甘朝暉，吳 騫，尚 濤，楊朋杰

(1. 武漢科技大學信息科學與工程學院，湖北武漢 430081；2. 武漢科技大學人工智能學院，湖北武漢 430081)

1 引言

憶感器是由蔡少棠教授和Ventra等人于2009年首次提出的元件[1]，其與憶阻器和憶容器一起被稱為記憶元件。目前，已經有學者提出了一些整數階憶感器的數學模型和電路模型，并基于這些模型對憶感器或者含有憶感器的非線性電路進行了相關的研究[2-5]。分數階憶感器是整數階憶感器的拓展，關于分數階憶感器的研究目前還比較少，本文將對分數階憶感器的建模方法進行研究。

Volterra級數是一種泛函級數，最早可以追溯到1887年意大利數學家V. Volterra關于解析泛函的工作，該級數是Taylor級數的一種推廣，可看作是具有記憶效應的Taylor級數[6]。作為目前非線性系統(tǒng)建模最有效的方法之一，Volterra級數在電子工程、機械工程等領域已經得到了廣泛應用[7]。

已經有研究人員將Volterra級數引入到記憶元件的建模研究中。Chao Ma等人研究了基于Volterra級數的憶阻器建模方法[8]，該方法根據憶阻器的特性對輸入信號的幅值設置了幾個閾值，并利用這些閾值將輸入信號分解成多個子信號，然后用分段Volterra級數時域核對每個子信號進行處理，最后重新組合在一起產生輸出。該研究開拓了基于Volterra級數的記憶元件建模方法，但其僅僅是針對憶阻器進行的建模研究，還未見到基于Volterra級數的憶感器建模方法發(fā)表。因此，本文提出了一種基于Volterra級數的分數階憶感器時域建模方法，這對記憶元件家族的研究具有一定的指導意義。

2 分數階憶感器

2.1 憶感器基本理論

Ventra和蔡少棠教授等人在憶阻器的基礎上拓展出了記憶元件的概念，并指出憶感器是記憶元件中的基本元器件之一，其定義的流控憶感器如下[1]

(1)

其中，i(t)表示通過憶感器的電流，φ(t)表示憶感器的磁通，Lm為憶感器的憶感值。

Biolek等人根據流控憶感器的定義，提出了如圖1所示的憶感器物理模型[4]，并根據其原理，推導出其數學模型。該憶感器模型是電感值可以變化的電感，有兩個固定端子和一個可移動端子。

圖1 憶感器物理模型

當有電流流過其中一個固定端子和可移動端子時，可移動端子會在激勵電流的作用下左右移動，此時左端固定端子和移動端子之間的線圈匝數會發(fā)生改變，進而導致憶感器的憶感值發(fā)生改變。其模型如式(2)所示

(2)

其中，Lmin為可移動端子移動距離最小時，即l=lmin時憶感器的憶感值，Lmax為可移動端子移動距離最大時，即l=lmax時憶感器的憶感值。x(t)為憶感器的內部狀態(tài)變量，k為滑動比例因子，是一個常量，與憶感器材料有關，i(t)為流過憶感器的電流，f(x)為憶感器模型中表征滑動端滑動情況的窗函數。具有不同窗函數f(x)的憶感器就會表現(xiàn)出不同的電氣特性。

2.2 分數階憶感器模型

分數階憶感器是整數階憶感器的拓展，其階次可以為任意的實數或復數。與整數階憶感器模型相比，其最顯著的優(yōu)點在于分數階憶感器模型的自由度更高，而憶感器是一種有記憶功能的非線性電感。因此，構建分數階憶感器模型具有一定的合理性。

本文在分析了Biolek等人所提出的整數階流控憶感器模型的基礎上，研究一種帶有非線性窗函數的分數階流控憶感器模型，其模型如式(3)所示

(3)

其中，α為描述憶感器內部狀態(tài)變量x的分數階微分方程的階次，k為滑動比例因子，是一個取決于憶感器材料的常量，i(t)為流過憶感器的電流，1/x為非線性窗函數，Lm為憶感器的憶感值，Lmin為憶感值的最小值，Lmin為憶感值的最大值。當分數階階次α不同時，憶感器會有不同的響應特性。

3 分數階憶感器時域建模方法

3.1 非線性系統(tǒng)的Volterra級數時域模型

對于線性系統(tǒng)，輸入與輸出的時域關系可用卷積運算來表示，如式(4)所示

(4)

其中，u(t)和y(t)分別為輸入和輸出信號，h(t)表示系統(tǒng)脈沖響應函數。

而非線性系統(tǒng)可以應用Volterra級數來描述它的模型，如式(5)和(6)所示

…

即有

(5)

式(5)為非線性系統(tǒng)在時域內的Volterra級數表示形式，u(t)和y(t)分別為系統(tǒng)輸入和輸出信號，hn(τ1，τ2…τn)為系統(tǒng)的n階Volterra級數時域核函數，簡稱時域核，又稱系統(tǒng)的n階廣義脈沖響應函數(Generalized impulse response function，簡稱GIRF)。

將式(5)進行離散化處理，得到如式(6)所示的非線性系統(tǒng)在時域內的Volterra級數離散表示形式。

u(t-m1)u(t-m2)…u(t-mn)

(6)

在實際問題的求解過程中，通常把無窮項化簡為有限項進行模型求解，化簡之后的模型依舊能夠表達非線性系統(tǒng)的本質特性，如式(7)所示

(7)

其中，n為待測系統(tǒng)的階次，L為Volterra級數的記憶長度，mn為Volterra級數核狀態(tài)變量，hn(m1，m2，…，mn)為n階Volterra級數時域核，y0為系統(tǒng)的零初始狀態(tài)響應，y(t)為系統(tǒng)輸出信號，u(t)為系統(tǒng)輸入信號，e(t)為截斷誤差。

3.2 分數階憶感器的時域建模方法

首先對本文研究的分數階憶感器模型進行采樣。采樣數據的輸入信號為流經分數階憶感器的正弦波電流激勵信號i(t)，輸出信號為分數階憶感器的磁通φ(t)。根據分數階憶感器采樣數據設計出分數階憶感器的Volterra級數時域模型表達式為

φ(t)samp=I(t)samp·hn+e

(8)

其中，φ(t)samp為分數階憶感器采樣數據的輸出信號矩陣，I(t)samp為分數階憶感器采樣數據的輸入信號矩陣，hn為對應的n階Volterra級數時域核，e是截斷誤差。

Volterra級數時域核hn的矩陣如式(9)所示

hn=[h1(0)，…h(huán)1(L)，h2(0，0)，…h(huán)2(L，L)，

…，hn(0，…0)，…h(huán)n(L，…L)]

(9)

輸入信號矩陣如式(10)所示

(10)

其中，i(·)為分數階憶感器的輸入電流信號，m為分數階憶感器的樣本數量，L為Volterra級數的記憶長度，n為Volterra級數的階次。

輸出信號矩陣如式(11)所示

φ(t)samp=[φ(L+1)φ(L+2) …φ(L+m)]T

(11)

為了計算出時域核，列出如式(12)所示的誤差函數

f(e)=eT·e=(φ(t)samp-I(t)samp·hn)T

·(φ(t)samp-I(t)samp·hn)

(12)

使用最小均方差方法得到Volterra級數時域核的表示式，如式(13)所示

=(IT(t)samp·I(t)samp)-1·IT(t)samp·φ(t)samp

(13)

根據式(13)就可以得到分數階憶感器的時域模型

φ(t)pre=·I(t)pre

(14)

其中，φ(t)pre為預測的分數階憶感器輸出信號值，I(t)pre是用于預測的分數階憶感器輸入采樣信號。

4 仿真研究

本節(jié)使用本文所提出的方法來得到分數階憶感器時域模型的預測曲線，以驗證本文所提方法的有效性。所有實驗都是在Matlab R2010b仿真環(huán)境下完成的。

圖2 不同階次的分數階憶感器的φ-i特性曲線

在實驗中，樣本點數量m=100，使用的Volterra級數的控制參數分別為：記憶長度L=3，階次n=3。當分數階憶感器的階次分別為α=0.4，0.5，0.7時，對分數階流控憶感器的模型曲線進行采樣，得到三組采樣數據。根據Volterra級數建模理論，得到如圖2所示的分數階憶感器的時域模型預測曲線。

圖3 L取不同數值時分數階憶感器的時域模型曲線

從圖2可以看出，三組不同階次的分數階憶感器的時域模型預測曲線與采樣數據曲線重合度都很高，能準確描述分數階憶感器的φ-i特性。下面依次分析記憶長度和階次這兩種控制參數對分數階憶感器時域模型的影響。

4.1 記憶長度對分數階憶感器時域模型的影響

本節(jié)實驗中，記憶長度L分別取1、2和3，Volterra級數的階次n取值3，樣本點數量m=100。當分數階憶感器的階次a=0.5時，得到的分數階憶感器時域模型的曲線如圖3所示。

由圖3(a)可以看出，記憶長度L為1時，預測曲線與采樣曲線相似度不高，在原點附近有較多的離散點與采樣數據有較大的誤差，不能完全反映實際采樣曲線。由圖3(b)可以看出，記憶長度L為2時，預測曲線與采樣曲線重合度相比L=1時有了較大的提高，能夠在一定程度上描述出實際的采樣曲線。由圖3(c)可以看出，記憶長度L為3時，預測曲線與采樣曲線已經高度重合，能夠完全描述出實際采樣曲線。因此，當要求精度較低時，記憶長度L的值可以取2，當要求較高精度時，記憶長度L的值一般取3。

4.2 Volterra級數階次對分數階憶感器時域模型的影響

對于非線性系統(tǒng)而言，Volterra級數的階次越高，越能反映實際系統(tǒng)的真實特性。為了驗證Volterra級數的階次n對分數階憶感器時域模型的影響，控制參數取值分別為：記憶長度L=3，Volterra級數的階次n分別取1、2和3時得到的分數階憶感器的時域模型曲線如圖4所示。

圖4 n取不同數值時分數階憶感器的時域模型曲線

由圖4(a)可以看出，Volterra級數的階次n為1時，預測曲線與采樣曲線完全不重合，與采樣曲線偏離較多，無法反映出原系統(tǒng)的特性。由圖4(b)可以看出，當Volterra級數的階次n取2時，預測曲線雖然可以顯示出分數階憶感器的滯回特性，但預測曲線與采樣曲線有一定的偏離，不能準確預測采樣系統(tǒng)的真實特性。由圖4(c)可以看出，當Volterra級數的階次n取3時，與采樣曲線的重合度較高，描述精確度較高，可以較為準確反映出實際系統(tǒng)的真實特性。

5 結束語

本文提出了一種基于Volterra級數的分數階憶感器時域建模方法，根據仿真可知該方法能夠較為準確地描述待預測模型的特性曲線。詳細分析和研究了Volterra級數的階次、記憶長度這兩種控制參數對分數階憶感器時域模型精度的影響。后續(xù)的工作將研究分數階憶感器的頻域建模方法，以便更加深入地研究分數階憶感器在非線性電路中的特性。