圖4 Meixner模型中三種扭曲算子價(jià)格的相對(duì)誤差Fig.4 The relative errors of prices of three distortion operators in Meixner model

4.5 VG模型

設(shè)模型(7)中的Xt是參數(shù)為(θ,ν,σ,μ)的VG過(guò)程. 取參數(shù)S0=50,r=0.05,

T=0.5,θ=-0.2,v=0.1,σ=0.15,μ=0.15后, 模擬出5 000個(gè)股票價(jià)格XT. 利用模擬價(jià)格, 分別得到NIG分布和Meixner分布參數(shù)的極大似然估計(jì)值為

本次模擬max{ST}=138.144 9,min{ST}=15.637 0, 從圖5左圖可以看到, 當(dāng)執(zhí)行價(jià)格 不小于138.144 9時(shí), 三種扭曲函數(shù)得到的相對(duì)誤差都為1; 當(dāng)執(zhí)行價(jià)格K→0+時(shí), 三種扭曲函數(shù)得到的相對(duì)誤差都收斂于exp(-rT)min{ST}/S0=0.305 0. 從圖5右圖可以看到, 總體上來(lái)說(shuō), NIG價(jià)格和Meixner價(jià)格比較準(zhǔn)確, 王氏變換價(jià)格比較差.

圖5 VG模型中三種扭曲算子價(jià)格的相對(duì)誤差Fig.5 The relative errors of prices of three distortion operators in VG model