稅 懿，楊永峰，向國(guó)菲，佃松宜*

(1. 四川大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川 成都 610065；2. 國(guó)網(wǎng)浙江電力有限公司衢州供電公司，浙江 衢州324000)

1 引言

隨著現(xiàn)代控制技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，移動(dòng)機(jī)器人開(kāi)始在越來(lái)越多的領(lǐng)域發(fā)揮重要作用，如物流、化工、商場(chǎng)購(gòu)物等領(lǐng)域。與車式移動(dòng)機(jī)器人、差速移動(dòng)機(jī)器人相比，四個(gè)麥克納姆輪全向移動(dòng)機(jī)器人(four mecanum omnidirectional mobile robot，F(xiàn)MOMR)具有較高的移動(dòng)性，在有限空間中移動(dòng)方便，因此在足球機(jī)器人、倉(cāng)庫(kù)搬運(yùn)機(jī)器人、移動(dòng)機(jī)械手等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1，2]。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，F(xiàn)MOMR必然會(huì)收到自身輪子磨損，非線性摩擦和外部干擾的影響，導(dǎo)致FMOMR無(wú)法實(shí)現(xiàn)精確跟蹤。因此，基于FMOMR設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器，必須要滿足較強(qiáng)的抗干擾能力。

近幾年，許多研究人員針對(duì)存在未知干擾的全向移動(dòng)機(jī)器人設(shè)計(jì)滑模控制器，其研究結(jié)果表明滑?？刂破髂苡行б种仆獠繑_動(dòng)[3]。為了減少滑?？刂浦械竭_(dá)滑動(dòng)面時(shí)間、降低抖振，將模糊控制與滑?？刂葡嘟Y(jié)合，使設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器不依賴系統(tǒng)的模型且對(duì)干擾具有完全魯棒性[4]，但是模糊滑?？刂菩枰{(diào)試大量參數(shù)。另一方面，可以利用模糊能夠處理不確信息的能力設(shè)計(jì)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤[5]，但是模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器需要大量學(xué)習(xí)，計(jì)算量大，不便于具體實(shí)現(xiàn)。

文獻(xiàn)[6]、[7]將模型預(yù)測(cè)控制與自適應(yīng)控制相結(jié)合，設(shè)計(jì)出廣義預(yù)測(cè)控制(generalized predictive control，GPC)算法，具有預(yù)測(cè)模型、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正等特點(diǎn)，對(duì)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定、非最小相位以及大時(shí)滯系統(tǒng)有很好控制效果[6，7]。但值得注意的是廣義預(yù)測(cè)控制只能有效抑制確定性的干擾，當(dāng)系統(tǒng)存在模型嚴(yán)重失配或未知干擾，如參數(shù)擾動(dòng)、未建模動(dòng)態(tài)等，控制精度會(huì)顯著降低。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，本文針對(duì)FMOMR提出基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer，ESO)的廣義預(yù)測(cè)控制算法，相較于文獻(xiàn)[6]、[7]，所提出的方法能有效抑制未知干擾和參數(shù)攝動(dòng)。

本文的貢獻(xiàn)主要有：1)設(shè)計(jì)基于ESO的廣義預(yù)測(cè)控制器，分別實(shí)現(xiàn)FMOMR在混合線性干擾和非線性干擾等未知干擾下的軌跡跟蹤控制。2)設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器與基于Kalman的廣義預(yù)測(cè)控制算法[8]比較，收斂速度更快，跟蹤效果更好。

2 廣義預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)

利用TS模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)得到一組TS模糊模型，然后通過(guò)加權(quán)求和的方式得到受控差分整合滑動(dòng)平均自回歸(controlled autoregressive integrated moving average，CARIMA)模型[9]

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-1)

(1)

其中y(k)、u(k-1)分別表示被控對(duì)象輸出輸入量，ξ(k)是均值為白噪聲，A(z-1)和B(z-1)是后移算子z-1的多項(xiàng)式，它們分別可以表示如下：

(2)

針對(duì)得到的多輸入多輸出系統(tǒng)的CARIMA模型(1)，可以將其目標(biāo)函數(shù)表示為

(3)

其中N為預(yù)測(cè)時(shí)域，Nu為控制時(shí)域，λ為控制增量加權(quán)系數(shù)，w(k+j)為參考軌跡。然后從當(dāng)前時(shí)刻尋找Nu步控制變量Δu(k+j-1)，使系統(tǒng)在未來(lái)N步的預(yù)測(cè)輸出與給定參考軌跡的誤差最小。

為了使系統(tǒng)的輸出平滑的到達(dá)設(shè)定值，以減少過(guò)量的控制作用而引起振蕩，使當(dāng)前時(shí)刻的輸出可以平穩(wěn)收斂，通常選用如下一階滯后模型

w(k+j)=δy(k)+(1-δ)yr

(4)

其中0≤δ<1為柔化因子。

引入Diophantine矩陣的多項(xiàng)式方程得

I=Ej(z-1)A(z-1)Δ(z-1)+z-jFj(z-1)

(5)

Ej(z-1)B(z-1)=Gj(z-1)+z-jHj(z-1)

(6)

其中j=1，…，N，

式(1)兩邊同時(shí)乘以Ej(z-1)，求解上式可得

(7)

將其寫成向量形式

(8)

其中

uT=[Δu(k)T，…，Δu(k+Nu-1)T]

然后，利用內(nèi)點(diǎn)法對(duì)目標(biāo)函數(shù)(3)求最優(yōu)解。

首先假定函數(shù)滿足

limτ→0+h(τ)=+∞

h(τ)>0，?τ>0

h(τ1)≥h(τ2)，?τ1≤τ2

其中τi(u)≥0，i=1，…，m，τi(u)是目標(biāo)函數(shù)J(u)的不等式約束函數(shù)。

將h(τ)作為懲罰項(xiàng)，取懲罰項(xiàng)函數(shù)為h(τ1)=ln[τi(u)]，構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)如下

(9)

則求解目標(biāo)函數(shù)(3)的問(wèn)題變?yōu)榍蠼馊缦履繕?biāo)函數(shù)

(10)

假設(shè)J(u)，ln[τi(u)]和Pζk(u)為凸函數(shù)，則問(wèn)題(10)的牛頓步長(zhǎng)如下

dk=-[?2Pζk(uk)]-1?Pζk(uk)

(11)

如果uk+dk在可行域內(nèi)，那么令uk+1=uk+dk，否則存在αk>0使得uk+αkdk正好處在可行域邊界上，這時(shí)令uk+1=uk+0.9αkdk，這樣uk+1總是內(nèi)點(diǎn)。

具體算法步驟如下：

1) 給定u1滿足τi(u)≥0，i=1，…，m；

使用內(nèi)點(diǎn)法求解后可以得到

(12)

其中f=HΔu(k-1)+Fy，令?P/?u=0，求得控制量u

u=(GTG+Iλ)-1(D+wGT-fGT)

(13)

取(GTG+Iλ)-1的第一行，并且將其第一行表示為PT=[P1，…，PN]。根據(jù)滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正原理，廣義預(yù)測(cè)控制律可以寫成

Δu(k)=PT(D+wGT-fGT)

(14)

u(k+1)=u(k)+Δu(k)

(15)

3 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

圖1 控制系統(tǒng)框圖

提高FMOMR軌跡跟蹤控制抗擾性能的關(guān)鍵是增強(qiáng)廣義預(yù)測(cè)控制的魯棒性，由此采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)擾動(dòng)[10]。基本思路是將系統(tǒng)中的未建模動(dòng)態(tài)和外部擾動(dòng)統(tǒng)一看作一個(gè)狀態(tài)量g(k)，結(jié)合原有的狀態(tài)變量，將系統(tǒng)(1)擴(kuò)張成新的1階控制系統(tǒng)。對(duì)這個(gè)擴(kuò)張的系統(tǒng)構(gòu)造2階擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(20)，實(shí)時(shí)估計(jì)狀態(tài)量g(k)，補(bǔ)償系統(tǒng)模型，從而提高系統(tǒng)的抗干擾性能。具體的設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

考慮FMOMR參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)，F(xiàn)MOMR的CARIMA模型可以表示為

(A(z-1)+ΔA(z-1))y(k)

=(B(z-1)+ΔB(z-1))u(k-1)+xi(k)

(16)

式中，ΔA和ΔB表示FMOMR的參數(shù)攝動(dòng)量，xi是外部擾動(dòng)。令

g(k)=-ΔA(z-1)y(k)+ΔB(z-1)u(k-1)+xi(k)

(17)

其中g(shù)(k)代表總擾動(dòng)向量，繼而式(16)可以表示為

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-1)+g(k)

(18)

令x2=g(k)為擴(kuò)張的狀態(tài)量，g′(k)為擾動(dòng)向量g(k)的變化率，則式(18)可以擴(kuò)張為

(19)

由此構(gòu)建擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器如下

(20)

其中β01、β02和h為ESO的設(shè)計(jì)參數(shù)，z1為位姿坐標(biāo)y的估計(jì)值，z2為擾動(dòng)向量g(k)的估計(jì)值。選擇適合的ESO參數(shù)，可使z2≈g(k)。

(21)

將由擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)的擾動(dòng)向量作為前饋補(bǔ)償控制，因此得到控制量為

(22)

顯而易見(jiàn)，新控制器與常規(guī)廣義預(yù)測(cè)控制器[6，7]式(15)相比，新增了擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)z2/b0。該擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)只需要原對(duì)象實(shí)時(shí)的輸入-輸出信息就可以通過(guò)構(gòu)建擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器得到，從而有效抑制參數(shù)攝動(dòng)和外部未知擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。

新控制器增強(qiáng)了傳統(tǒng)廣義預(yù)測(cè)控制器[6，7]的抗干擾性能，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)廣義預(yù)測(cè)控制器缺乏抑制未知干擾能力的不足，又保留了GPC具有的預(yù)測(cè)模型、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正等優(yōu)點(diǎn)，具體控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

4 仿真研究

廣義預(yù)測(cè)控制和擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的具體參數(shù)設(shè)計(jì)如表1所示：

表1 廣義預(yù)測(cè)控制和擴(kuò)張觀測(cè)器具體參數(shù)

為了更好的驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的GPC-ESO軌跡跟蹤控制器的跟蹤性能和抗擾性能，將其與GPC-Kalman[8]相比較，F(xiàn)MOMR參考軌跡是8字形軌跡。

圖2，圖3和圖4是GPC-ESO和GPC-Kalman在混合干擾下的軌跡跟蹤效果，混合干擾如下式

(23)

圖2 混合干擾情況下的跟蹤效果

圖3 混合干擾情況下的跟蹤效果

圖4 混合干擾情況下的誤差

可以看到，在混合干擾的情況下，GPC-ESO較GPC-Kalman都有比較好的跟蹤效果，在干擾類型轉(zhuǎn)換的節(jié)點(diǎn)，GPC-ESO較GPC-Kalman抑制干擾的效果更好，收斂速度更快。

圖5，圖6和圖7是GPC-ESO和GPC-Kalman在非線性干擾xi=5*sin(t/150)*cos(t/300)情況下的軌跡跟蹤控制效果。

圖5 非線性干擾情況下的跟蹤效果

圖6 非線性干擾情況下的跟蹤效果

圖7 非線性干擾情況下的誤差

可以看到在非線性干擾情況下，GPC-ESO較GPC-Kalman算法的抑制干擾的效果更好，且收斂速度更快。

表2顯示了在不同干擾情況下兩種控制方法的軌跡跟蹤結(jié)果?？梢钥吹綗o(wú)論是RMSE，SMPAE，還是NRMSE的誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)下，本文提出的GPC-ESO的軌跡跟蹤誤差都小于GPC-Kalman的軌跡跟蹤誤差，所以GPC-ESO的抗干擾性能更好。

表2 GPC-ESO和GPC-Kalman分別在混合干擾和非線性干情況下跟蹤8字形曲線的RMSE、SMAPE、NRMSE

5 結(jié)論

本文針對(duì)FMOMR在參數(shù)攝動(dòng)和外部未知干擾情況下的軌跡跟蹤問(wèn)題，提出基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的廣義預(yù)測(cè)控制策略，通過(guò)仿真研究分析，主要有以下結(jié)論：

1)設(shè)計(jì)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，能實(shí)時(shí)補(bǔ)償各種未知干擾，包括混合線性干擾和非線性干擾。

2)設(shè)計(jì)的GPC-ESO控制律，能有效抑制參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾，當(dāng)軌跡跟蹤過(guò)程中擾動(dòng)發(fā)生突變時(shí)，該控制律能使系統(tǒng)快速收斂，實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤。

3)在對(duì)比仿真研究中，通過(guò)誤差性能指標(biāo)定量分析2種不同控制策略的跟蹤控制性能，可以得出，所提出的控制策略具有更好的抗干擾能力。