江蘇常州市金壇區(qū)唐王小學（213243） 楊曄

數(shù)學模型可以理解為“用格式化的語言概括地表征所研究對象的特征及其關系的數(shù)學結(jié)構(gòu)”。如果用一張圖來表示數(shù)學的元素，你就會看到很多公式、符號、圖形，其實這就是數(shù)學模型。換言之，數(shù)學模型就是數(shù)學外顯的語言?？v觀數(shù)學的研究，都是對數(shù)學模型建立的探索，從猜想到結(jié)論，從發(fā)現(xiàn)到運用，數(shù)學思想、數(shù)學思維、數(shù)學能力都在這一過程中充分展現(xiàn)。小學階段，教師主要是培養(yǎng)學生的模型意識，通過建模教學，讓學生感受到很多生活問題都可以用數(shù)學模型進行表達和解釋，從而更深刻地認識到數(shù)學與生活的聯(lián)系。

一、建模教學淡化的歸因分析

筆者在對數(shù)學建模進行研究前，和部分數(shù)學教師關于“建?！苯虒W進行了討論，發(fā)現(xiàn)大家普遍對建模概念的理解比較模糊，在課堂上很少讓學生從這個角度進行研究。這是為什么呢？

1.站高看低，忽略模型意識的滲透

從知識的維度看，小學數(shù)學課堂簡單且顯而易見，如“一共”用加法計算，“平均分”用除法計算，大家也普遍認為“建?！笔菙?shù)學高追求下的產(chǎn)物，小學階段的學生只需吸收和運用。從能力的維度分析，小學生還處于數(shù)學學習的初始階段，他們未有很強的能力去發(fā)現(xiàn)大家已經(jīng)認識到的問題，無須在此進行深挖。從培養(yǎng)核心素養(yǎng)的維度想，模型思想很難在一些課堂中體現(xiàn)，也不易產(chǎn)生成果，而其他素養(yǎng)更加直白，更容易被挖掘和塑造。從教師自身看，我們是數(shù)學知識的傳遞者，并非數(shù)學知識的研究者，我們需要做的是將已有的知識教給學生，從而完成數(shù)學學習的不斷賡續(xù)，建模是從無到有的過程，既然已有，自然無須反復強化。當大家站在巨人的肩膀上來俯瞰小學數(shù)學時，模型意識自然就被忽略了。

2.舍遠求近，忽略模型結(jié)構(gòu)的價值

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，從概念的角度剖析，無論是“數(shù)量關系”還是“空間形式”，最后的呈現(xiàn)都依賴于模型。而模型的建立，必然需要很多其他素養(yǎng)的介入，如數(shù)感、空間觀念等。當教師都聚焦于這些時，就容易忽略模型結(jié)構(gòu)本身的價值。教師普遍在糾結(jié)：這些簡單的數(shù)學公式很多學生都已經(jīng)會了，還有必要讓他們?nèi)ニ伎歼@些是怎樣來的嗎？跟小學生談數(shù)學建模，太難太深了，這如同數(shù)學的創(chuàng)造，我們難以駕馭。這是制約數(shù)學建模教學的問題之一。但教師忽略了一個重點，那就是如果學生在小學階段沒有形成數(shù)學模型的意識，那么在后面的學習中將如何有更多數(shù)學的創(chuàng)造呢？高斯在10歲時能將1加到100的和用等差數(shù)列模型求解出來，這就是建立和運用模型的智慧。當代的小學生同樣可以通過教師的精心教學，對一些常見的問題加以思考形成數(shù)學模型，為將來的數(shù)學學習服務。

3.思弱用強，忽略模型內(nèi)涵的寬泛

抽象、推理、建模是數(shù)學能力的三大核心，抽象和推理都是為模型的建立服務的，通過三者的融通，能提升數(shù)學學習的水平。數(shù)學課程標準強調(diào)的是模型思想，指出學生初步形成模型思想是為提高學習數(shù)學的興趣和應用意識服務，起媒介作用。因此教師會跳過模型思想的形成，去重點研究數(shù)學知識的應用，從而忽略模型內(nèi)涵的寬泛，將過程中的思考和模型建立弱化，將具體的運用放大為教學的核心。同時，強烈的“質(zhì)量觀”讓教師更關注問題的解決，將已有的模型通過簡化變?yōu)橐锥姆绞絺鬟_給學生，在更多的問題解決中獲得質(zhì)量提升的成就感。

二、培養(yǎng)模型意識的實踐探索

模型意識是一種表達思維，模型是反映外部事物聯(lián)系和規(guī)律的方式。在教學時滲透模型意識，學生才能逐步形成建模觀念，最后形成建模能力。

1.智用抽象推理，放慢建模過程

史寧中教授將對數(shù)學發(fā)展影響最大的三種思想“抽象、推理、模型”用下圖來表示。

通過這幅圖，我們可以清晰地認識到模型思想指向核心素養(yǎng)，數(shù)學建模指向“四能”的發(fā)展，素養(yǎng)與能力相輔相成，是同一目標的不同表達。抽象和推理推動數(shù)學模型的形成，將整個數(shù)學研究以閉環(huán)的姿態(tài)向前推進。從這個視角可以看出，數(shù)學知識的學習離不開數(shù)學建模，建立模型是目標，應用模型是發(fā)展。其他的核心素養(yǎng)都是模型思想形成之路上的輔助工具和生成元素，因為對模型進行探究，才讓數(shù)學變得更加豐潤和充滿魅力。有時，模型的建立只源于一種靈感或是瞬間的感悟，但求解模型的過程往往很漫長，也正是因為漫長，才讓數(shù)學如大樹般，生長出了枝丫。這種“漫長”是一種嚴謹，更是一種方向的指引。課堂中，教師也應該放慢建模的過程，讓學生在探究中體會學習數(shù)學的快樂。

如蘇教版教材四年級下冊“加法交換律”的教學，學生根據(jù)例題已經(jīng)抽象出加法交換律的模型，然后要驗證模型的正確性。

出示活動任務：

驗證猜想“交換兩個加數(shù)的位置，和不變”。

想一想：用什么方法驗證？

寫一寫：記錄你的驗證過程。

說一說：根據(jù)過程先自己組織語言說一說，再進行全班交流。

呈現(xiàn)學生資源：

層次一：學生用舉例的方式進行驗證，其中包含整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、較大的數(shù)等算式的驗證過程。（多個資源）

層次二：學生通過畫線段圖進行驗證，并在圖中標出具體的數(shù)值，線段的起點和終點的位置相同。（一個資源）

層次三：同樣畫線段圖進行驗證，但是在線段圖上用字母表示數(shù)值。（一個資源）

教師講解時重點對用線段圖驗證的學生進行追問，讓學生說明想法，并在三種驗證方法結(jié)束后提問有沒有遇到反例。當學生匯總沒有反例后下結(jié)論，強調(diào)加法交換律的文字表達和字母表達。

通過上面的教學環(huán)節(jié)可以發(fā)現(xiàn)驗證模型的過程其實很慢，并不是通過幾個例證就能加以肯定，而是通過三個層次不斷遞進肯定的。層次一的數(shù)值舉例驗證關注不同種類的數(shù)，呈現(xiàn)較為豐富的資源。圖形表征是學生從合情推理轉(zhuǎn)向演繹推理的過渡，更是模型思想的核心，需要學生有較強的推理能力。層次二正是學生的理性萌芽向?qū)哟稳缭降淖詈梅鎏?。層次三拋開數(shù)值的局限，直接抽象出字母模型，讓學生的思維進一步走向嚴謹和深刻。最后通過“有沒有反例”來逆向完善學生的建模過程，幫助學生在“慢”推理和抽象中，形成正確的數(shù)學探究行為，養(yǎng)成嚴密的邏輯思維。這不僅僅是對學生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，更是對他們數(shù)學思維的完善。后面加法結(jié)合律的證明也再次體現(xiàn)了這種“慢”的價值，通過舉例的方式進行驗證的學生人數(shù)明顯降低，但資源卻非常豐富，他們綜合考慮了數(shù)的種類，更多的學生傾向于用線段圖驗證，模型的建立有了蓬勃的生長。小學數(shù)學課堂有時看似很稚嫩，一年級時要用一節(jié)課的時間教學生在幼兒園就明白的“加”，這用教嗎？其實這教的不是知識本身，而是數(shù)學思想的滲透、數(shù)學思維的塑造、數(shù)學能力的培養(yǎng)。建模是培養(yǎng)素養(yǎng)的催化劑和腳手架，需要通過“慢”教模型的過程來逐步形成。

2.關注思維節(jié)點，抓實培養(yǎng)契機

從數(shù)學語言的角度縱觀學生學習數(shù)學知識的過程，其實是在掌握一個個數(shù)學模型。每節(jié)課也都有培養(yǎng)的重心，如果關注的素養(yǎng)過多，很容易將數(shù)學課堂做成“大鍋飯”，反而失去其“色香味”。模型意識的培養(yǎng)可以抓住關鍵的思維節(jié)點，強化基礎模型，延展變化模型，讓學生感受到模型之間的聯(lián)系，找到共性，為其縱向發(fā)展夯實根基。

如蘇教版教材六年級上冊的“分數(shù)乘整數(shù)”教學。教學時，教師先通過問題“導彈方陣每列4輛導彈裝甲車，有3列，每輛上有4枚導彈，一共有多少枚導彈？”與“解放軍每步都走0.75米，10步能走多少米？如果走n步呢？”，幫助學生復習整數(shù)乘法和小數(shù)乘整數(shù)模型，喚醒學生“乘法是加法簡便運算”的經(jīng)驗。接著出示例題，學生列出或兩道分數(shù)算式，分析兩種算式列法，提出學習模型：分數(shù)與整數(shù)相乘的乘法。

如何在教學時使探究過程有層級地逐步推進？首先，學生自主探究分數(shù)乘整數(shù)的計算方法，抽象出“分數(shù)與整數(shù)相乘，用分數(shù)的分子與整數(shù)相乘得到積的分子，分母不變”的計算模型。其次，拋出另一個分數(shù)乘整數(shù)的乘法算式，出示，讓學生將它轉(zhuǎn)化為加法算式驗證結(jié)果是否是。最后，讓學生意識到列舉的繁雜性和不完整性，從而想到用來代表分數(shù)乘整數(shù)并加以證明。

本課的基礎模型是乘法，變化模型是整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘整數(shù)，分數(shù)乘整數(shù)是在小數(shù)乘整數(shù)的基礎上延伸的，是對乘法模型的再次豐富。在這個思維節(jié)點上，關注乘法模型的解決方法，不僅可以突出模型的共性，還能將模型的創(chuàng)造過程進行充分的展現(xiàn)，為后面分數(shù)乘分數(shù)的學習做鋪墊。同時，我們也發(fā)現(xiàn)建模教學可以將學生點狀的思維系統(tǒng)化，合并成類，形成深刻的數(shù)學結(jié)構(gòu)。當學生學習分數(shù)乘分數(shù)后，乘法模型就會合并成最終結(jié)構(gòu)：分子相乘作分子，分母相乘作分母。這一模型也可用于解釋整數(shù)乘法和小數(shù)乘法，這就是模型探究的魅力，它是有層級地逐步推進，從而系統(tǒng)化、完整化。學生抓住思維節(jié)點進行探究，可以夯實模型意識，感悟數(shù)學模型的高度概括性，達成數(shù)學語言表達的精準性。

3.強化模型本質(zhì)，靈活辨析應用

建模是一個閉環(huán)的過程，從問題出發(fā)，建立模型、求證模型，而后讓模型作用于實際問題。數(shù)學本身是對問題不斷求解的過程，模型是解決問題的媒介。如何運用好模型，這不僅僅是教學的另一重點，更涉及學生對模型的理解與辨析。筆者在教學中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，當只出現(xiàn)一種模型時，學生對其運用都非常熟練，錯誤也非常少，但當模型多了之后，學生就容易混淆，結(jié)構(gòu)錯亂化。如何處理好模型的運用，提煉模型本質(zhì)，這是課堂上不可或缺的環(huán)節(jié)。

（1）注重問題對比，在辨析中不斷明確

小學數(shù)學知識的學習是在不同的思維區(qū)域內(nèi)打“地基”。這時候?qū)W生學習的知識是分散的，還未形成關聯(lián)，因而在提煉模型時，學生會因為問題結(jié)構(gòu)的不清晰而出現(xiàn)錯誤。教師在處理該問題時，應該抓住這一學習特點和思維特性，將問題進行對比，明辨模型結(jié)構(gòu)的區(qū)別，從而不斷提升學生對模型的運用能力。如對于長方形周長和面積的計算，學生經(jīng)常會混淆周長計算模型和面積計算模型。在教學面積計算模型時，教師應該先復習周長計算模型，讓學生意識到周長和面積是兩個不同的概念。部分教師會忽略這一點，因為周長和面積的教學時間相差較遠。筆者在面積的教學中設計了三個對比：課前對比，發(fā)現(xiàn)周長和面積的區(qū)別，通過周長計算公式激發(fā)學生探究面積公式的欲望；課中對比，推導出面積公式后，讓學生辨別其與周長公式的區(qū)別；課末對比，利用題組練習使學生對周長和面積兩個概念的認識更深刻。運用對比手法，幫助學生在模型提煉中明確，在模型運用中思辨，提升模型意識培養(yǎng)速率。

（2）抓實問題本質(zhì)，在理解中合理運用

筆者清晰地認識到，學生模型意識的養(yǎng)成并非一朝一夕之事，他們對知識的掌握是一個漸進的過程。教師在關注學生運用模型的同時，還要幫助學生理解，只有建立在明白基礎上的解決才是學習本身的追求。很多時候?qū)W生對模型的運用過于機械，“正確”的背后留下了思維定式的“暗瘡”，待時機成熟就會爆發(fā)。在教學時，教師要關注學生對問題的理解和對本質(zhì)的把握，只有如此，學生才能在模型的運用中更加靈活。例如四年級上學期教學用連除或先乘再除解決歸一問題時，其實很多學生都已經(jīng)掌握了解決問題的模型，在運用中也沒有出錯，但他們真的理解了模型嗎？教學時，教師一定要抓實學生對問題的理解，說明每一步算的是什么，只有說得清理得順，才是真的掌握了模型。如一年級學生在解決“媽媽有10個蘋果，比小明多5個蘋果，小明有幾個蘋果？”時，常會計算成“10+5”，這其實就是對“求比一個數(shù)多幾”模型的掌握不夠清晰，未真正理解多和少的本質(zhì)。教師作為知識的傳遞者，學習的引導者，要幫學生從小形成正確的模型應用意識，如此，學生才能在不斷變化的數(shù)學問題中合理運用，形成素養(yǎng)。

讓學生自己創(chuàng)造出已有的數(shù)學模型，不僅可以增強成就感，還能在創(chuàng)造的過程中綜合運用已有的數(shù)學能力，提升自身的數(shù)學素養(yǎng)。因此，進行數(shù)學建模的研究，應在過程的放慢中抓實思維節(jié)點，強化模型本質(zhì)，提升能力、進階思想、賡續(xù)思維，讓數(shù)學語言展現(xiàn)其獨特的魅力。