鄭州 李金花 馬佑橋 任海東

1) (南京信息工程大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,南京 210044)

2) (江蘇海威光電科技有限公司,南通 226000)

Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT)回歸現(xiàn)象指一個多模非線性系統(tǒng)能周期性回到初始激發(fā)態(tài)的一個復(fù)雜的非線性過程,與該非線性系統(tǒng)的調(diào)制不穩(wěn)定性密切相關(guān).針對實驗中能如何較為方便地觀察到FPUT 回歸現(xiàn)象以及能如何觀察到更多FPUT 循環(huán)的問題,本文基于調(diào)制不穩(wěn)定性重點分析研究了施加在平面波上的擾動振幅和擾動頻率對所觀察到的FPUT 循環(huán)的影響.我們發(fā)現(xiàn),擾動振幅可以極大程度地影響所觀察到的FPUT 現(xiàn)象: 1) FPUT 循環(huán)數(shù)對擾動振幅的值非常敏感,擾動振幅越大,FPUT 循環(huán)數(shù)越多;2) 擾動振幅較小(較大)時,相應(yīng)的FPUT 循環(huán)頻譜就比較規(guī)則(很不規(guī)則).相比之下,擾動頻率對FPUT 循環(huán)數(shù)的影響不是很大(在最佳調(diào)制頻率附近的一個小范圍內(nèi),可觀察到FPUT 循環(huán)最多),但是它對脈沖周期性振幅最大位置處所激發(fā)的高階頻率成分的影響比較大,擾動頻率越大(越小),其可以激發(fā)的高階頻率成分越少(越多).本文的研究結(jié)果將對FPUT 實驗的觀測和理論發(fā)展提供一定的幫助.

1 引言

Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT)回歸現(xiàn)象指一個多模系統(tǒng)周期性回歸到初始激發(fā)態(tài)的非線性過程[1],是物理學(xué)領(lǐng)域中經(jīng)典的非線性問題,由Fermi 等[1]在1955 年使用第一代計算機仿真模擬多粒子非線性振動時發(fā)現(xiàn).FPUT 的發(fā)現(xiàn)是非線性物理學(xué)發(fā)展史上一個重要的里程碑,該研究直接促使了1965 年“孤子”概念的提出,是近代理論物理和可積系統(tǒng)研究的起點[2].隨著儀器精度和制作工藝的進步,近年來FPUT 回歸現(xiàn)象陸續(xù)在熱傳輸動力學(xué)[3]、晶格動力學(xué)[4]、流體力學(xué)[5]以及非線性光學(xué)[6]等不同物理領(lǐng)域的實驗中被觀察到.

調(diào)制不穩(wěn)定性是加在平面波上的微小擾動隨傳輸距離(或傳輸時間)指數(shù)增長的一種不穩(wěn)定性行為.由于能量不會無限增長,所以加在平面波上的微小正弦擾動在實際的模擬和實驗中均不會隨傳輸距離無限地指數(shù)增長,而是當(dāng)其增加到一定程度后快速衰減,形成一系列的周期性脈沖,該過程隨著傳輸距離(或傳輸時間)的增加會周期性地復(fù)現(xiàn),這一演化過程即FPUT 回歸現(xiàn)象[7-9].理論上講,FPUT 回歸現(xiàn)象與該非線性系統(tǒng)的嚴格雙周期波解[10-16]、Akhmediev 呼吸子解[17]及其他新型局域波解[18,19]等密切相關(guān).盡管如此,人們發(fā)現(xiàn)FPUT回歸現(xiàn)象的主要特征可以通過分析平面波的調(diào)制不穩(wěn)定性來定量地獲取[10-16],國際上發(fā)現(xiàn)了最新且非常有趣的研究結(jié)果,如由擾動平面波的非線性演化描述一定高階效應(yīng)下非線性系統(tǒng)的解析非對稱FPUT 回歸頻譜[20],以及不同擾動頻率會帶來結(jié)果相變[21]等.

自2001 年在光學(xué)實驗中首次觀察到FPUT現(xiàn)象以來[6],FPUT 的研究再次成為了非線性物理領(lǐng)域的一個研究熱點[7-9,22-30].理論方面,人們構(gòu)建了形成FPUT 不同種類的呼吸子解及雙周期波解[7-9]、預(yù)測了首次FPUT 及第二次FPUT 出現(xiàn)的位置[23,24]、研究了高階諧波的形成過程[25-27,31]、泵浦和擾動信號的初始相位差以及線性損耗和高階色散對FPUT 回歸現(xiàn)象的影響[28-30]等.實驗方面,人們設(shè)計了不同的實驗方案觀測FPUT 回歸現(xiàn)象,且改進實驗方案嘗試在實驗中能觀察到更多的FPUT 循環(huán)[30,32-37].

文獻[30,32-37]所報道的實驗基本上都是給定一組特定的擾動參數(shù)來觀察FPUT 回歸現(xiàn)象,同時從理論上一定程度地討論了各項擾動參數(shù)對FPUT 回歸現(xiàn)象的影響[30,32-37].針對如何在光學(xué)實驗中能相對容易地觀察到FPUT 回歸現(xiàn)象,以及如何能觀察到更多FPUT 循環(huán)的問題,本文基于調(diào)制不穩(wěn)定性分析通過數(shù)值模擬方法較為系統(tǒng)地研究了擾動振幅和擾動頻率對FPUT 回歸現(xiàn)象的影響.本文研究結(jié)果將為FPUT 的實驗觀察提供一定的理論支持.

2 模型方程與調(diào)制不穩(wěn)定性增益譜

本文主要考慮非線性光纖光學(xué)領(lǐng)域的經(jīng)典模型方程,忽略光纖的損耗,平面波在單模光纖中傳播的非線性控制方程為

其中,A為單模光纖中電場的慢變包絡(luò),z是傳播距離,t是時間坐標(biāo),β2是群速度色散系數(shù),三階克爾非線性系數(shù)γ=2πn2/(λAeff)(n2是折射率,λ是載波波長,Aeff是有效模面積).方程(1)的平面波解為

其中,P0是z=0 處的入射功率,γP0z是克爾效應(yīng)引起的非線性相移.平面波(2)式在光纖的正常色散區(qū)域(β2＞0)比較穩(wěn)定,施加在平面波上的微小擾動不會隨傳輸距離的增加而增長,而在光纖的反常色散區(qū)域(β2＜0),平面波是不穩(wěn)定的,加在平面波上的微小擾動會隨著傳輸距離的增長而急劇增長.依據(jù)線性穩(wěn)定性分析方法,其對應(yīng)的調(diào)制不穩(wěn)定性增益譜為[38]

峰值增益及最佳擾動頻率(即能產(chǎn)生峰值增益的擾動頻率)分別為

在(3)式和(4)式中,K和Ω分別代表擾動波束和擾動頻率.

3 FPUT 回歸現(xiàn)象

調(diào)制不穩(wěn)定性與FPUT 回歸現(xiàn)象密切相關(guān),本文基于調(diào)制不穩(wěn)定性研究擾動振幅和擾動頻率對FPUT 回歸現(xiàn)象的影響,采用實驗中常見的一類初始條件[30,32-36],即

其中δ為擾動振幅,Ω為滿足(3)式的擾動頻率.

人們在研究FPUT 問題時,通常都是在某一給定擾動振幅和擾動頻率條件下進行,而忽略了不同擾動振幅和不同擾動頻率對所觀察到的FPUT現(xiàn)象的影響.本文發(fā)現(xiàn)擾動振幅和擾動頻率均可以對所觀察到的FPUT 現(xiàn)象產(chǎn)生極大的影響,研究中采用常見的單芯單模非線性光纖參數(shù)即β2=—0.02 ps2/m,γ=2.5 kW—1·m—1.這里我們需要聲明本文以下結(jié)果的討論適用于其他在實驗中常見的入射條件[30,32-36].

3.1 擾動振幅的影響

在本節(jié)研究中,不失一般性地固定擾動頻率為能產(chǎn)生增大增益的最佳擾動頻率,即Ω=Ωmax=.圖1(a)和圖1(b)分別描述平面波隨傳輸距離的三維波形演化和頻譜演化(δ=0.001,P0=1 kW,Ω=Ωmax=rad/ps);圖1(c)和圖1(d)給出了脈沖振幅在首次增長到峰值的空間距離處(z1FPUT=3.2 m)的波形和頻譜.如圖1(a)所示,脈沖振幅增加至最大值后快速衰減至初始狀態(tài),即FPUT 回歸現(xiàn)象.從圖1(a)和圖1(b)中可觀察到3 個完整的FPUT 循環(huán),z1FPUT=3.2 m 與文獻[23,24]中所預(yù)測的z1FPUT==3.04 m 符合地非常好,相鄰兩次脈沖振幅增長至最大值的空間位置呈等間距分布.圖1 所反映的FPUT 回歸現(xiàn)象的主要特征與文獻[23,24]在同樣初始條件下的結(jié)果類似.當(dāng)傳輸距離約大于20 m時,FPUT 現(xiàn)象消失,非線性波的演化開始變得毫無規(guī)律,這應(yīng)該是由非線性所激發(fā)的多頻率成分之間的相互作用所導(dǎo)致,此外可能和數(shù)值模擬所引入的噪聲有一定的關(guān)系(在實際實驗中,噪聲總是存在,我們的模擬結(jié)果是合理的).

圖1 非線性光纖中,擾動平面波(a)和相應(yīng)頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=3.2 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωmax=rad/psFig.1.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=3.2 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωmax=rad/ps .

當(dāng)擾動振幅增長時 (δ=0.1,其他參數(shù)不變),平面波的演化如圖2 所示.與圖1 相比,平面波的演化過程主要有三方面顯著的變化.第一,FPUT循環(huán)數(shù)明顯增長,這是圖2 (11 個FPUT 循環(huán))區(qū)別于圖1 (3 個FPUT 循環(huán))最大的不同之處;第二,同一個時刻處,脈沖振幅相鄰兩次出現(xiàn)最大值的空間周期減小 (圖1 周期為z1,2=6.3 m,圖2周期為z1,2=2.7 m);第三,如理論預(yù)測,z1FPUT隨δ的增加而逐步減小.從物理角度來看,上述變化可以解釋為: 固定泵浦功率P0和擾動頻率Ω(見(5)式),擾動功率增長的速度將隨擾動振幅δ的增加而增加,因此,脈沖振幅首次增長至峰值所需要的傳輸距離z1FPUT就變短,兩相鄰脈沖振幅最大值的空間周期隨之而變小;同時由于完成一個FPUT 循環(huán)的空間周期快速縮短,非線性所激發(fā)的多個頻率成分還沒有來得及相互作用就又開始下一個循環(huán),相應(yīng)地,FPUT 循環(huán)數(shù)也隨δ的增加而快速增加.

圖2 非線性光纖中,擾動平面波(a)和相應(yīng)頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=1.3 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.1,Ω=Ωmax=rad/psFig.2.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=1.3 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.1,Ω=Ωmax= rad/ps .

當(dāng)擾動振幅進一步增加 (δ＞0.1,其他參數(shù)保持不變),如圖3 所示,FPUT 循環(huán)數(shù)隨δ增加而繼續(xù)大幅增加,z1FPUT隨δ的增加而持續(xù)減小,兩相鄰FPUT 形成的空間間距進一步縮小.同時我們注意到,當(dāng)δ比較大時,平面波的波形演化和頻譜演化變得越來越不規(guī)則,如圖4 所示 (δ=0.7).當(dāng)δ較大時,調(diào)制信號就變得比較強,原來由線性理論所計算的調(diào)制不穩(wěn)定性就不再完全適用,這時調(diào)制信號的非線性就會比較突出,因此我們認為頻譜和波形演化得不規(guī)則性應(yīng)該是由調(diào)制信號和泵浦信號之間的強相互作用所引起.

圖3 非線性光纖中FPUT 循環(huán)數(shù)隨擾動振幅δ 的演化Fig.3.Variation of the number of FPUT cycle with the perturbation amplitude δ in nonlinear fibers.

圖4 非線性光纖中,擾動平面波(a)和相應(yīng)頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=0.4 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.7,Ω=Ωmax= rad/psFig.4.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=0.4 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.7,Ω=Ωmax= rad/ps.

通過本節(jié)分析,發(fā)現(xiàn)實驗可觀察的FPUT 循環(huán)數(shù)隨擾動振幅的增長而急劇增長,而且當(dāng)擾動振幅較大時,平面波的波形演化和頻譜演化變得越來越不規(guī)則.該發(fā)現(xiàn)尚未在文獻中有過報道.

3.2 擾動頻率的影響

當(dāng)擾動頻率滿足Ω＜Ωc/2 時,高階諧波成分將會被激發(fā)[25-27],本節(jié)考慮不激發(fā)高階諧波情況下,即當(dāng)擾動頻率滿足Ωc≥Ω≥Ωc/2 時,擾動頻率對所觀察到的FPUT 現(xiàn)象的影響.

圖5(a)和圖5(b)分別反映了擾動平面波隨傳輸距離的波形演化和頻譜演化(P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωc/2=rad/ps);圖5(c)和圖5(d)分別為脈沖振幅在z1FPUT=3.4 m 處的波形和頻譜.可以看出Ω=Ωc/2 時有兩個完整的FPUT 循環(huán)(圖5(a)和圖5(b)),且當(dāng)z=z1FPUT時,在[—80 dB,0 dB]的相對出射光強范圍內(nèi)可觀察到64 個非線性所激發(fā)的高階諧波(圖5(d)).

通過大量的數(shù)值模擬計算發(fā)現(xiàn),當(dāng)擾動頻率從Ω=Ωc/2 開始增加時,在相同的相對出射光強范圍內(nèi),可觀察到的高階諧波數(shù)呈明顯的遞減趨勢,如圖6 所示.隨著Ω的增加,可觀察到的高階諧波數(shù)顯著遞減的原因和z1FPUT處脈沖所具備的光強密切相關(guān).Ω越大,z1FPUT處脈沖的振幅越小,光強越弱,非線性效應(yīng)就越弱,相應(yīng)地,非線性所激發(fā)的高階諧波成分就越少.對比圖5(c)和圖1(c),擾動頻率為Ω=Ωc/2 的擾動平面波在z1FPUT處演化出的脈沖最大振幅|a|max=2.688,明顯大于擾動頻率為Ω=Ωmax情況下擾動平面波在z1FPUT處演化出的脈沖最大振幅|a|max=2.403,這應(yīng)該和高階諧波成分與入射擾動頻率成分在傳輸中產(chǎn)生的復(fù)雜非線性相互作用有關(guān).

圖5 非線性光纖中,擾動平面波(a)和相應(yīng)頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=3.4 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωc/2=rad/psFig.5.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=3.4 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωc/2=rad/ps .

圖6 高階諧波數(shù)隨擾動頻率Ω (Ωc/2＜Ω＜Ωc)的變化關(guān)系圖Fig.6.Variation of mode numbers of high-order sidebands with perturbation frequency Ω (Ωc/2＜Ω＜Ωc).

隨著擾動頻率從Ω=Ωc/2 開始增加,如圖5(d)所示,FPUT 循環(huán)周期數(shù)先緩慢增長,在Ω=Ωmax附近處,FPUT 循環(huán)周期數(shù)最多(見圖1).當(dāng)Ω＞Ωmax時,FPUT 循環(huán)周期又開始緩慢減少(見圖7,Ω=22 THz).在Ω=Ωmax附近處出現(xiàn)最多的FPUT 循環(huán)數(shù)在物理層面上是可以理解的.最佳擾動頻率對應(yīng)的增益最大,以該頻率作為擾動信號頻率,擾動增長的速度最快,所以FPUT 出現(xiàn)的速度就會非?？?導(dǎo)致出現(xiàn)的FPUT 周期數(shù)相應(yīng)地比較多.相反,當(dāng)擾動頻率Ω≠Ωmax＜Ωc時,平面波演化過程中所出現(xiàn)的噪聲中,Ωmax成分振幅會隨著傳輸距離增加而迅速增強,從而導(dǎo)致Ωmax頻率成分和入射的Ω頻率成分產(chǎn)生強相互作用而破壞掉原來的FPUT,所以Ω≠Ωmax＜Ωc時所觀察到的FPUT 循環(huán)數(shù)比較少.

圖7 非線性光纖中,擾動平面波(a)和相應(yīng)頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=8.22 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.001,Ω=22 rad/psFig.7.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=8.22 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.001,Ω=22 rad/ps.

當(dāng)擾動頻率增至Ω=Ωc=22.3607 rad/ps 時,平面波穩(wěn)定,FPUT 消失,如圖8(d)所示.當(dāng)擾動頻率Ω=Ωc時,調(diào)制不穩(wěn)定性消失,入射的擾動頻率不會隨傳輸距離的增加而增長,隨著傳輸距離的增加,在光纖某距離處由噪聲引入的最佳調(diào)制頻率成分出現(xiàn)并迅速增長,同時會與其他調(diào)制頻率成分在傳輸中產(chǎn)生相互作用,最終導(dǎo)致頻譜的極端不規(guī)則性,在整個過程中觀測不到FPUT 現(xiàn)象.

圖8 非線性光纖中,擾動平面波(a)和相應(yīng)頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=14.6 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.001,Ω=22.3607 rad/psFig.8.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=14.6 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.001,Ω=22.3607 rad/ps.

4 結(jié)論

基于調(diào)制不穩(wěn)定性分析,本文通過數(shù)值模擬系統(tǒng)地研究了擾動振幅和擾動頻率對單模單芯光纖中FPUT 現(xiàn)象的影響,發(fā)現(xiàn)擾動振幅和擾動頻率可以極大程度地影響所觀察到的FPUT 現(xiàn)象.擾動振幅對所觀察到的FPUT 循環(huán)數(shù)的影響極大.擾動振幅越大,可觀察到的FPUT 循環(huán)數(shù)越多,當(dāng)擾動振幅較小時,相應(yīng)的FPUT 頻譜演化就比較規(guī)則,相反,相應(yīng)的FPUT 頻譜演化就非常不規(guī)則.擾動頻率對所觀察的FPUT 循環(huán)數(shù)的影響不大,但是它可以極大地影響在脈沖振幅最大位置處所產(chǎn)生的高階諧波成分的數(shù)目.擾動頻率越大,所產(chǎn)生的高階諧波成分就越少.

為了方便FPUT 的實驗觀測能觀察到更多的FPUT 循環(huán),分析發(fā)現(xiàn)實驗中擾動振幅要設(shè)置得較大,同時擾動頻率應(yīng)該選擇在最佳擾動頻率附近的值域.同時應(yīng)強調(diào),大的擾動振幅對應(yīng)的FPUT 譜會比較不規(guī)則,當(dāng)擾動頻率比較大時,其所激發(fā)的高階諧波成分就會非常少.相信本文的研究結(jié)果將對基于調(diào)制不穩(wěn)定性分析的FPUT 實驗觀測以及理論理解提供一定的幫助.非線性光纖中有待解決的FPUT 問題還有很多,包括非傳統(tǒng)調(diào)制不穩(wěn)定性相關(guān)的FPUT 研究[7,8]、高階效應(yīng)對實驗觀察到的FPUT 的影響[39]等,這將是我們下一步研究的主要任務(wù).