王偉豪，劉樹勇，諶 龍

(海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院，湖北武漢 430033)

1 引言

混沌現(xiàn)象是一種看似無規(guī)則但是具有內(nèi)在隨機(jī)性的復(fù)雜現(xiàn)象，廣泛存在于氣象，物理，經(jīng)濟(jì)，通信等各個(gè)領(lǐng)域[1]。目前，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)混沌系統(tǒng)的控制提出了許多不同的方法，大致可分為反饋控制法和非反饋控制法[2]。1990年，Lima等[3]提出了基于參數(shù)共振微擾的非反饋控制方法，其應(yīng)用于Duffing系統(tǒng)中達(dá)到混沌抑制。此后學(xué)者們對(duì)混沌系統(tǒng)的控制與應(yīng)用進(jìn)行了廣泛的研究，并取得了一系列的研究成果[4-11]。由于混沌系統(tǒng)的反饋控制具有較為完善的理論分析，衍生出了一系列反饋控制的方法，如追蹤控制[4，5]、自適應(yīng)控制[6，7]、分岔控制[8，9]、微分控制[10，11]等。這些控制策略控制可以使系統(tǒng)穩(wěn)定于平衡點(diǎn)或周期軌道，但在某些應(yīng)用場(chǎng)合也存在一些不足。首先，反饋控制的實(shí)現(xiàn)前提必須對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量進(jìn)行物理測(cè)量，這在實(shí)際工程中較難實(shí)現(xiàn)。其次，混沌系統(tǒng)對(duì)初始條件極為敏感，測(cè)量過程中會(huì)不可避免的受到外界噪聲的干擾，從而影響系統(tǒng)的精確控制。

利用非共振參數(shù)策動(dòng)實(shí)現(xiàn)混沌控制[12]是近幾年提出的一種針對(duì)自治混沌系統(tǒng)的非反饋混沌控制方法，該方法不僅避免了對(duì)混沌狀態(tài)變量的測(cè)量，而且可以通過嚴(yán)格的理論分析求解控制參數(shù)，有利于推廣應(yīng)用。諶龍等[13]利用自治混沌系統(tǒng)的參數(shù)非共振激勵(lì)混沌抑制原理實(shí)現(xiàn)Lorenz系統(tǒng)由混沌狀態(tài)到大周期狀態(tài)的轉(zhuǎn)變，該控制方法可用于檢測(cè)相同頻率的方波信號(hào)。王夢(mèng)蛟等[14]利用非共振參數(shù)策動(dòng)在一定信噪比范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)Chen系統(tǒng)的非反饋混沌控制。Lv系統(tǒng)作為連接Lorenz系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)的橋梁的典型自治混沌系統(tǒng)，其豐富的動(dòng)力學(xué)行為得到了廣泛的研究[15，16]，在工程中具有可觀的應(yīng)用前景。而混沌控制是混沌應(yīng)用的關(guān)鍵，因此如何實(shí)現(xiàn)對(duì)Lv系統(tǒng)的有效控制具有重要的意義。

本文首先對(duì)Lv系統(tǒng)進(jìn)行線性狀態(tài)反饋反饋控制，分析了Lv系統(tǒng)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性，利用霍爾維茨判據(jù)確定負(fù)反饋控制參數(shù)，仿真表明所得參數(shù)可將呂系統(tǒng)控制到指定的平衡態(tài)和振蕩周期軌道上。然后通過施加非共振激勵(lì)實(shí)現(xiàn)非反饋混沌控制，采用平均法和Lyapunov方法得到控制參數(shù)應(yīng)滿足的條件，仿真研究表明此方法可將系統(tǒng)狀態(tài)變量達(dá)到很好的控制，且具有較強(qiáng)的抗干擾性能。

2 呂系統(tǒng)及穩(wěn)定性分析

2002年，呂金虎等人通過混沌反饋控制得到混沌呂系統(tǒng)，作為連接Chen系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)的橋梁，它很快就引起了人們的關(guān)注，吸引子由如下三維系統(tǒng)產(chǎn)生

(1)

(2)

根據(jù)式(2) 可求得各平衡點(diǎn)所對(duì)應(yīng)特征根有正實(shí)部，因此這些平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的，從相圖1可以看出，它有著豐富的動(dòng)力學(xué)行為。

圖1 呂混沌吸引子

3 呂系統(tǒng)的負(fù)反饋控制

3.1 控制參數(shù)的確定

在呂系統(tǒng)的第二式中加入負(fù)反饋-kx，得到

(3)

(4)

則特征根均具有負(fù)實(shí)部，平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。如果滿足條件

(5)

則特征值有一負(fù)的實(shí)根和一對(duì)零實(shí)部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)，振蕩周期為2π(b2)-1/2。通過(4)、(5)式穩(wěn)定條件，分別針對(duì)三個(gè)平衡點(diǎn)P1，P2，P3的負(fù)反饋控制條件進(jìn)行求解，理論結(jié)果見表1．

表1 負(fù)反饋控制理論值

3.2 仿真研究結(jié)果

系統(tǒng)初值取為(0.5，0.8，1)，當(dāng)k=30，特征根λ=-3.5±7.5993i和-3，均為負(fù)實(shí)部，零解漸進(jìn)穩(wěn)定，系統(tǒng)(3)最終被吸引到原點(diǎn)P1上，數(shù)值研究結(jié)果如圖2所示，由圖2(b)看出系統(tǒng)經(jīng)過短暫時(shí)間后趨于原點(diǎn)P1(0，0，0)。

圖2 混沌狀態(tài)的控制k=30

圖3 混沌狀態(tài)的控制k=27

圖4 系統(tǒng)控制到極限環(huán)上k=161/6

4 呂系統(tǒng)的非反饋控制

4.1 控制系統(tǒng)描述

在實(shí)際應(yīng)用中，控制信號(hào)的輸入往往會(huì)受到環(huán)境噪聲的干擾，從而影響控制效果。為分析呂控制系統(tǒng)的抗干擾能力，當(dāng)激勵(lì)參數(shù)k=21時(shí)，將方差為5的高斯白噪聲加入到激勵(lì)信號(hào)中，得到信噪比為9.8dB的控制輸入μ(t)，其波形如圖所示。在激勵(lì)控制信號(hào)中加入噪聲的情況下，系統(tǒng)依然能夠迅速得到控制，其中狀態(tài)變量z(t)隨時(shí)間的變化如圖8所示，與圖6(b)中無噪聲的激勵(lì)控制相比，兩種情形下控制的時(shí)間基本相同，區(qū)別在于未加噪聲時(shí)的控制效果為97.19%，輸入含噪聲時(shí)的控制效果達(dá)到96.35%，說明控制系統(tǒng)的抗干擾性能較好。

圖7 噪聲干擾下控制輸入μ(t)的波形

圖8 輸入含噪聲時(shí)狀態(tài)變量z的控制效果

5 結(jié)論

本文對(duì)呂系統(tǒng)的混沌行為進(jìn)行了研究分析，采用負(fù)反饋和非反饋控制的方法有效地控制Lv系統(tǒng)混沌并得出一下結(jié)論：

1)負(fù)反饋控制不需改變系統(tǒng)的參數(shù)和結(jié)構(gòu)就可以使系統(tǒng)趨于指定的平衡態(tài)或振蕩周期上，數(shù)值仿真與理論分析得到了一致的結(jié)果；

2)對(duì)Lv混沌方程組的第二項(xiàng)施加頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)特征頻率的周期信號(hào)，用平均法對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行處理得到了慢變系統(tǒng)，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理得到控制參數(shù)應(yīng)滿足的條件，通過選取適當(dāng)參數(shù)對(duì)混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制，控制效果可達(dá)97.8%，且具有較強(qiáng)的抗干擾性能，相比于參數(shù)共振微擾方法，此方法可給出嚴(yán)格的理論分析，對(duì)于微弱信號(hào)檢測(cè)具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。