毛北行, 王東曉

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 鄭州 450015)

目前, 混沌研究已取得較多成果[1-2]. 隨著人們對滑模控制方法的進(jìn)一步研究和系統(tǒng)建模的需要, 混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為及其滑模同步已成為研究的新熱點[3-6], 其中金融混沌系統(tǒng)已引起人們廣泛關(guān)注[7-17]： 文獻(xiàn)[10]基于線性控制研究一類金融系統(tǒng)同步, 得到了金融系統(tǒng)同步控制的充分條件； 文獻(xiàn)[11]研究了一類經(jīng)濟系統(tǒng)的動力學(xué)行為與動力學(xué)解析問題； 文獻(xiàn)[12]研究了一類不確定參數(shù)金融混沌系統(tǒng)的廣義投影同步； 文獻(xiàn)[13]基于動力學(xué)理論研究了一類金融混沌系統(tǒng)的定性分析； 文獻(xiàn)[14]研究了一類非線性金融混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析與同步； 文獻(xiàn)[15]研究了改進(jìn)金融混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為與自適應(yīng)同步； 文獻(xiàn)[16]研究了一類金融混沌系統(tǒng)的線性控制模型, 對金融混沌系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值建模和定性分析； 文獻(xiàn)[17]研究了金融混沌系統(tǒng)的動力學(xué)特性. 滑動模態(tài)控制研究方法具有良好的魯棒性和對不確定參數(shù)的非敏感性與不依賴性, 由于金融混沌會導(dǎo)致經(jīng)濟領(lǐng)域和金融領(lǐng)域毀滅性和災(zāi)難性的打擊, 因此對金融混沌的研究尤為重要, 通過混沌同步可有效抑制并避免金融混沌的發(fā)生. 但不確定分?jǐn)?shù)階混沌金融系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步問題尚未被系統(tǒng)研究, 基于此, 本文研究三維分?jǐn)?shù)階金融不確定混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步的3種控制方案, 根據(jù)分?jǐn)?shù)階滑?？刂评碚摻o出金融不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)取得滑模同步的3個充分條件.

1 主要結(jié)果

文獻(xiàn)[16]提出的金融模型為

(1)

其中a為儲蓄,b為單位投資成本,c表示市場需求彈性,x1為利率,x2為投資需求,x3為價格指數(shù).當(dāng)a=3.0,b=0.1,c=1時, 設(shè)置初值為(0.5,3,-0.5), 則系統(tǒng)(1)的吸引子如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)(1)的吸引子Fig.1 Attractors of system (1)

考慮系統(tǒng)(1)對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)[17]：

(2)

當(dāng)a=3.0,b=0.1,c=1,q>0.85時, 設(shè)置初值為(0.5,4,-0.5), 則系統(tǒng)(2)的吸引子如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)(2)的吸引子Fig.2 Attractors of system (2)

以系統(tǒng)(2)為主系統(tǒng), 設(shè)計從系統(tǒng)為

(3)

其中Δf(φ(t))為不確定項,φ(t)=(y1,y2,y3)T,d(t)為系統(tǒng)外部擾動,u(t)為控制輸入, 定義ei=yi-xi,i=1,2,3, 得到誤差系統(tǒng)

(4)

假設(shè)1|Δf(φ(t))|≤g, |d(t)|≤h, 其中未知參數(shù)g,h>0.

(5)

自適應(yīng)律為

(6)

(7)

當(dāng)不在滑模面上運動時, 構(gòu)造

(8)

根據(jù)引理1可得

由引理2可得

因此s(t)→0.

定理2在假設(shè)1條件下, 設(shè)計滑模函數(shù)s(t)=e1-ke3,k>0, 自適應(yīng)律為式(6), 控制律為

(9)

當(dāng)不在滑模面上運動時, 構(gòu)造V(t)如式(8)， 根據(jù)引理1可得

定理3在假設(shè)1條件下, 設(shè)計滑模函數(shù)s(t)=e1, 自適應(yīng)律為式(6), 控制律為

(10)

當(dāng)不在滑模面上運動時, 構(gòu)造V(t)如式(8)， 根據(jù)引理1可得

2 數(shù)值仿真

用MATLAB仿真程序進(jìn)行仿真, 選取參數(shù)為a=3.0,b=0.1,c=1,q>0.85, 初始值設(shè)為

(x1(0),x2(0),x3(0))=(2.2,6,2.5),

(y1(0),y2(0),y3(0))=(-2,6,-6).

圖3 定理1的系統(tǒng)誤差曲線Fig.3 Systematic error curves of theorem 1

圖4 定理2的系統(tǒng)誤差曲線Fig.4 Systematic error curves of theorem 2

圖5 定理3的系統(tǒng)誤差曲線Fig.5 Systematic error curves of theorem 3

綜上, 本文研究了金融不確定三維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模同步, 根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分理論得到分?jǐn)?shù)階金融不確定混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步的3個控制方案, 并用MATLAB仿真程序檢驗了所得結(jié)論. 結(jié)果表明, 設(shè)計恰當(dāng)?shù)幕：瘮?shù)可使金融不確定三維混沌系統(tǒng)的驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)取得滑模同步.