黃炳華 陳新苗 韋善革

耗散性非自治電路的確定與不定解

黃炳華 陳新苗 韋善革

（廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院，南寧 530004）

諧波平衡原理只能求非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的振蕩解，無法求出起始暫態(tài)過程，由于沒有引入初始條件，它無法求出自振蕩分量的初始相角。關(guān)于諧波分析法，如果最初諧波項(xiàng)的假設(shè)能夠符合被求電路的物理實(shí)際，會(huì)得到有實(shí)數(shù)解的正確結(jié)果。反之實(shí)數(shù)解的缺失，說明初始假設(shè)不合理。為此必須重新設(shè)定諧波的形式。二階非自治電路含有自激和受迫兩個(gè)諧波分量，是一個(gè)耦合振蕩。本文論述五次方項(xiàng)的非自治電路，用等效基波電導(dǎo)替代非線性阻尼，可將簡(jiǎn)化的網(wǎng)絡(luò)劃分成為兩個(gè)分部，各分部有各自單獨(dú)的振蕩頻率，可以單獨(dú)列出微分方程而后聯(lián)合求解。分部網(wǎng)絡(luò)的功率各自獨(dú)立維持平衡，是求解非自治電路的有效方法，有廣泛的普遍性和適用性。

諧波分析；非自治電路；非線性振蕩；耦合；初相位

0 引言

對(duì)于非自治電路，如果也采用諧波分析法求解，現(xiàn)有許多國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)的論述，對(duì)于最初諧波項(xiàng)的預(yù)設(shè)，并沒有包含一個(gè)頻率獨(dú)立的自振諧波項(xiàng)。盡管存在多種多樣的近似解析法[8-10]，都不具有適用一般情況的普遍性，大都是針對(duì)某些常見的具體方程提出一些近似的解析法，例如采用攝動(dòng)法（perturbation method）或小參數(shù)的緩變方法等。傳統(tǒng)諧波分析法存在一定局限性，Mickens R. E.已經(jīng)做出有關(guān)評(píng)論[11]。近年來的文獻(xiàn)提出將諧波分析法建立在功率平衡理論的基礎(chǔ)上，對(duì)于包含多諧波成分的電路網(wǎng)絡(luò)，每一諧波成分要各自獨(dú)自遵守復(fù)功率平衡，即頻域的功率平衡定理；并提出應(yīng)該恰當(dāng)?shù)仡A(yù)設(shè)諧波項(xiàng)的最佳形式，從而使諧波平衡原理能夠獲得進(jìn)一步的合理推廣應(yīng)用[12-15]。非自治振蕩電路包含自激和受迫兩個(gè)主要諧波成分的混頻，主諧波解并不是兩個(gè)成分的疊加，而是兩者的非線性耦合[16-19]。

一般地，給出微分方程必須包含給出起始條件，題設(shè)不包含起始條件的微分方程是不完整的，對(duì)于耗散型含阻尼項(xiàng)的非自治電路，根據(jù)微分方程的內(nèi)在本質(zhì)特征，在沒有起始條件的情況下，留下方程解的不定部分暫且不解，只求方程可解的確定部分，簡(jiǎn)化地求出進(jìn)入穩(wěn)態(tài)振蕩的基本主要部分稱為主諧波平衡原理，簡(jiǎn)化解的初相位是不定的，這種解法適用于一般非自治電路。

本文還探討非自治電路中，自振蕩成分是否一定存在。電路中并不存在有自振頻率的電源，自振諧波是由于電路中包含非線性變頻或負(fù)阻引起的振蕩成分，它存在的條件是遵守頻域功率平衡定理的兩個(gè)方面：①兩個(gè)振蕩成分存在相互影響的非線性耦合關(guān)系，可以依靠非線性變頻或負(fù)阻獲得功率來源；②各諧波成分各自維持自身復(fù)功率平衡，各個(gè)諧波成分的功率盈虧不能互相填補(bǔ)。電力系統(tǒng)中出現(xiàn)有害寄生諧波的原因與電路中存在各種非線性變頻或整流換流設(shè)備密切相關(guān)。諧波的出現(xiàn)嚴(yán)重危害電力系統(tǒng)的穩(wěn)定安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行。為了保證電能供應(yīng)質(zhì)量、改善系統(tǒng)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性能、消滅諧波污染引起的能量損失、抑制寄生諧波的出現(xiàn)，破壞諧波的功率平衡是一種有效的方法[20-22]。反之，為了改善電氣設(shè)備的運(yùn)行性能，也可以利用三次諧波的注入，使電機(jī)穩(wěn)態(tài)性能的優(yōu)化效果達(dá)到最佳[23]；或利用多諧波并存能夠共同產(chǎn)生更大的機(jī)械功率來改善電機(jī)的起動(dòng)性能[24]。以上從正反兩方面說明，諧波的存在與維持該諧波成分的功率平衡密切相關(guān)。

1 自治電路的不定解

1.1 含三次方特性的自治電路

圖1 范德堡電路

圖2 基波電路

1.2 方程的本質(zhì)特征

1.3 含五次方特性的自治電路

（13）

2 含三次方特性的非自治電路

2.1 用傳統(tǒng)的諧波平衡法求解

互耦合的主諧波分量，將電路劃分成兩個(gè)分部網(wǎng)絡(luò)如圖6和圖7所示，兩分部網(wǎng)絡(luò)各支路電壓電流可

圖6 自振分部網(wǎng)絡(luò)

圖7 受迫分部網(wǎng)絡(luò)

表1 當(dāng)時(shí)，式（21）的主諧波解

注：SOE為self-oscillation existence，SOD為self-oscillation disappearance。

2.2 分部網(wǎng)絡(luò)用零阻尼力求方程的穩(wěn)態(tài)振蕩解

電路圖5微分方程式（21）包含兩個(gè)主諧波分量，各諧波分量要各自遵守各種電路定律。在考慮兩主諧波分量間非線性耦合的定量關(guān)系后，可將網(wǎng)絡(luò)按兩個(gè)頻率劃分成兩個(gè)分部網(wǎng)絡(luò)如圖6和圖7所

以下說明三次方特性的非自治電路，如何由式（28）和式（29）求兩個(gè)微分方程所構(gòu)成的主諧 波解。

得出

2.3 分部網(wǎng)絡(luò)用相量方程求主諧波解

兩分部網(wǎng)絡(luò)可各自用相量方程求解，但兩個(gè)分部的背景參照頻率不同，因而兩個(gè)主諧波的相量值

3 含五次方特性的非自治電路

3.1 用傳統(tǒng)諧波平衡原理求解非自治電路

諧波平衡原理如果按式（23）預(yù)設(shè)自振分量的形式，非常不利于求解，會(huì)使MATH程序無法求解。如果按式（24）預(yù)設(shè)定，并且式中的不作為求解變量，只作為一個(gè)未給出數(shù)值的待定量留在程序中，并不影響求出自振幅值hm，也不影響分析自振分量是否存在。MATH程序NB7-table2.nb按式（24）預(yù)設(shè)定，得到更加合理的結(jié)果，它用hm=0顯示自振消失。程序求出的主諧波解見表2。

表2 當(dāng)時(shí)，式（50）的主諧波解

由表2數(shù)據(jù)可得出：①表2第一行可發(fā)現(xiàn)其中列入10a、10b和10c三種數(shù)據(jù)，說明五次方特性的

3.2 分部網(wǎng)絡(luò)用零阻尼求穩(wěn)態(tài)振蕩解

4 主諧波平衡方程的一般表達(dá)式

5 復(fù)功率平衡驗(yàn)證與自振消失的臨界值

5.1 自振分部網(wǎng)絡(luò)的復(fù)功率平衡驗(yàn)證

5.2 受迫分部網(wǎng)絡(luò)的復(fù)功率平衡驗(yàn)證

程序NB7-table-uFm15、uFm18-powerbalance對(duì)此做了成功可靠的驗(yàn)證。

5.3 自振蕩消失的最低受迫分量稱為臨界電壓

圖8 ，曲線

（70）

次諧波的功率平衡。

6 結(jié)論

可解的，仍然可以用線性微分方程理論求出兩個(gè)主諧波的耦合解。本文采用傳統(tǒng)諧波分析法、零阻尼法、相量方程求解法三種方法最后得出數(shù)據(jù)完全一致的結(jié)論。

附錄 MATH程序壓縮夾

（1）NB1-indef.nb；包括NB1-no-ang.nb NB1-have- ang.nb NB1-uhr+uhx.nb

（2）NB2-exam2-First.nb;

（3）NB3-0-exam3-First.nb; NB3-table1.nb;

（4）NB4-critical.nb;

（5）NB5-damping.nb;

（6）NB6-phesor.nb;

（7）NB7-0-exam4-First.nb; NB7-table2.nb;

（8）NB8-equivalent.nb;

（9）NB9-damping2.nb;

（10）NB10-Critical2.nb;

（11）NB11-peq13.nb

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The definite and indefinite-solutions in the dissipative non-autonomous circuits

HUANG Binghua CHEN Xinmiao WEI Shan’ge

(School of Electrical Engineering, Guangxi University, Nanning 530004)

The harmonic balance principle can only seek the stable oscillation solution of non-linear dynamic system, but it cannot solve the initial transient process. Since the initial condition is not introduced, the initial phase angle of the self-excited oscillation component cannot be obtained. Concerning harmonic analysis method, if the initial assumption of the harmonic components fits the physical characteristics of the circuit, the correct real number solution will be obtained. By contrast, the absence of real number solution implies an improper initial assumption. In this case, to reset the form of harmonic components is necessary. Containing both self-excited and forced oscillation components, the second order non-autonomous circuit is a coupled oscillation. The non-autonomous circuits of fifth power are discussed in this paper. The non-linear damping factor can be replaced by equivalent first wave conduction. The simplification network can be divided into two subsections, each of which possess independent oscillation frequency. The differential equation can independently be described and then be solved together. The power balance of each subsection network must be maintained. It is an effective way to solve non-autonomous circuits. It possesses widely universality and applicability.

harmonic analysis; non-autonomous circuits; nonlinear oscillation; coupling; initial phase angle

2021-12-29

2022-07-06

黃炳華（1940—），男，福建省廈門市人，教授，主要研究方向?yàn)榉蔷€性電路含多諧波成分的功率計(jì)算，用功率平衡理論研究非線性振蕩，用主諧波平衡原理研究非自治電路的主諧波解。

國(guó)家自然科學(xué)基金（60662001）非線性微分方程基礎(chǔ)上的功率平衡