雷前坤

(遵義黔通達檢測試驗有限責任公司, 貴州遵義 563000)

目前，變形預測中常采用的方法有回歸分析法、時間序列法、灰色模型等[1]。其中，灰色模型對時間序列短、統(tǒng)計數據少、信息不完全系統(tǒng)的建模與分析，具有獨特的優(yōu)越性，在變形預測領域得到廣泛應用[2-7]。傳統(tǒng)灰色模型對于原始數據序列之后的1～2期數據具有較高的預測精度，隨著預測期數的增加其精度會越來越低。針對傳統(tǒng)灰色模型的不足，引入了動態(tài)灰色模型，一方面它繼承傳統(tǒng)灰色模型的優(yōu)點，另一方面又及時去掉數據序列中失去預測意義的老數據的同時又加入最新的數據，不斷更新，從而提高了模型預測的精度。動態(tài)灰色模型根據加入的信息不同分為2種：①若加入的是預測值，則稱為灰色遞補動態(tài)預測模型；②若加入的信息為實測值，則稱為新陳代謝灰色預測模型[6-7]。無論是傳統(tǒng)灰色模型還是動態(tài)灰色模型，傳統(tǒng)的方法都是采用經典最小二乘對模型進行解算。由于灰色模型中的系數矩陣部分元素是由觀測數據構成的，因此系數矩陣中也必然含有誤差，因而采用經典最小二乘進行解算，由于無法顧及系數矩陣中的誤差，得到的結果不是最優(yōu)的?？傮w最小二乘在解算模型參數時，能顧及到系數矩陣中的誤差[8-9]。基于此，文中利用總體最小二乘來求解灰色模型中的灰參數。文中以一基坑沉降監(jiān)測數據為例，分別采用經典最小二乘和總體最小二乘對幾種灰色模型的參數進行求解，并進行沉降建模預測分析，得出有益結論。

1 模型建立

1.1 傳統(tǒng)灰色模型

傳統(tǒng)灰色模型建模過程[6-7]，設非負離散等間隔數列為：

(1)

對其進行一次累加得到：

(2)

對X(1)建立一階白化微分方程：

(3)

系數矩陣及觀測向量如下。

(4)

(5)

采用最小二乘法，解算得到參數:

(6)

將參數帶回白化微分方程可得:

(7)

對上式進行累減計算可以得到:

x(0)(n+1)=x(1)(n+1)-x(1)(n)

(8)

從而可以得到模擬值或預測值:

(9)

1.2 動態(tài)灰色模型

1.3 基于總體最小二乘的灰色模型

從灰色模型的系數矩陣的結構可以看出，其第一列是由觀測數據累加得到的，由于觀測量不可避免的含有誤差，故系數矩陣中必然含有誤差。因此，如果忽略系數矩陣中的誤差，得到的結果是不合理的，且理論上也不完善。根據文獻[9]，設α為待估參數，Yn為觀測向量，C為系數矩陣，EC為系數矩陣C中的誤差矩陣，eY是觀測向量中的誤差向量，則有：

Y+eY=(C+EC)α

(10)

將增廣矩陣進行奇異值分解：

(11)

式中：

總體最小二乘解可由增廣矩陣右奇異向量的最后一列求得，即參數α的估值為

(12)

2 算例分析

取文獻[10]中的算例數據。表1為一基坑6號點2015年10月24日至2015年11月15日的12期沉降監(jiān)測值，利用前7期的沉降監(jiān)測數據建立模型，后5期的沉降監(jiān)測數據作為預測的參考值。表2統(tǒng)計了采用的方案，表3為實測值與各種方案所得到的預測值，表4為相對誤差及均方根誤差(RMSE)統(tǒng)計結果。為了更直觀的比較各種方案的預測結果，將實測值與各種方案所得預測值繪制成圖1和圖2。

表1 沉降實測值 單位：mm

表2 采用方案

表3 實測值與各方案預測值 單位：mm

表4 相對誤差

圖1 實測值與經典最小二乘解算預測值

圖2 實測值與總體最小二乘解算預測值

分析表3、表4、圖1和圖2，可得出結論：

(1)表3中，從基于經典最小二乘的預測結果來看，新陳代謝灰色預測模型預測得到的結果更接近實測值，灰色遞補動態(tài)預測模型的預測結果次之，傳統(tǒng)灰色模型的預測結果最差。采用總體最小二乘解算后進行建模預測，各種模型預測得到的預測結果相對于經典最小二乘都有所提高，其中又以基于總體最小二乘的新陳代謝灰色預測模型預測得到的結果為最優(yōu)。以上表明，采用總體最小二乘來求解灰色模型中的灰參數，可以提高模型的預測精度。

(2)表4中，從平均相對誤差和均方根誤差來看，平均相對誤差和均方根誤差最大的為傳統(tǒng)灰色模型，其平均相對誤差為9.76%，均方根誤差為3.84 mm，最小的為基于總體最小二乘的新陳代謝灰色預測模型，其平均相對誤差和均方根誤差分別為4.78%和1.08 mm，結果明顯小于傳統(tǒng)灰色模型，其余預測模型的平均相對誤差和均方根誤差按方案表順序依次遞減。以上表明，基于總體最小二乘的新陳代謝預測模型的預測精度要高于其他5種模型。

(3)從圖1和圖2中實測值與各種模型的預測值曲線來看，基于總體最小二乘的新陳代謝灰色預測模型的預測值曲線走向與實測值更加接近，但11月15日第5期的預測值曲線走向卻發(fā)生了較大變化。這表明，雖然采用總體最小二乘來求解新陳代謝灰色預測模型中的灰參數能在一定程度上提高模型的預測精度，但預測期數不宜過長，從本算例來看，控制在4期以內的預測結果較為理想。這也表明，在實際沉降預測工作中，應根據預測值與實測值的具體情況，采用新的數據序列重新建立新的預測模型進行預測，以提高預測結果的精度。

3 結 論

基于經典最小二乘解的灰色模型由于無法顧及系數矩陣中的誤差，致使建立的預測模型精度不高，本文利用總體最小二乘來解算灰色模型中的灰參數，提高了模型的預測精度。綜合本文研究結果，得出幾點結論和建議:

(1)從模型預測結果來看，新陳代謝灰色預測模型更適合用來進行基坑沉降預測。

(2)從模型解算方法來看，宜采用總體最小二乘來解算灰色模型中的灰參數。

(3)文中只采用了灰色模型進行建模預測分析，而除了灰色模型外，還有時間序列模型、回歸分析法等可以用來進行建模預測，后續(xù)的工作可以將其他模型與基于總體最小二乘的新陳代謝灰色預測模型進行對比研究，得出更適合基坑沉降的預測模型。

(4)充分挖掘各種預測模型的優(yōu)勢，在不同的預測階段采用優(yōu)勢模型來預測，以使預測結果更加可靠。

(5)后續(xù)研究可從數據處理方法和新模型的構建著手，如對數據進行預處理后再建模、挖掘新的模型解算方法、挖掘建立新的更加符合實際的預測模型。