劉強(qiáng) 周海京 董志偉

1) (北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所,北京 100094)

2) (中國(guó)工程物理研究院研究生院,北京 100088)

針對(duì)實(shí)際多導(dǎo)體傳輸線結(jié)構(gòu)中不同線纜導(dǎo)體之間處于非平行分布狀態(tài)的幾何特征,討論了基于傳輸線模型和分布參數(shù)模型構(gòu)建的線纜電磁耦合模型,通過(guò)對(duì)每個(gè)線纜網(wǎng)格分別進(jìn)行分布參數(shù)提取和代入到傳輸線模型中計(jì)算,實(shí)現(xiàn)將線纜電磁耦合模型應(yīng)用到非平行線纜結(jié)構(gòu)電磁耦合計(jì)算.以實(shí)際線纜單元結(jié)構(gòu)為對(duì)象,將所提模型的計(jì)算結(jié)果分別與全波算法計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比,完成了非平行線纜電磁耦合模型的準(zhǔn)確性驗(yàn)證.在完成準(zhǔn)確性驗(yàn)證的基礎(chǔ)上,對(duì)比分析了平行線纜和非平行線纜兩種結(jié)構(gòu)的電磁耦合響應(yīng)結(jié)果,展示了線纜非平行結(jié)構(gòu)特征對(duì)實(shí)際線纜電磁耦合響應(yīng)的顯著影響,證實(shí)了在實(shí)際線纜電磁耦合仿真中必須考慮非平行線纜結(jié)構(gòu)特征的影響.

1 引言

實(shí)際工程中所用的多導(dǎo)體傳輸線結(jié)構(gòu)具有多導(dǎo)體、隨機(jī)捆扎的結(jié)構(gòu)特征.外部電磁場(chǎng)對(duì)這種多導(dǎo)體傳輸線的耦合分析多建立在傳輸線模型和分布參數(shù)模型基礎(chǔ)上.這兩種模型可以用來(lái)表征外部電磁場(chǎng)對(duì)多導(dǎo)體傳輸線的影響,以及構(gòu)建多導(dǎo)體傳輸線對(duì)應(yīng)的等效電路,在電路層面實(shí)現(xiàn)高效求解多導(dǎo)體傳輸線的電磁耦合響應(yīng),避免了直接采用全波算法離散求解會(huì)遇到的多尺度計(jì)算難題[1-4].在這個(gè)技術(shù)基礎(chǔ)上,近年來(lái)研究人員開(kāi)展了大量的研究工作來(lái)認(rèn)識(shí)實(shí)際多導(dǎo)體傳輸線結(jié)構(gòu)的電磁耦合響應(yīng)特性.國(guó)內(nèi)外研究人員在研究多導(dǎo)體傳輸線結(jié)構(gòu)的串?dāng)_特性和共模輻射特性時(shí),首先基于插值算法構(gòu)建了具有隨機(jī)捆扎結(jié)構(gòu)特征的多導(dǎo)體傳輸線幾何結(jié)構(gòu)模型,但這個(gè)模型要求不同線纜導(dǎo)體之間形狀、尺寸以及間距相同,沿線不同位置處的截面結(jié)構(gòu)相同且排列規(guī)則,發(fā)生變化的僅僅是不同線纜導(dǎo)體在不同線纜截面結(jié)構(gòu)上的相對(duì)分布位置.如此,即使在面對(duì)復(fù)雜多導(dǎo)體傳輸線的分布參數(shù)求解時(shí)可以避免對(duì)每個(gè)截面分別計(jì)算分布參數(shù),僅需根據(jù)任意一個(gè)截面的幾何結(jié)構(gòu)信息來(lái)求解線纜分布參數(shù)矩陣;而對(duì)于不同截面的分布參數(shù),只需在這個(gè)分布參數(shù)矩陣的基礎(chǔ)上根據(jù)排列位置的信息進(jìn)行變化即可[5-10].

基于上述模型,對(duì)實(shí)際多導(dǎo)體傳輸線結(jié)構(gòu)電磁耦合求解的一個(gè)難點(diǎn)是多導(dǎo)體傳輸線由于隨機(jī)捆扎,內(nèi)部不同線纜導(dǎo)體之間呈現(xiàn)出非平行分布的結(jié)構(gòu)特征,這個(gè)結(jié)構(gòu)特征導(dǎo)致沿線不同位置處的截面結(jié)構(gòu)不同,即不同導(dǎo)體之間的間距、距地高度產(chǎn)生變化,從而引起了分布參數(shù)的變化[11-15].這就要求在對(duì)多導(dǎo)體傳輸線電磁耦合進(jìn)行求解時(shí),需要對(duì)多導(dǎo)體傳輸線沿線剖分成多個(gè)網(wǎng)格段,根據(jù)不同網(wǎng)格段位置處的截面幾何結(jié)構(gòu)信息分別計(jì)算分布參數(shù).對(duì)于該難點(diǎn)的認(rèn)識(shí)和解決思路,在近年來(lái)的研究工作中得到了不少研究人員的認(rèn)可,但較少有研究工作討論非平行線纜結(jié)構(gòu)電磁耦合的建模與計(jì)算[16,17].

從實(shí)際多導(dǎo)體傳輸線結(jié)構(gòu)的非平行分布幾何特征出發(fā),本文將在傳輸線模型和分布參數(shù)模型完成集成的基礎(chǔ)上,實(shí)現(xiàn)根據(jù)線纜不同網(wǎng)格段截面結(jié)構(gòu)分別計(jì)算不同網(wǎng)格段的分布參數(shù),并將分布參數(shù)代入網(wǎng)格段對(duì)應(yīng)的傳輸線模型求解,從而建立適用于非平行線纜結(jié)構(gòu)的電磁耦合模型.為驗(yàn)證該模型的準(zhǔn)確性,設(shè)計(jì)了具有非平行分布特征的線纜單元結(jié)構(gòu),通過(guò)建立時(shí)域有限差分法(FDTD)計(jì)算模型和實(shí)驗(yàn)測(cè)試完成所提模型的驗(yàn)證[18-20].為了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)線纜非平行結(jié)構(gòu)特征對(duì)線纜電磁耦合響應(yīng)的影響,應(yīng)用非平行線纜電磁耦合模型對(duì)比分析了平行線纜和非平行線纜的電磁耦合響應(yīng),所得結(jié)果對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用具有重要指導(dǎo)意義.

2 線纜電磁耦合模型

2.1 多導(dǎo)體傳輸線模型

多導(dǎo)體傳輸線方程可以表示為

式中,R為電阻分布參數(shù)矩陣,G為電導(dǎo)分布參數(shù)矩陣,L為電感分布參數(shù)矩陣,C為電容分布參數(shù)矩陣,V為節(jié)點(diǎn)電壓向量,I為節(jié)點(diǎn)電流向量,VF(z,t)為分布電壓源,IF(z,t) 為分布電流源.分布電壓源和分布電流源表征的是外部電磁場(chǎng)的激勵(lì)作用,若在沒(méi)有外部激勵(lì)場(chǎng)的情況下則退化為常規(guī)的傳輸線方程.基于多導(dǎo)體傳輸線方程建立的線纜傳輸線模型被廣泛應(yīng)用于復(fù)雜線纜的電磁傳輸問(wèn)題及場(chǎng)-線耦合問(wèn)題的數(shù)值模擬,該模型的主要優(yōu)勢(shì)是將復(fù)雜的場(chǎng)-線耦合多尺度計(jì)算問(wèn)題等效為簡(jiǎn)單、高效的電路計(jì)算問(wèn)題,只需通過(guò)FDTD 對(duì)該模型離散,并求解一維波動(dòng)方程,可得到線纜的時(shí)域響應(yīng).在傳輸線方程(1)中還加入了分布電壓源和分布電流源項(xiàng),這是將傳輸線模型的適用范圍拓展到有外部電磁場(chǎng)作用的情況.由于已有關(guān)于多導(dǎo)體傳輸線模型較為成熟的研究工作[1-3],在此不再詳述.

2.2 分布參數(shù)模型

當(dāng)多導(dǎo)體傳輸線是由多根截面結(jié)構(gòu)不同的導(dǎo)體隨機(jī)捆扎而成時(shí),無(wú)法建立基于解析公式的線纜分布參數(shù)模型.因此本文建立基于矩量法的線纜分布參數(shù)模型,采用線性插值基函數(shù)對(duì)線纜導(dǎo)體表面的電荷密度進(jìn)行展開(kāi).

首先給出自由空間中理想導(dǎo)體的法向邊界條件:

式中,總場(chǎng)E可表示為入射電場(chǎng)Ei和導(dǎo)體上感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的散射電場(chǎng)Es之和,

將(3)式代入(2)式,可得

用積分的形式給出感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng),同時(shí)使用主值積分,消除奇異性積分可得

式中,ρ(r) 為導(dǎo)體表面電荷密度分布,r為空間中任意點(diǎn).將n·Es的積分形式代入(4)式,可建立外加電場(chǎng)與感應(yīng)電荷之間的積分方程:

將線纜導(dǎo)體表面電荷的分布函數(shù)使用局域基函數(shù)的累加近似表示為

式中,αn為基函數(shù)系數(shù);局域的基函數(shù)fn(r) 選取為線性插值基函數(shù),

該基函數(shù)在形式上較脈沖基函數(shù)稍復(fù)雜一些,但能獲得更高的擬合精度,在保證精度的前提下,顯著降低離散所需的未知量個(gè)數(shù).由于電容是相對(duì)量,故可使用歸一化的激勵(lì)電壓對(duì)線纜進(jìn)行激勵(lì),設(shè)其激勵(lì)電場(chǎng)為

其中,a0為導(dǎo)體半徑.通過(guò)與測(cè)試函數(shù)內(nèi)積可得激勵(lì)向量的表達(dá)形式

最終形成矩陣方程:

求解該線性方程組可最終求得感應(yīng)電荷的分布.根據(jù)感應(yīng)電荷不難求出最終的電位分布:

其中,?sca(r) 為空間電位.在得到電位分布之后,通過(guò)電位與電荷之間的關(guān)系求解出電容分布參數(shù).可以認(rèn)為電磁場(chǎng)在多導(dǎo)體傳輸線上是以TEM 波進(jìn)行傳播,電容、電感及電導(dǎo)參量之間可導(dǎo)出如下關(guān)系:

式中,R為分布電阻矩陣,G為分布電導(dǎo)矩陣,L為分布電感矩陣,C為分布電容矩陣;ε為介電常數(shù),μ為磁導(dǎo)率,σ為電導(dǎo)率.根據(jù)分布參數(shù)的本構(gòu)關(guān)系和得到的分布電容,即可建立完整的線纜分布參數(shù)模型.

2.3 對(duì)線纜結(jié)構(gòu)電磁耦合的計(jì)算

在完成建立多導(dǎo)體傳輸線模型和分布參數(shù)模型的基礎(chǔ)上,下面分別給出了平行線纜結(jié)構(gòu)和非平行線纜結(jié)構(gòu)的電磁耦合模型計(jì)算步驟.

圖1(a)展示了平行線纜結(jié)構(gòu)的等效傳輸線電路模型,此時(shí)的電磁耦合計(jì)算步驟包括: 1) 對(duì)線纜進(jìn)行網(wǎng)格剖分;2) 選擇第i網(wǎng)格截面的幾何結(jié)構(gòu)信息和建立的分布參數(shù)模型即可獲得分布參數(shù);3) 在每個(gè)網(wǎng)格中,將第i組分布參數(shù)代入到傳輸線模型中進(jìn)行離散求解;4) 將每個(gè)網(wǎng)格端口上的電壓電流完成迭代計(jì)算.

非平行線纜結(jié)構(gòu)的等效傳輸線電路模型如圖1(b)所示,此時(shí)的電磁耦合計(jì)算步驟: 1)對(duì)線纜進(jìn)行網(wǎng)格剖分;2)根據(jù)每個(gè)網(wǎng)格截面的幾何結(jié)構(gòu)信息和建立的分布參數(shù)模型分別計(jì)算每個(gè)網(wǎng)格的分布參數(shù);3)在每個(gè)網(wǎng)格中,將各自網(wǎng)格對(duì)應(yīng)的分布參數(shù)代入到傳輸線模型中進(jìn)行離散求解;4) 將每個(gè)網(wǎng)格端口上的電壓電流完成迭代計(jì)算.

圖1 線纜等效傳輸線電路模型示意圖 (a) 平行線纜;(b) 非平行線纜Fig.1.Equivalent transmission line model of the cable:(a) Parall cable;(b) non-parallel cable.

3 線纜電磁耦合模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證線纜電磁耦合模型的準(zhǔn)確性,分別設(shè)計(jì)了由3 根導(dǎo)線和6 根導(dǎo)線構(gòu)成的非平行線纜串?dāng)_模型,并采用全波分析算法—FDTD 的計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)線纜電磁耦合模型進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證.串?dāng)_實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)詳見(jiàn)文獻(xiàn)[21],同時(shí)采用該文獻(xiàn)中的方法對(duì)所制導(dǎo)線和導(dǎo)線固定方法進(jìn)行了一致性分析,以降低不確定因素對(duì)串?dāng)_測(cè)試帶來(lái)的影響.

算例1理想導(dǎo)電板上非平行3 導(dǎo)線

理想導(dǎo)電板上非平行3 導(dǎo)線的串?dāng)_計(jì)算模型和實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)如圖2(a)和圖2(b)所示.3 根導(dǎo)線的半徑均為0.4 mm,其端點(diǎn)坐標(biāo)分別為: 1 線(20,0,10) mm 和(40,300,10) mm,2 線(0,0,10) mm 和(0,300,10)mm,3 線(—20,0,10) mm和(—20,300,30) mm.由此可見(jiàn),該算例線束的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為: 1 線與2 線高度相同(即在yoz面上的投影重合),但在xoy面上的投影不平行,3 線與2 線在xoy面上的投影平行,但yoz面上的投影不平行.2 線一端接集總電壓源,電壓源波形為高斯脈沖,幅度為1 V,內(nèi)阻抗為50 Ω,其余所有傳輸線端口負(fù)載均為50 Ω.

本文所提模型串?dāng)_的計(jì)算結(jié)果與FDTD 全波分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖3 所示,其中圖3(a)和圖3(c)為近端串?dāng)_(NEXT),圖3(b)和圖3(c)為遠(yuǎn)端串?dāng)_(FEXT).由圖3 可知,所提模型計(jì)算結(jié)果與FDTD 全波分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果相吻合,證明了所提模型的有效性.對(duì)比圖3(a)和圖3(c)可知,由于1、2 線與地構(gòu)成的傳輸線結(jié)構(gòu)和2、3 線與地構(gòu)成的傳輸線結(jié)構(gòu)不同,因此沿線分布參數(shù)不同,導(dǎo)致1 線和3 線上的NEXT 隨頻率的變化規(guī)律完全不同,但計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果基本一致,驗(yàn)證了本文所提的計(jì)算模型.注意,圖2 中實(shí)際測(cè)試系統(tǒng)的終端連接方式與計(jì)算模型不同,因此導(dǎo)致該處的分布參數(shù)不同,計(jì)算結(jié)果與測(cè)試結(jié)果之間出現(xiàn)偏差.此外,實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中導(dǎo)線之間的間距和高度與計(jì)算模型之間的微小差異也會(huì)帶來(lái)測(cè)試結(jié)果和計(jì)算結(jié)果之間的微小差異,且偏差隨著頻率的增加而增加.

圖2 理想導(dǎo)電板上非平行3 導(dǎo)線串?dāng)_ (a) 計(jì)算模型;(b) 實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)圖Fig.2.Crosstalk of non-parallel three-conductor above perfect conducting ground: (a) Calculation model;(b) measurement setup.

圖3 理想導(dǎo)電板上3 導(dǎo)線計(jì)算模型串?dāng)_結(jié)果對(duì)比 (a) 1 線近端串?dāng)_;(b) 1 線遠(yuǎn)端串?dāng)_;(c) 3 線近端串?dāng)_;(d) 3 線遠(yuǎn)端串?dāng)_Fig.3.Comparison of three-conductor crosstalk results: (a) NEXT of conductor 1;(b) FEXT of conductor 1;(c) NEXT of conductor 3;(d) FEXT of conductor 3.

算例2理想導(dǎo)電板上非平行6 導(dǎo)線

理想導(dǎo)電板上非平行6 導(dǎo)線的串?dāng)_計(jì)算模型和實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)如圖4 所示.6 根導(dǎo)線的半徑均為0.4 mm,其中1、2、3 線相互平行,距地高度為15 mm.4、5、6 線相互平行,距地高度為25 mm,且兩組導(dǎo)線相互交叉,見(jiàn)圖4(a).3 線一端接集總電壓源,電壓源波形為高斯脈沖,幅度為1 V,內(nèi)阻抗為50 Ω,其余傳輸線端口負(fù)載均為50 Ω.

圖4 理想導(dǎo)電板上非平行6 導(dǎo)線串?dāng)_ (a) 計(jì)算模型;(b) 實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)Fig.4.Crosstalk of non-parallel six-conductor above perfect conducting ground: (a) Calculation model;(b) measurement setup.

不同計(jì)算模型和實(shí)驗(yàn)測(cè)試獲得的非平行6 導(dǎo)線串?dāng)_結(jié)果對(duì)比如圖5 所示.可以看出整體上所提模型計(jì)算結(jié)果與FDTD 全波分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果整體上展示出一致的串?dāng)_規(guī)律,這再次證明了所提模型在多導(dǎo)線構(gòu)成的復(fù)雜橫截面情況下仍具有較好的適用性.對(duì)比圖5(a)和圖5(c),可以看出1 線上的NEXT 水平遠(yuǎn)低于2 線上的NEXT水平,這是由于1 線相比于2 線遠(yuǎn)離3 線(饋電線)造成的.同時(shí)由于導(dǎo)線間距不同,使得沿線分布參數(shù)不同,因此1 線和2 線上的串?dāng)_隨頻率的變化規(guī)律也不相同.4、5、6 線與3 線均有交叉,因此這組導(dǎo)線上的NEXT 水平基本相差不大.

圖5 理想導(dǎo)電板上6 導(dǎo)線計(jì)算模型串?dāng)_結(jié)果對(duì)比 (a) 1 線近端串?dāng)_;(b) 1 線遠(yuǎn)端串?dāng)_;(c) 2 線近端串?dāng)_;(d) 2 線遠(yuǎn)端串?dāng)_;(e) 4 線近端串?dāng)_;(f) 4 線遠(yuǎn)端串?dāng)_;(g) 5 線近端串?dāng)_;(h) 5 線遠(yuǎn)端串?dāng)_;(i) 6 線近端串?dāng)_;(j) 6 線遠(yuǎn)端串?dāng)_Fig.5.Comparison of six-conductor crosstalk results: (a) NEXT of conductor 1;(b) FEXT of conductor 1;(c) NEXT of conductor 2;(d) FEXT of conductor 2;(e) NEXT of conductor 4;(f) FEXT of conductor 4;(g) NEXT of conductor 5;(h) FEXT of conductor 5;(i) NEXT of conductor 6;(j) FEXT of conductor 6.

通過(guò)將所提方法在上述兩個(gè)算例中的計(jì)算結(jié)果分別與FDTD 計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了所提方法的準(zhǔn)確性.在此基礎(chǔ)上,表1 列出了所提方法和FDTD 方法在相同計(jì)算條件下的計(jì)算時(shí)間對(duì)比.從兩個(gè)算例的計(jì)算時(shí)間對(duì)比來(lái)看,所提線纜電磁耦合模型的計(jì)算時(shí)間都顯著優(yōu)于直接采用FDTD 算法的計(jì)算時(shí)間.

表1 不同線纜電磁耦合計(jì)算方法的計(jì)算時(shí)間對(duì)比Table 1.Comparison of the cable coupling computation time with different methods.

4 線纜非平行結(jié)構(gòu)的影響

為了更清楚認(rèn)識(shí)到非平行線纜結(jié)構(gòu)對(duì)電磁耦合的影響,對(duì)理想導(dǎo)電板上的3 導(dǎo)線設(shè)計(jì)了兩種不同的線纜結(jié)構(gòu)模型,如圖6 所示.在圖6(a)所示的平行線纜結(jié)構(gòu)中,3 根導(dǎo)線水平方向投影長(zhǎng)度均為L(zhǎng)=300 mm,距地高度為H=10 mm,半徑為0.4 mm.與圖6(a)相比,在圖6(b)給出的非平行線纜結(jié)構(gòu)中,2 線保持不變,1 線的負(fù)載端與平行結(jié)構(gòu)中的1 線相比在高度上有變化,而3 線的負(fù)載端與平行結(jié)構(gòu)中的3 線相比在水平方向上有偏移,由此形成3 條線在水平方向和垂直方向相互不平行的結(jié)構(gòu)特征.在兩個(gè)計(jì)算模型中,1 線端接集總電壓源,電壓源波形為高斯脈沖,幅度為1 V,內(nèi)阻抗為50 Ω,傳輸線其他端口負(fù)載均為50 Ω.

圖6 理想導(dǎo)電板上3 導(dǎo)線傳輸線串?dāng)_模型 (a) 平行分布;(b) 非平行分布Fig.6.Crosstalk model of three-conductor transmission line above perfect conducting ground: (a) Parallel;(b) non-parallel.

圖7 給出了各端口的響應(yīng)結(jié)果.從計(jì)算結(jié)果可以看出,即使是在只考慮實(shí)際線纜單元結(jié)構(gòu)的情況下,無(wú)論是1 線的負(fù)載端,還是2 線或3 線的近端和遠(yuǎn)端,平行線纜結(jié)構(gòu)和非平行線纜結(jié)構(gòu)對(duì)電磁串?dāng)_的響應(yīng)都展示出顯著的差異.可以推測(cè),非平行結(jié)構(gòu)特征將對(duì)實(shí)際線纜結(jié)構(gòu)的電磁耦合響應(yīng)結(jié)果產(chǎn)生更為顯著的影響.

圖7 理想導(dǎo)電板上3 導(dǎo)線計(jì)算模型串?dāng)_結(jié)果對(duì)比 (a) 1 線負(fù)載端口;(b) 2 線近端串?dāng)_;(c) 2 線遠(yuǎn)端串?dāng)_;(d) 3 線近端串?dāng)_;(e) 3 線遠(yuǎn)端串?dāng)_Fig.7.Comparison of three-conductor crosstalk results: (a) Response of conductor 1;(b) NEXT of conductor 2;(c) FEXT of conductor 2;(d) NEXT of conductor 3;(e) FEXT of conductor 3.

5 結(jié)論

本文圍繞非平行線纜結(jié)構(gòu)的電磁耦合建模工作討論了傳輸線模型、分布參數(shù)模型及非平行線纜電磁耦合的計(jì)算方案,并以真實(shí)線纜結(jié)構(gòu)的單元結(jié)構(gòu)為例,分別與全波算法和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比,驗(yàn)證了非平行線纜電磁耦合模型的準(zhǔn)確性.在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步設(shè)計(jì)了平行線纜和非平行線纜兩種結(jié)構(gòu)模型,通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)兩種結(jié)構(gòu)模型的電磁響應(yīng)結(jié)果差異顯著,證實(shí)了在真實(shí)線纜結(jié)構(gòu)電磁耦合分析中,非平行結(jié)構(gòu)特征的影響不可忽略.