王鈺鑫，周志龍，劉 巍

(大連理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

隨著制造業(yè)水平的不斷發(fā)展，廣泛涌現(xiàn)出一些大尺寸復(fù)雜曲面零件[1-3]。這些零件具有測量尺寸大、型面復(fù)雜、難以移動等特點，因此難以采用三坐標測量機等方式進行接觸式測量。與坐標測量機相比，以結(jié)構(gòu)光視覺測量為代表的非接觸式測量得到了廣泛的應(yīng)用[4-6]。將結(jié)構(gòu)光掃描儀集成到機器人系統(tǒng)中即可構(gòu)成柔性測量系統(tǒng)。該系統(tǒng)兼顧了結(jié)構(gòu)光掃描儀精度高、效率高和機器人柔性好、可適用于不同工作場景的特點。為了實現(xiàn)測量結(jié)果從掃描儀坐標系到機器人基坐標系的統(tǒng)一高精轉(zhuǎn)換，必須進行考慮到機械臂運動學(xué)誤差的手眼關(guān)系標定[7]。

傳統(tǒng)的手眼標定方法可以轉(zhuǎn)化為對AX=XB這個方程的求解問題。Tsai[8]通過機器人變換不同位姿對標定物進行拍攝，將手眼矩陣拆為平移部分和旋轉(zhuǎn)部分，再依次進行求解。Horaud[9]對此方程給出了一種基于四元數(shù)的求解方法。Zhuang[10]將相機和機器人作為整體進行一次性標定，從而求解出手眼標定參數(shù)。Ma[11]通過機器人做特定運動從而建立約束并進行求解。這些求解方式的共同特點是需要機器人做一些特定運動，將機器人作為標定精度鏈中的一環(huán)。但是，由于在制造裝配時存在誤差，工業(yè)機器人的理論運動學(xué)模型和實際運動學(xué)模型間存在偏差，因此這些方法會引入機器人的運動學(xué)參數(shù)誤差，進而影響到手眼標定的準確性。

本文提出了一種基于機器人與結(jié)構(gòu)光掃描儀的柔性測量系統(tǒng)標定方法。首先通過機器人單軸旋轉(zhuǎn)以及基于羅德里格矩陣的算法進行手眼標定，獲得手眼關(guān)系矩陣；然后機器人變換不同位姿，測量特征點，基于距離約束對手眼關(guān)系參數(shù)和機器人運動學(xué)參數(shù)進行進一步標定；最后通過測量距離誤差來驗證標定結(jié)果的準確性。

1 測量原理

柔性測量系統(tǒng)由工業(yè)機器人和結(jié)構(gòu)光掃描儀組成(見圖1)，結(jié)構(gòu)光掃描儀通過夾具安裝在機器人末端。測量時通過機器人變換不同位姿，掃描儀對被測特征進行拍攝，并將測量結(jié)果從掃描儀坐標系轉(zhuǎn)換到機器人基坐標系。柔性測量系統(tǒng)的主要坐標系包括機器人基坐標系Ob-XbYbZb、機器人末端坐標系Of-XfYfZf、掃描儀坐標系Os-XsYsZs和掃描儀夾具坐標系Oc-XcYcZc。則可得到特征點在機器人基坐標系下的坐標表示為：

(1)

2 系統(tǒng)標定

2.1 機器人運動學(xué)模型

本文選用的機器人為六自由度工業(yè)機器人，采用目前最廣泛的DH模型對機器人進行運動學(xué)建模，即通過連桿長度ai、連桿轉(zhuǎn)角αi、連桿偏距di和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi這4個參數(shù)求出相鄰連桿坐標系間的轉(zhuǎn)換矩陣[12]：

(2)

式中，TZ(di)、TX(ai)為平移矩陣；RZ(θi)、RX(αi)為旋轉(zhuǎn)矩陣。慮及相鄰關(guān)節(jié)軸線平行或接近平行產(chǎn)生的奇異性問題，引入繞Y軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角β，建立機器人MDH模型[13]，則相鄰連桿坐標系間的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(3)

式中，cθi表示cosθi；sθi表示sinθi；依次類推。當相鄰軸不平行時，轉(zhuǎn)角β取零；當相鄰軸平行時，連桿偏距d取零。

2.2 手眼關(guān)系初步標定

(4)

(5)

(6)

(7)

要求解此方程，首先需要得到特征點的重心化坐標，即將特征點原點的坐標轉(zhuǎn)換為特征點的重心坐標，計算式如下：

(8)

將式8代入式7可得：

(9)

對式9兩端取2-范數(shù)，因為λ>0且R為正交矩陣，因此可得：

(10)

對λ進行最小二乘估計，即可解出λ：

(11)

接下來求解R。引入一個反對稱矩陣：

(12)

式中，S包含a、b、c三個羅德里格參數(shù)。由羅德里格矩陣的性質(zhì)可知：

(13)

式中，I為三階單位矩陣。將式13代入式9，整理后得：

(14)

由間接平差模型可得：

(15)

由最小二乘估計，可得：

X=(BTB)-1BTl

(16)

2.3 手眼關(guān)系誤差與機器人運動學(xué)參數(shù)誤差聯(lián)合標定

為了提高測量系統(tǒng)的測量精度，考慮到手眼關(guān)系參數(shù)誤差和機器人運動學(xué)參數(shù)誤差，提出了一種基于距離約束的標定方法，進一步修正手眼關(guān)系參數(shù)和機器人運動學(xué)參數(shù)。即以兩特征點之間精確的已知距離作為校準目標，通過對特征點距離進行測量以求解機器人運動學(xué)參數(shù)誤差和手眼關(guān)系參數(shù)誤差[16]。

特征點在機器人基坐標系下的理論測量結(jié)果可表示為：

(17)

由于手眼關(guān)系參數(shù)和機器人運動學(xué)參數(shù)存在誤差，特征點的實際測量結(jié)果與理論測量結(jié)果有所差距，慮及測量誤差的實際測量結(jié)果可以表示為：

(18)

(19)

由微分運動學(xué)可得手眼關(guān)系誤差：

(20)

(21)

同理，由微分運動學(xué)可得機器人位姿誤差：

(22)

(23)

因需要求出機器人運動學(xué)參數(shù)誤差，故需建立出機器人末端位姿誤差和運動學(xué)參數(shù)誤差之間的關(guān)系。由式3可知，受機器人運動學(xué)參數(shù)誤差影響下的相鄰連桿坐標系間的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(24)

由微分運動學(xué)可得轉(zhuǎn)換矩陣誤差：

(25)

(26)

(27)

則有：

(28)

對比式26和式28可得：

(29)

(30)

式中，Gi為誤差系數(shù)矩陣；ΔEi為連桿i的參數(shù)誤差導(dǎo)致的連桿i末端誤差，需要將各個連桿的誤差轉(zhuǎn)換到機器人末端。設(shè)連桿坐標系{i}到機器人末端坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(31)

則連桿坐標系{i}到機器人末端坐標系的雅可比矩陣為：

(32)

(33)

式中，ΔP= [Δθ1…Δθ6,Δd1…Δd6, Δa1…Δa6,Δα1…Δα6,Δβ2]，共24個運動學(xué)參數(shù)誤差。代入式23得：

(34)

式34與式19、式21聯(lián)立，可得：

(35)

(36)

距離誤差可表示為：

(37)

將式36代入式37，得：

(38)

由于ΔK包含30個未知參數(shù)，因此需要機器人對至少30組特征點間的距離進行測量，進而建立具有30個以上式38的方程組，對該方程組進行求解，即可得到所求參數(shù)。

由于Q矩陣不滿秩，因此無法采用最小二乘法對此方程組進行求解。在這里采用Levenberg-Marquardt算法進行求解[18]。Levenberg-Marquardt算法的具體流程如下。

步驟1：設(shè)置權(quán)系數(shù)μ(一般取0.001)、初始點ΔK0和容許誤差ΔLmax。

步驟2：由參數(shù)誤差ΔKi求出距離測量值Li和系數(shù)矩陣Qi，其中i為迭代次數(shù)。

步驟3：由距離實際值Lr和距離測量值Li做差，得到距離誤差ΔLi。

步驟5：若ΔLi+1<ΔLmax，則輸出ΔKi，結(jié)束流程；若ΔLi+1<ΔLi，則令ΔKi+1=ΔKi，μ=10μ，轉(zhuǎn)步驟4；否則，令μ=μ/10，轉(zhuǎn)步驟2。

3 試驗結(jié)果與分析

3.1 試驗系統(tǒng)

試驗現(xiàn)場的測量系統(tǒng)如圖4所示，機器人型號為KUKA KR10 R1420，最大工作范圍為1 420 mm，重復(fù)定位精度為0.04 mm；激光跟蹤儀型號為Leica AT960MR，測量精度為±15 μm+6 μm/m；掃描儀型號為Gocator 3506，測量精度為±12 μm。掃描儀通過夾具安裝在機器人末端，同時在掃描儀夾具上安裝靶球，以便激光跟蹤儀進行測量。

3.2 試驗過程

(39)

(40)

表1 機器人運動學(xué)參數(shù)誤差

3.3 試驗結(jié)果

修正參數(shù)后，重新計算特征點間的距離誤差，修正前后每組特征點距離誤差如圖6所示，距離誤差的最大值由0.870 0 mm減小到0.404 2 mm，平均值由0.661 4 mm減小到0.300 6 mm，驗證了該標定方法的有效性。

為了驗證機器人在全部工作空間內(nèi)的標定精度，將靶尺在機器人的工作空間內(nèi)均勻移動10個位置，對這10個位置的特征點距離進行測量，測量得到的標定前后每組特征點距離誤差如圖7所示，距離誤差的最大值由0.889 3 mm減小到0.424 9 mm，平均值由0.778 4 mm減小到0.385 2 mm，可見對柔性系統(tǒng)進行標定在機器人的全部工作空間內(nèi)均有效。

4 結(jié)語

本文針對柔性測量系統(tǒng)整體測量精度不足問題，提出了一種基于距離約束的手眼關(guān)系參數(shù)和機器人運動學(xué)參數(shù)聯(lián)合標定方法。首先，通過機器人單軸旋轉(zhuǎn)與基于羅德里格矩陣的算法實現(xiàn)手眼關(guān)系初始標定，然后，基于距離約束實現(xiàn)對手眼關(guān)系參數(shù)誤差和機器人運動學(xué)參數(shù)誤差的辨識及修正，并通過試驗，驗證了標定精度。試驗結(jié)果表明，在機器人的工作空間內(nèi)，距離誤差的最大值由0.889 3 mm降低到0.424 9 mm，平均值由0.778 4 mm降低到0.385 2 mm，驗證了該測量系統(tǒng)具有較高的測量精度。