楊 宏

(中鐵二十局集團市政工程有限公司 甘肅蘭州 730030)

1 引言

隨著青藏高原與西北大區(qū)域交通基礎設施建設需求持續(xù)增加，高海拔寒區(qū)隧道工程的建造規(guī)模也在逐年擴大[1－2]。其中，降低隧道凍害成為當前亟待解決的關鍵科學問題，也是高寒隧道工程界學者們研究的難點與重點。尤其當洞外處于極端環(huán)境溫度，寒冷氣流進入隧道洞內(nèi)后與襯砌、路面及其下臥的仰拱發(fā)生反復熱交換，致使隧道襯砌、仰拱以及排水結(jié)構(gòu)等出現(xiàn)嚴重凍害，這些問題對高寒隧道的運營管理與安全行車造成嚴重困擾[3]。

凍結(jié)鋒面作為高寒隧道保溫板設計計算的重要參考，對高寒隧道工程保溫建設具有重要指導價值。然而當前對高寒隧道凍結(jié)鋒面的研究成果尚不深入，現(xiàn)有研究主要集中于單管凍結(jié)與少部分凍土凍結(jié)方面[4－6]，而公路隧道一般半徑較大，且洞內(nèi)縱向溫度存在差異，斷面溫度差異不可忽略，所以獲取凍結(jié)鋒面的解析解較為困難。賴遠明利用攝動技術(shù)，得到凍結(jié)鋒面半徑與時間控制方程，但未考慮風流場因素及縱向凍結(jié)鋒面變化。馮強[7]建立了保溫板條件下寒區(qū)隧道凍結(jié)鋒面演化控制方程。趙玉報[8]利用FLAC3D技術(shù)，研究了凍土隧道圍巖凍結(jié)鋒面發(fā)展規(guī)律。劉鶴[9]依托太錫鐵路太崇段崇禮隧道工程，通過數(shù)值計算對季凍性寒區(qū)隧道波紋鋼排水溝的適應性進行研究。但目前針對風流場條件下高寒隧道凍結(jié)鋒面數(shù)學模型計算參數(shù)的選取上，未能統(tǒng)一標準。本文依托大阪山隧道，推導出高寒隧道三區(qū)域凍結(jié)鋒面計算模型近似理論解，與實測數(shù)據(jù)進行對比分析并修正鋒面參數(shù)，理論值與實測值吻合效果良好，可為同類工程提供指導。

2 凍結(jié)鋒面控制方程推導與工程應用

2.1 高寒隧道溫度場計算控制方程

本問題涉及相變傳熱，其能量控制方程為:

式中:f、u分別代表凍、融狀態(tài)；T、C、λ分別為圍巖溫度、體積比熱與導熱系數(shù)。

在移動邊界s(t)上，需滿足連續(xù)條件與守恒條件:

式中:Tm為相變溫度；L為含水巖土的相變潛熱；n為移動邊界的方向矢量。

在固定邊界上的邊界條件為:

式中:α為巖土熱擴散系數(shù)；Ta為環(huán)境溫度；n固定邊界的方向向量。

初始條件為:

賴遠明考慮ΔT的影響構(gòu)造了等價熱容:

結(jié)合式(3)～式(8)，將式(1)～式(2)簡化為:

2.2 高寒隧道溫度場計算相關參數(shù)

2.2.1 容積熱容

巖土體容積熱容按下式計算:

式中:C為巖土體容積熱容；Cs為巖土體比熱；ρ為巖土體天然密度。

巖土體比熱按下式計算:

式中:Cus、Cfs、Cdf、Cdu、Cω、Ci分別為未凍土比熱、凍土比熱、凍土骨架比熱、融土骨架比熱、水比熱、冰比熱；us與fs分別代表未凍結(jié)與凍結(jié)土體；ω與ωu分別為土體含水率與未凍結(jié)土體含水率。

2.2.2 導熱系數(shù)

各組成物質(zhì)的導熱系數(shù)及相應體積比計算:

式中:λu、λf、λs、λw、λi分別為未凍土、凍結(jié)土、土骨架、水和冰的導熱系數(shù)；θs、θw、θi分別為土骨架、水和冰的體積含量。

2.3 潛熱與熵焓理論

常用的潛熱處理方法包括溫度回升法、等價比熱容法和熱焓法，焓定義為:

對溫度求導可得:

代入熱傳導方程

焓值的變化為密度與比熱的乘積對溫度的積分，表示為:

2.4 通風條件下隧道洞內(nèi)氣溫縱向分布特征計算模型

據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析可知，隧道洞內(nèi)縱向氣溫分布規(guī)律[10－11]為:

式中:Tm為洞內(nèi)年平均氣溫；Tv為洞內(nèi)溫度“振幅”；φ0為相位；ω＝2π/φ，φ為氣溫變化周期。

由于φ0沿隧道縱向變化程度較小，計算時認為φ0為定值，所以只要確定Tm與Tv即可。

圖1為隧道縱向溫度傳熱模型。

圖1 隧道縱向溫度傳熱模型

圖中:T0(t)為洞口溫度；Td(z，t)為洞壁溫度；f(z，t)為洞內(nèi)溫度；qz為圍巖與氣體傳遞的熱量；Vf為洞內(nèi)氣體流速；dz為距離微分單元。

隧道洞內(nèi)氣體能量守恒方程為:

式中:cp為洞內(nèi)氣體比熱容；ρ洞內(nèi)氣體密度；A隧道斷面截面積；p隧道環(huán)向弧長；hf為圍巖與氣體對流換熱系數(shù)。

隧道洞內(nèi)風速呈冪函數(shù)形式衰減，記為Vf＝V(l)，l為隧道進深。

整理可得:

將式(2)和式(4)代入式(5)得:

結(jié)合邊界條件Tm＝Tm0，z＝0得:

將式(2)和式(4)代入式(5)還可得到:

式中:R1為隧址區(qū)凍結(jié)埋深[9]。

結(jié)合邊界條件Tv＝Tv0，z＝0得到:

式中:T0為洞口溫度；d為隧道等效半徑；dl為隧道圍巖溫度場影響半徑；p為隧道環(huán)向弧長；ks為圍巖導熱系數(shù)；α為巖石熱擴散系數(shù)。

進而得到高寒隧道縱向溫度場分布規(guī)律:

2.5 通風條件下高寒隧道凍結(jié)鋒面計算模型

凍結(jié)區(qū)域溫度為Tf，未凍結(jié)區(qū)域溫度為Tu，凍結(jié)鋒面半徑為R(t)，凍結(jié)鋒面處的溫度Tj＝0℃，隧道半徑為Rt，隧道洞內(nèi)熱流密度為q。圖2為凍結(jié)鋒面示意圖。

圖2 凍結(jié)鋒面示意

其熱傳導微分方程為:

式中:αf、αu為熱擴散系數(shù)，且有:

式中:λ、c與ρ分別為導熱系數(shù)、比熱與飽和密度。

熱傳導微分方程的初始條件為:當t＝0時，Tf＝Tu＝T0。

熱傳導微分方程邊界條件為:

按照集中參數(shù)法[12]，其熱流量表達式為:

式中:h為固體與流體的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)；A為物體表面積；V為物體體積；c為比熱；ρ為密度；T00為初始溫度，置于隧道洞內(nèi)氣溫為T11的流體中，即:

在相變界面R(t)處的熱方程為:

式中:L為單位容積巖體相變潛熱，即:

式中:Lw為單位質(zhì)量水的相變潛熱；ρd為巖體的干密度；w0為巖體的初始含水率；wu為巖體中未凍結(jié)水含量。

對導熱微分方程進行求解，得到溫度場分布規(guī)律:

將式(2)與式(17)代入式(20)得:

將式(9)與式(7)相應的Tm與Tv代入式(22)可得到凍結(jié)區(qū)域溫度場分布規(guī)律。

式中:E為指數(shù)積分函數(shù)，滿足:

當r＝R(t)時，Tf＝Tu＝0，基于單管凍結(jié)理論及平板凍結(jié)理論，結(jié)合有關研究成果，鑒于隧道斷面溫度不同，將理論凍結(jié)鋒面劃分為三個區(qū)域，每個區(qū)域的斷面初始溫度不同，結(jié)合彭立敏[13]研究成果及蔣斌松[14]研究成果，得到凍結(jié)鋒面半徑與時間的平方根關系方程:

式中:t為時間，d；a、b、c為待定系數(shù)。

風流場條件下高寒隧道溫度場可由單管凍結(jié)理論近似求解，當確定巖土體的熱物理參數(shù)后，凍結(jié)鋒面半徑可采用式(38)進行計算。

2.6 凍結(jié)鋒面理論解工程實例對比分析

以某高寒隧道實測溫度數(shù)據(jù)為依據(jù)，對凍結(jié)鋒面理論解與實測值進行對比分析，驗證理論解的合理性。

取空氣與圍巖對流換熱系數(shù)hf＝h＝12.0W/(m2˙K)，巖體的熱擴散系數(shù)為αf＝0.114 m2/d、αu＝0.225 m2/d，凍結(jié)區(qū)圍巖比熱與導熱系數(shù)分別為cf＝1.617×103J(kg˙K)、λf＝1.824 W/(m˙K)，未凍結(jié)區(qū)圍巖比熱與導熱系數(shù)分別為cf＝1.929×103J(kg˙K)、λf＝1.434 W/(m˙K)，體積相變潛熱為ρL＝46.44 ×106J˙m－3，圍巖初始溫度為1.5℃，密度為ρ＝2.5×103kg/m3。

根據(jù)物理模型試驗結(jié)果[15]，圖3為凍結(jié)鋒面區(qū)域劃分。由于實測數(shù)據(jù)只有區(qū)域二、三現(xiàn)場實測凍結(jié)深度，結(jié)合模型試驗結(jié)果來獲得區(qū)域一凍結(jié)深度現(xiàn)場數(shù)據(jù)?；诂F(xiàn)場區(qū)域二、三凍結(jié)深度，通過建立模型試驗三個區(qū)域凍結(jié)深度的關系可以得到區(qū)域一凍結(jié)深度數(shù)據(jù)，具體方法為:

圖3 凍結(jié)鋒面區(qū)域劃分

將模型隧道凍結(jié)鋒面區(qū)域一、二、三分別簡化為平均凍深，三個區(qū)域平均凍結(jié)深度存在關系:

區(qū)域一平均凍深∶區(qū)域二平均凍深∶區(qū)域三平均凍深 ＝1∶1.17∶2.36。

通過對現(xiàn)場區(qū)域二與區(qū)域三凍結(jié)深度關系對比(區(qū)域三平均凍深/區(qū)域二平均凍深)，可以看出每個時期的凍結(jié)深度關系波動范圍在1.85～2之間，與模型試驗區(qū)域二與區(qū)域三平均凍深2.07較為接近，說明模型隧道三個區(qū)域凍結(jié)深度關系與現(xiàn)場三個區(qū)域?qū)崪y凍結(jié)深度關系類似。

取隧道進深z＝20 m，由于現(xiàn)場測試數(shù)據(jù)有限，只有10～12月及次年1～3月數(shù)據(jù)，通過6個月的實測數(shù)據(jù)進行理論計算，結(jié)果與現(xiàn)場實測結(jié)果進行對比分析。將所有參數(shù)代入式(38)，三個區(qū)域待定系數(shù)b分別為0.15、0.18、033，表1～表3為理論解與實測值。

表1 凍結(jié)鋒面計算值與實測值比較(區(qū)域一)

表2 凍結(jié)鋒面計算值與實測值比較(區(qū)域二)

表3 凍結(jié)鋒面計算值與實測值比較(區(qū)域三)

得到凍結(jié)鋒面方程為:

將實測值與理論值進行相關性分析，見圖4～圖6。以區(qū)域二為例，當t<100 d，理論解與實測值相關性較低；當t>100 d，理論解與實測值接近程度增加，但計算值與實測值的相關系數(shù)屬于低度相關，建議采用修正系數(shù)對理論解進行修正分析。

圖4 凍結(jié)鋒面區(qū)域一理論解與實測值對比

圖5 凍結(jié)鋒面區(qū)域二理論解與實測值對比

圖6 凍結(jié)鋒面區(qū)域三理論解與實測值對比

修正原理采用相關系數(shù)最大化法，采用不同函數(shù)形式擬合現(xiàn)場數(shù)據(jù)，函數(shù)類型應與推導的理論方程相同，通過SPSS軟件進行不同擬合函數(shù)與現(xiàn)場數(shù)據(jù)的相關系數(shù)分析，得到相關系數(shù)最大擬合控制方程，然后再比較相關系數(shù)最大擬合控制方程與理論方程差異性，得到修正系數(shù)。

修正凍結(jié)鋒面方程為:

式中:m、n為修正系數(shù)。

經(jīng)計算，區(qū)域一修正系數(shù)m、n分別為1.87、－1.37，區(qū)域二修正系數(shù)m、n分別為1.83、－1.62，區(qū)域三修正系數(shù)m、n分別為1.97、－3.34，基于Perason相關系數(shù)計算法，修正理論計算值與實測值的相關性達到最大，結(jié)果較為可靠，見表4～表6。

表4 修正凍結(jié)鋒面計算值與實測值比較(區(qū)域一)

表5 修正凍結(jié)鋒面計算值與實測值比較(區(qū)域二)

表6 修正凍結(jié)鋒面計算值與實測值比較(區(qū)域三)

可見，凍結(jié)鋒面修正理論解能夠反映實測鋒面分布特征，通過確定隧道進深，可以得到整個風流場條件下高寒隧道不同進深處的凍結(jié)區(qū)域具體分布特征。

3 結(jié)束語

(1)基于風流場條件下的高寒隧道縱向氣溫計算模型，考慮單管凍結(jié)理論與瞬態(tài)熱傳導物體熱流量，給出了通風條件下高寒隧道凍結(jié)鋒面理論計算模型。

(2)對比分析了高寒隧道凍結(jié)鋒面理論計算值與實測值，并對凍結(jié)鋒面理論解進行修正，修正后的三個區(qū)域凍結(jié)鋒面可以用于現(xiàn)場高寒隧道的近似估算以及溫度場數(shù)值模擬的準確性檢驗。