魯 月

(中建鐵路投資建設(shè)集團(tuán)有限公司，北京 100000)

0 引言

隨著橋梁跨度、橋下凈空和美觀等要求的提高，人行橋越來越多地采用高強(qiáng)輕質(zhì)材料，橋型也向輕巧和纖細(xì)方向發(fā)展[1]。人行橋的一階豎向頻率為1.9 Hz～2.5 Hz，人行走時(shí)活動(dòng)頻率為1.5 Hz～2.5 Hz[2]，當(dāng)人流較大且其人行荷載頻率等于或接近建筑結(jié)構(gòu)的固有頻率時(shí)，橋梁將會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象[3-4]。在人行橋中增加諧調(diào)質(zhì)量阻尼器(TMD)等裝置，進(jìn)行消能減振處理[5]，是一種有效的減振方式。TMD是由彈簧、阻尼器和質(zhì)量塊三者組成的減振裝置[6]。本文以某人行橋?yàn)檠芯繉?duì)象，計(jì)算了其人致振動(dòng)響應(yīng)最大加速度，進(jìn)而針對(duì)結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)進(jìn)行TMD減振設(shè)計(jì)，通過對(duì)同樣人行荷載作用下的人行橋，安裝TMD裝置前后的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析，驗(yàn)證了TMD減振系統(tǒng)在人行橋結(jié)構(gòu)上良好的減振作用。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行了被控結(jié)構(gòu)-STMD系統(tǒng)魯棒性分析。

1 工程概況

選取空間曲梁?jiǎn)芜厬宜鳂蜃鳛槿诵袠蚪Y(jié)構(gòu)，其包含內(nèi)、外側(cè)主梁及空間主纜、吊索、背索和索塔。同時(shí)內(nèi)、外側(cè)主梁構(gòu)成橋面系，兩端與橋臺(tái)固結(jié)，豎直向彈性支撐則由跨中懸掛于主纜上的柔性吊索負(fù)責(zé)提供，橋面設(shè)置3 m寬的人行道和7 m寬的自行車道，橋梁的總體布置如圖1所示。

在對(duì)人行橋進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，結(jié)合豎向人行荷載頻率范圍，察覺豎彎振型的頻率2 Hz是處于其范圍內(nèi)。這表明共振現(xiàn)象可能會(huì)發(fā)生在人行荷載作用下的人行橋，相應(yīng)構(gòu)件會(huì)產(chǎn)生較大反應(yīng)。進(jìn)一步的計(jì)算表明這座橋梁在人群荷載作用下，加速度響應(yīng)大于限值0.5 m/s2，可能引起行人不適。在人群荷載作用下的橋梁豎向最大加速度降低至限值0.5 m/s2以內(nèi)則是希望取得的效果，將通過利用布設(shè)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)來達(dá)到這一目的。

2 人致振動(dòng)響應(yīng)分析

2.1 動(dòng)力特性分析

參考資料中給出動(dòng)力特性計(jì)算結(jié)果，包括橋梁前5階模態(tài)頻率及振型，見表1，圖2。

表1 橋梁前5階模態(tài)頻率及振型

2.2 人行荷載確定

參考資料中給出計(jì)算過程，均可用傅立葉級(jí)數(shù)形式表示。

豎向人行荷載：

步頻為fp的單位面積有效人群荷載可表示為：

Fs(t)=NeαGΨsin(2πfpt)/S。

其中，0.444人/m2時(shí):

1.5人/m2時(shí):

2.3 最大加速度求解

依據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析所獲得的結(jié)論可以得出，當(dāng)試驗(yàn)假設(shè)的人行橋頻率與人行激勵(lì)頻率范圍內(nèi)的頻率相近的振型是完全能夠遵循單自由度振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化分析的。振型坐標(biāo)下單自由度運(yùn)動(dòng)方程表示為：

參考資料中給出歸一化后的廣義質(zhì)量M=1.0 kg，廣義剛度K=160.272 kN/m。借助一階豎向振型與人行荷載相乘，求得廣義力=19.6sin(12.58t)，阻尼比取0.1。

振型幅值為Y=DP/K=50×19.6/160.272=6.114。

橋梁跨中加速度穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為加速度與該點(diǎn)豎向振型向量乘積：

980.022×0.002 88=2.822 m/s2。

3 TMD減振設(shè)計(jì)

3.1 問題簡(jiǎn)化

豎向人行荷載的頻率范圍為1.3 Hz～2.3 Hz，有可能引起橋梁第1階模態(tài)的共振。由上一節(jié)分析可知，共振時(shí)加速度響應(yīng)大于0.5 m/s2，故需要針對(duì)橋梁第1階模態(tài)進(jìn)行TMD減振設(shè)計(jì)。

TMD工作原理見圖3，是通過改變質(zhì)量塊的質(zhì)量或彈簧的剛度以使阻尼器的自振頻率與主體結(jié)構(gòu)待控振型的頻率接近，從而使主體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的激勵(lì)振動(dòng)傳導(dǎo)到TMD時(shí)，相應(yīng)的TMD裝置則自行產(chǎn)生與激勵(lì)振動(dòng)反方向的慣性力，利用該慣性力去逐次衰減主體機(jī)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。同時(shí)想利用TMD中的阻尼器去消耗振動(dòng)能量，就必須在相應(yīng)的主體構(gòu)件上加裝TMD裝置。由上述不難看出，其本身的動(dòng)力特性在其布設(shè)完成后基本難以改變、更無法自由的進(jìn)行調(diào)節(jié)，因此TMD實(shí)際上是一種被動(dòng)的用來控制減振的裝置，也就是說只有在一定的頻率范圍內(nèi)TMD的減振作用才會(huì)對(duì)相應(yīng)的外部激勵(lì)有良好的效果。

3.2 參數(shù)設(shè)計(jì)

式中：

根據(jù)減振設(shè)計(jì)要求，要將在人行荷載作用下的豎向最大加速度響應(yīng)降低至限值0.5 m/s2以內(nèi)。

其中，參考文獻(xiàn)，動(dòng)力放大系數(shù):

其中，μ=md/m為TMD與主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比；β=ω/ωn為激勵(lì)頻率與主結(jié)構(gòu)頻率之比；γ=ωd/ωn為TMD頻率與主結(jié)構(gòu)頻率之比；ξd=cd/2mdωd為TMD的阻尼比。

當(dāng)Pt為諧波荷載時(shí)，TMD的阻尼比及頻率比的計(jì)算優(yōu)化值，可依據(jù)主結(jié)構(gòu)最小加速度優(yōu)化準(zhǔn)則推理得到，如下(Ikeda和Ioi)：

其中，γopt為TMD優(yōu)化頻率比；ξopt為TMD優(yōu)化阻尼比。

由此可見，橋梁的最大豎向加速度是與TMD與主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比u,激勵(lì)頻率與主結(jié)構(gòu)頻率比β,TMD頻率與主結(jié)構(gòu)頻率比r，TMD的阻尼比ξd相關(guān)的函數(shù)。而由于優(yōu)化頻率比阻尼比可通過參考公式表達(dá)為與u,β相關(guān)的參數(shù)，所以最大加速度可表達(dá)為與u,β相關(guān)的函數(shù)，即：

D=fD(β,μ,γ,ξd)=fD(β,μ,fγ(μ),fξ(μ))=D(β,μ)。

對(duì)上述公式進(jìn)行整理，即得amax=0.056 4Dβ2，其中：

結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制實(shí)際上就是對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的控制，即要求在給定的TMD質(zhì)量比下，對(duì)于任意的激勵(lì)頻率比，結(jié)構(gòu)最大加速度小于某一值。根據(jù)這個(gè)條件即可確定最小的TMD質(zhì)量比，依據(jù)于此在諧波荷載作用下，利用主結(jié)構(gòu)加速度最小優(yōu)化準(zhǔn)則，來計(jì)算并得到TMD的頻率比及阻尼比，即可確定TMD的全部參數(shù)。

分別繪制最大加速度和μ,β相關(guān)的曲線，如圖4，圖5所示。

當(dāng)質(zhì)量比為0.018時(shí)，結(jié)構(gòu)最大加速度降為0.5 m/s2，相應(yīng)荷載頻率比為0.95。計(jì)算結(jié)果滿足加速度的限制要求。

最大加速度值隨著質(zhì)量比增大而單調(diào)遞減，同時(shí)其變化率也是隨著質(zhì)量比增大而單調(diào)遞減。其中，最大加速度值大小反映了TMD的減振效果，變化率(斜率)大小反映了TMD的減振效率。從減振效果的角度看，質(zhì)量比越大越好；從減振效率的角度看，質(zhì)量比越小越好，從圖形上可以看出質(zhì)量比小于0.02的時(shí)候能夠高效的減振，此時(shí)調(diào)節(jié)TMD的質(zhì)量能夠得到顯著的控制效果。另外高質(zhì)量比將顯著增加結(jié)構(gòu)恒載內(nèi)力，所以高質(zhì)量比很可能是不經(jīng)濟(jì)的。

概括地說，隨著質(zhì)量比的增大，結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)衰減的速率逐漸減小，TMD質(zhì)量取值過大是低效和不經(jīng)濟(jì)的。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)綜合考慮經(jīng)濟(jì)性和控制效果。此處擬取TMD和結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比0.018，進(jìn)而算得TMD的優(yōu)化頻率比和阻尼比分別為0.986 4和0.108 9。

由于一階陣型起控制作用，跨中響應(yīng)最大，故阻尼器安裝位置為跨中。

4 被控結(jié)構(gòu)-STMD系統(tǒng)魯棒性分析

TMD的控制效果主要取決于參數(shù)：質(zhì)量比、頻率比和阻尼比，而在實(shí)際情況中，阻尼器的參數(shù)往往會(huì)因?yàn)闄C(jī)械制造的誤差而存在參數(shù)上的差異，這將導(dǎo)致阻尼器的實(shí)際控制效果與理論結(jié)果之間存在偏差。下面分析TMD的魯棒性，即當(dāng)TMD的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，TMD的控制效果隨之變化的幅度(穩(wěn)定性)。

從以下兩個(gè)方面考慮TMD的魯棒性：

1)對(duì)不同的質(zhì)量比，分析結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)隨頻率比的變化關(guān)系(此時(shí)，阻尼比根據(jù)優(yōu)化公式代入求得)，結(jié)果見圖6。

2)選定質(zhì)量比為0.018，對(duì)于不同的頻率比，分析結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)隨阻尼比的變化關(guān)系，結(jié)果見圖7。

顯然，如果質(zhì)量比取值很大的話，魯棒性肯定很強(qiáng)，能夠保證較大偏差的情況下仍能有效減振，但是正如上述所示：以大質(zhì)量比為代價(jià)來追求強(qiáng)魯棒性是不經(jīng)濟(jì)的。所以，魯棒性應(yīng)該在考慮有限偏差的范圍內(nèi)進(jìn)行討論。

因?yàn)榭赡墚a(chǎn)生偏差的情況很多——如質(zhì)量變化剛度不變、質(zhì)量不變剛度變化、質(zhì)量與剛度恒比變化、質(zhì)量變大剛度變小以及質(zhì)量變小剛度變大等。而對(duì)于結(jié)構(gòu)和荷載的偏差，就本次設(shè)計(jì)而言可以忽略。因?yàn)樯鲜龇治鍪墙⒂诮Y(jié)構(gòu)在荷載作用下發(fā)生共振的基礎(chǔ)上，所以一旦結(jié)構(gòu)與荷載發(fā)生偏差反而會(huì)使結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)值減小(已經(jīng)通過計(jì)算驗(yàn)證)，所以可以不予考慮。

由圖6可知，對(duì)于不同的質(zhì)量比，加速度響應(yīng)隨著頻率比的增大呈先增大后減小的規(guī)律，當(dāng)頻率比接近1時(shí)，減振效果最好；隨著質(zhì)量比的增大，當(dāng)某一頻率比出現(xiàn)波動(dòng)時(shí)，加速度響應(yīng)變化程度降低，即質(zhì)量比越大，魯棒性越好。

對(duì)于不同的頻率比，加速度-阻尼比曲線比較平緩，即當(dāng)阻尼比出現(xiàn)波動(dòng)時(shí)，加速度響應(yīng)變化幅度較小。所以，結(jié)構(gòu)加速度對(duì)阻尼比敏感度不高。

考慮設(shè)計(jì)、施工和建造誤差導(dǎo)致的魯棒性波動(dòng)，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)在臨界質(zhì)量比的基礎(chǔ)上略微提高一些。

5 結(jié)語(yǔ)

本文以某人行橋?yàn)檠芯繉?duì)象，計(jì)算了其人致振動(dòng)響應(yīng)最大加速度，進(jìn)而針對(duì)結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)進(jìn)行TMD減振設(shè)計(jì)，通過對(duì)是否安裝TMD系統(tǒng)前提下的、受到同種人行荷載作用的人行橋的振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行分析，得出了TMD減震系統(tǒng)的確對(duì)于在人行荷載作用下的人行橋結(jié)構(gòu)具有優(yōu)良的減振效果。

此外，人行橋結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)是采取第1階模態(tài)控制的方式，加之頻率相近或相同頻率發(fā)生可能極小，利用STMD就能夠得到優(yōu)異的減振效果。值得注意的是，因?yàn)槿诵袠蛑黧w結(jié)構(gòu)本身的阻尼比較小，進(jìn)行TMD設(shè)計(jì)后反饋的減振效果將十分明顯。研究中針對(duì)結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)進(jìn)行TMD減振設(shè)計(jì)，首先參考文獻(xiàn)推導(dǎo)最大加速度響應(yīng)方程，獲得目標(biāo)加速度時(shí)的最優(yōu)質(zhì)量比(0.018)和相應(yīng)的荷載頻率比(0.95)。進(jìn)而參考文獻(xiàn)優(yōu)化公式算得TMD的優(yōu)化頻率比和阻尼比分別為0.986 4和0.108 9。

在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行被控結(jié)構(gòu)-STMD系統(tǒng)魯棒性分析。結(jié)果顯示，質(zhì)量比越大，魯棒性越好，但一味增大質(zhì)量比將降低效率和經(jīng)濟(jì)性；結(jié)構(gòu)加速度對(duì)阻尼比不是很敏感?？紤]設(shè)計(jì)、施工和建造誤差導(dǎo)致的魯棒性波動(dòng)，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)在臨界質(zhì)量比的基礎(chǔ)上略微提高一些。