高忠社

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅天水 741000)

《數(shù)值分析》是研究用計算機(jī)作為工具求解各類數(shù)學(xué)問題，設(shè)計算法并進(jìn)行算法理論分析，以及研究算法軟件實現(xiàn)的一門課程， 也是進(jìn)行科學(xué)和工程計算的重要理論基礎(chǔ)。 在絕大多數(shù)理工科專業(yè)培養(yǎng)計劃中，都把《數(shù)值分析》作為專業(yè)課或選修課開設(shè)，其內(nèi)容和社會實際聯(lián)系緊密，輻射面積較為廣泛[1]。 在《數(shù)值分析》的發(fā)展歷程中，一方面，眾多的數(shù)學(xué)家和其他相關(guān)的領(lǐng)域?qū)＜腋冻隽伺Γ?為其發(fā)展起到巨大的推動作用；另一方面，《數(shù)值分析》的方法及思想直接或間接地應(yīng)用于工程技術(shù)、 先進(jìn)制造、 天氣預(yù)報、人工智能等諸多領(lǐng)域，使其具有十分重要的應(yīng)用價值。《數(shù)值分析》的發(fā)展及其應(yīng)用領(lǐng)域，使其有了獨特的文化內(nèi)涵和底蘊(yùn)[2]。 在教學(xué)實踐中，如果能主動挖掘和發(fā)現(xiàn)《數(shù)值分析》 的多元文化精髓和人文精神，并將其融入教學(xué)過程中，不僅能讓學(xué)生了解知識體系建設(shè)和發(fā)展的不易，更敬畏知識，還引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的人生觀和價值觀， 具有十分重要的時代意義和價值。

1 將多元文化元素融入數(shù)值分析課程教學(xué)實踐的理念

《數(shù)值分析》是一門理論與實踐結(jié)合非常緊密的數(shù)學(xué)類課程， 其主要研究如何使用計算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計算方法。本課程內(nèi)容豐富，研究方法多樣， 對培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力提升和創(chuàng)新思維的發(fā)展具有十分重要的推動作用。因此，在教學(xué)實踐中融入多元文化精髓，一方面，是對《數(shù)值分析》的教學(xué)進(jìn)行改革和研究[3]；另一方面，是將專業(yè)知識技能培養(yǎng)與人格品質(zhì)培養(yǎng)綜合，促進(jìn)復(fù)合型人才的培養(yǎng)。

為實現(xiàn)在《數(shù)值分析》課程教學(xué)中融入多元文化的精髓，重點從3 個方面進(jìn)行研究：首先對于傳統(tǒng)文化精髓的融入， 通過講好老一輩科學(xué)家為推動科學(xué)計算學(xué)科發(fā)展而努力奮斗的故事和科學(xué)計算方法推動國家的重大工程建設(shè)和發(fā)展的動人事跡， 以此引導(dǎo)學(xué)生正確的價值觀，并培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義情懷[4]；其次，對實踐創(chuàng)新文化素養(yǎng)的融入，通過分析數(shù)值分析算法實驗過程， 不斷創(chuàng)新和改進(jìn)算法效率的心路歷程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)對科學(xué)研究和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)；最后，融入著名科學(xué)家勵志事跡，通過傳遞數(shù)學(xué)家成長的勵志故事， 激發(fā)同學(xué)樹立正確的目標(biāo)，并鼓舞為之不斷奮斗的熱情。

2 數(shù)值分析課程教學(xué)中融入多元文化精髓的路徑

在《數(shù)值分析》的實踐教學(xué)中融入多元文化的精髓，不但可以豐富課程的生動性、有趣性，而且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新性精神。

2.1 融入傳統(tǒng)文化精髓，培養(yǎng)學(xué)生的家國情懷

在講授《數(shù)值分析》課程時必須挖掘知識點本身蘊(yùn)含的傳統(tǒng)文化精髓，實時進(jìn)行愛國主義教育，培養(yǎng)廣大青少年愛國之情、 砥礪強(qiáng)國之志、 實踐報國之行、責(zé)任擔(dān)當(dāng)。在本課程開始講授時，首先，可以通過近代我國老一輩科學(xué)家的家國情懷文化， 來熏陶學(xué)生的愛國情懷[5]。 在“兩彈一星”的研制過程中，我國老一輩科學(xué)家隱姓埋名、艱苦奮斗，從研制計算機(jī)到算法設(shè)計，最后計算出“兩彈一星”的海量數(shù)據(jù)。

1958年8月1日，中國第一臺M-3 計算機(jī)完成了四條指令的運行表演。 因為這個有紀(jì)念意義的日子，這臺計算機(jī)被定名為“八一機(jī)”，后來同樣仿制M-3 的計算機(jī)則命名為103 機(jī)。 中國第一代計算機(jī)是從“103 機(jī)”開始，且承擔(dān)了“兩彈一星”研制過程中的大量關(guān)鍵數(shù)據(jù)的運算，是“兩彈一星”的真正幕后英雄、是不為人所知的國之重器。 不過，因為當(dāng)時保密的需要， 對中國核武器研究做出卓越貢獻(xiàn)的中國第一代計算機(jī)，長期以來一直是默默無聞的“幕后英雄”。 甚至在有些宣傳中，會說中國科學(xué)家用算盤完成了“兩彈一星”的運算。 “八一機(jī)”和“103 機(jī)”的誕生，得從1956年6月計算所籌委會——這家中國最早的計算機(jī)研究基地的成立開始。 計算所籌委會的主任是當(dāng)代數(shù)學(xué)家華羅庚先生， 三位副主任分別來自解放軍總參某部、二機(jī)部和建設(shè)委員會，籌委會成員中， 除了這幾家單位的專家學(xué)者， 還有清華大學(xué)、北京大學(xué)等高校專家教授。

1964年10月，羅布泊一聲巨響，伴隨著一團(tuán)蘑菇云升起， 我國第一顆原子彈爆炸成功；1967年6月，我國第一顆氫彈空爆試驗成功，成為世界上第四個掌握氫彈技術(shù)的國家；1970年4月， 我國第一顆人造衛(wèi)星發(fā)射成功， 成為世界第5 個獨立發(fā)射衛(wèi)星的國家。 這是廣大科研工作者在攀登現(xiàn)代科技高峰的征途中創(chuàng)造的奇跡，把熱愛祖國、無私奉獻(xiàn)、自力更生、艱苦奮斗、大力協(xié)同、勇于攀登的“兩彈一星”精神永久地鐫刻在中國大地上。

我國“兩彈一星”的事業(yè)是集體的事業(yè)，它取得的每一次成功，都凝聚著千萬人的奮斗和創(chuàng)造，輝煌和光榮屬于每一個在這條戰(zhàn)線上大力協(xié)同、 勇于登攀的無名英雄，屬于全體中國人民，屬于自強(qiáng)不息的中華民族！

2020年4月23日，習(xí)近平總書記給參與“東方紅一號”任務(wù)的老科學(xué)家回信，向他們致以誠摯的問候，信中提到，新時代的航天工作者要以老一代航天人為榜樣，大力弘揚(yáng)“兩彈一星”精神，敢于戰(zhàn)勝一切艱難險阻，勇于攀登航天科技高峰，讓中國人探索太空的腳步邁得更穩(wěn)更遠(yuǎn)， 早日實現(xiàn)建設(shè)航天強(qiáng)國的偉大夢想。

通過講述老一輩科學(xué)家的家國情懷文化事跡，激發(fā)當(dāng)代大學(xué)生的科學(xué)精神、創(chuàng)新精神和時代擔(dān)當(dāng)。同時，也是《數(shù)值分析》應(yīng)用于實際的基礎(chǔ)，在“兩彈一星”等國家重大工程中用到的基礎(chǔ)知識，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的創(chuàng)新精神和運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

2.2 融入實踐創(chuàng)新文化，激發(fā)學(xué)生的科學(xué)創(chuàng)新精神

數(shù)學(xué)類課程中的定義、 定理等理論都相對形式比較簡單、內(nèi)容抽象、不易理解，如果融入實踐創(chuàng)新文化，不但可以幫助學(xué)生理解抽象問題，而且可以激發(fā)科學(xué)創(chuàng)新精神。實際問題的解決，是通過對實際問題建立數(shù)學(xué)建模， 得到的數(shù)學(xué)模型， 可能為微分方程、代數(shù)方程組等數(shù)學(xué)問題；數(shù)學(xué)問題通過《數(shù)值分析》課程中等提供的函數(shù)插值、函數(shù)逼近、微分方程數(shù)值解、代數(shù)方程組求解等方法；再編寫代碼，在計算機(jī)上進(jìn)行求解，即可得到實際問題的解決方案，即指導(dǎo)實際問題的解決，如氣象預(yù)報、解決交通堵塞問題、航天器的發(fā)射、大型飛機(jī)輪船的設(shè)計等很多實際問題。 對于實踐創(chuàng)新文化的融入不但可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也可以激發(fā)學(xué)生的科學(xué)創(chuàng)新精神。

同時，在《數(shù)值分析》課程中數(shù)值積分的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生充分感受到數(shù)值計算的重要性。 因為在學(xué)習(xí)《數(shù)值分析》之前，學(xué)生都學(xué)習(xí)過了定積分的基本知識，通過基本積分方法能求解的定積分是有限的，很多實際問題中建立的數(shù)學(xué)模型， 基本的定積分很難求解，如ln（1+ex）dx，而數(shù)值積分提供的梯形求積公式（f （a）+f（b））、辛普森公式、復(fù)化求積公式、Gauss-Cotes 公式等， 這些方法可以解決大多數(shù)無法得到精確解的定積分問題。 通過求積公式，編寫軟件代碼，可以通過數(shù)值積分方法得到的定積分問題的近似解。 因為在學(xué)習(xí)定積分時， 對于一些無法通過基本記分方法求得，會增加學(xué)生的挫敗感，而通過實踐創(chuàng)新文化素養(yǎng)的融入，讓學(xué)生增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的獲得感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新意識。

另外，《數(shù)值分析》課程中，對于代數(shù)方程組的求解，也可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新精神。因為在學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》或《高等代數(shù)》之后，學(xué)生知道如何判斷代數(shù)方程組解的存在唯一性， 而求解是很能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 但對三階以上的代數(shù)方程組的求解算是困難的、不現(xiàn)實的，而求解方法有Cramer's法則求解，但是計算量很大。而《數(shù)值分析》中提供的線性代數(shù)方程組直接解法、 高斯消元法、LU 分解等方法， 迭代法中的JACOBI 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、SOR 方法等， 通過編程在計算機(jī)上很容易實現(xiàn)對于高階代數(shù)方程組的求解， 解決學(xué)生對于代數(shù)方程組學(xué)習(xí)產(chǎn)生的挫敗感，以及高等代數(shù)、線性代數(shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生的枯燥感，對于實踐創(chuàng)新文化的融入，極大地增加學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新精神。

最后，《數(shù)值分析》 中學(xué)習(xí)的常微分方程數(shù)值解法，也是求解常微分方程的有效果工具。因為學(xué)生在學(xué)習(xí)完《常微分方程》之后，可以求解的常微分方程都是特殊類型的方程， 如可分離變量方程、 恰當(dāng)方程、伯努利方程等，使用的方法有常數(shù)變異法等。 而對于一些不能使用這些方法求解的微分方程，《數(shù)值分析》中提供了很多行之有效的數(shù)值方法，如歐拉方法、向前歐拉方法、向后歐拉方法等，以及龍格庫塔方法、Adams-Bashforth 等，學(xué)生通過編寫軟件代碼，數(shù)值模擬，得到大多數(shù)常微分方程的數(shù)值解，通過繪制圖形等方法，可以得到解的形狀。

因此， 在數(shù)值分析教學(xué)中融入實踐創(chuàng)新文化要素，是要求通過不斷地通過數(shù)值實驗，將理論和實踐相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力；同時，更重要的是需要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新精神。

2.3 融入科學(xué)家勵志事跡，激發(fā)學(xué)生的奮斗熱情

在數(shù)值分析教學(xué)實踐中融入科學(xué)家的勵志文化事跡，在《數(shù)值分析》課程中的許多重要知識點中都以數(shù)學(xué)家的名字命名了一些重要結(jié)果，插值法中，拉格朗日(Lagrange)插值、牛頓(Newton)插值、埃爾米(Hermite)特插值、龍格(Runge)現(xiàn)象等；數(shù)值積分中，辛普森(Simpson)積分公式、高斯(Gauss)積分公式、龍貝格(Romberg)外推法；代數(shù)方程組迭代法中的雅可比迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、 非線性方程組的Newton 迭代法， 以及常微分方程數(shù)值解法中的Euler 方法、Rung-Kutta 方法等很多的方法都以數(shù)學(xué)家的名字命名[6]。

在講授Gauss 積分、Gauss-Seidel 迭代法時，可以通過德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家約翰卡爾弗里德里希高斯(1777—1855)的故事來激勵人、感染人，起到教育人的效果，同時可以用同學(xué)們在高中時學(xué)習(xí)過的Gauss 計算 “1＋2＋……＋100”故事，借此拉近了學(xué)生與偉大數(shù)學(xué)家之間的距離，然后對有“數(shù)學(xué)王子”之稱的Gauss 進(jìn)行簡單介紹。高斯不僅僅是數(shù)學(xué)大師，而且在天文學(xué)、物理學(xué)、地磁學(xué)等重要領(lǐng)域也做出過巨大貢獻(xiàn)。 高斯的令人崇敬，不僅僅在于他是個天才，更在于他一生的刻苦勤奮，在于他做到了很少有人能夠做到的將理論、應(yīng)用和發(fā)明完美地結(jié)合， 強(qiáng)調(diào)這一點可以對學(xué)生進(jìn)行奮斗精神的教育。

在講授常微分方程數(shù)值解Euler 方法時， 介紹瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德歐拉(1707—1783)被譽(yù)為“無與倫比的算法學(xué)家”“應(yīng)用數(shù)學(xué)大師”等，歐拉所研究的哥尼斯堡七橋問題可以引起同學(xué)們的興趣， 但重點向同學(xué)們介紹歐拉先生的勵志故事， 他把自己的雙目獻(xiàn)給了數(shù)學(xué)，把自己的一生獻(xiàn)給了數(shù)學(xué)，歐拉一生發(fā)表成熟的著作有860 多篇， 是有史以來最多產(chǎn)的偉大數(shù)學(xué)家，永遠(yuǎn)值得后人敬仰和學(xué)習(xí)[7]。

偉大數(shù)學(xué)家牛頓的名字多次出現(xiàn)在本課程當(dāng)中，如牛頓插值公式、牛頓－柯特斯公式和牛頓法求解非線性方程等， 牛頓是一位天才但是更多靠的是勤奮， 特別是當(dāng)年躲避瘟疫期間他創(chuàng)造性地開展科研工作，很多偉大的成果就是在那個時期做出來的，這給當(dāng)下新冠肺炎疫情防控期間待在家里的同學(xué)們樹立了一個很好的榜樣[8]。

在數(shù)值分析教學(xué)實踐中融入著名科學(xué)家的勵志文化事跡， 可以激發(fā)學(xué)生為國家崛起而努力奮斗的愛國精神和時代責(zé)任感， 上面提到的數(shù)學(xué)家大多是國外的數(shù)學(xué)家， 近代我國數(shù)學(xué)的發(fā)展在國際上相對緩慢，需要激發(fā)新時代的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者、數(shù)學(xué)工作者努力奮斗，樹立迎頭趕上的決心。 同時，也可以通過華人數(shù)學(xué)家， 菲爾茲獎獲得者丘成桐先生的故事樹立自信心，以及中國80 后數(shù)學(xué)家許晨陽斬獲代數(shù)領(lǐng)域最高獎項——2021年度科爾代數(shù)學(xué)獎的事例來激發(fā)學(xué)生的民族自信心和時代擔(dān)當(dāng)精神。

3 教學(xué)實驗結(jié)果分析

經(jīng)過3年的教學(xué)實踐，《數(shù)值分析》 教學(xué)團(tuán)隊對于多元文化精髓融入課堂前后的教學(xué)效果進(jìn)行了調(diào)查分析，課程對天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)三屆458 名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查見圖1，結(jié)果表明，絕大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為《數(shù)值分析》融入多元文化精髓，能夠調(diào)動學(xué)習(xí)積極性、提高學(xué)習(xí)效率，同時有助于他們形成正確的人生觀、價值觀、時代擔(dān)當(dāng)，起到良好的育人效果。

圖1 學(xué)生在課程學(xué)習(xí)中對課程思政內(nèi)容體會程度調(diào)查統(tǒng)計圖

對學(xué)生進(jìn)行教學(xué)分班，建立“實驗班”和“普通班”，在課堂中對“實驗班”進(jìn)行多元文化精髓融入教學(xué)，對“普通班”只實施課程理論教學(xué)，通過兩類班級在期末考試中的成績分析， 比較學(xué)生在不同教學(xué)模式下的教學(xué)效果，具體結(jié)果見圖2。 從考試成績分布圖可以看出，“實驗班”學(xué)生在成績分布上有明顯優(yōu)勢。

圖2 “實驗班與”“普通班”考試成績比較圖

4 結(jié)語

純粹的《數(shù)值分析》課程教學(xué)比較枯燥、乏味的，需要一定的“佐料”才能保持“味美”，而多元文化精髓就是最好的課程教學(xué)“佐料”，可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)思想與方法的理解， 而大學(xué)數(shù)學(xué)類課程教育中包含著多元文化素養(yǎng)教育的切入點， 找到合適的切入點，才能刺激學(xué)生的興奮點和創(chuàng)新點，找準(zhǔn)培養(yǎng)學(xué)生思想與知識的交叉點，才能達(dá)到良好的育人效果。因此“課程思政”是對傳統(tǒng)課程教學(xué)的一個有效創(chuàng)新，目的是挖掘相應(yīng)課程多元文化元素， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，努力實現(xiàn)價值塑造、能力培養(yǎng)、知識傳授的有機(jī)統(tǒng)一。 該文通過挖掘《數(shù)值分析》課程中蘊(yùn)含的文化元素，從培養(yǎng)學(xué)生的愛國情懷、激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神、 激發(fā)學(xué)生的奮斗熱情三個方面分析多元文化精髓建設(shè)內(nèi)容， 并通過案例探討如何將多元文化精髓有效地融入課程教學(xué)，教學(xué)實驗效果也驗證了《數(shù)值分析》中多元文化的融入，使得教學(xué)改革確實能取得良好的效果。