白發(fā)剛,薛鋼,4,黃健堃,劉延俊,4

(1.山東大學(xué)海洋研究院,266237,山東青島;2.山東大學(xué)高效潔凈機械制造教育部重點實驗室,250061,濟南;3.山東大學(xué)機械工程國家級實驗教學(xué)示范中心,250061,濟南;4.山東大學(xué)機械工程學(xué)院,250061,濟南)

隨著海洋智能裝備技術(shù)的不斷進步,人類對海洋的探索活動不斷朝著精細化方向發(fā)展,所聚焦的空間尺度越來越小,對水下裝備性能的要求越來越高。相比于傳統(tǒng)的自主式水下航行器,仿生機器魚能夠在有限空間內(nèi)連續(xù)躲避障礙物,具有更高的機動性和自主運動能力,在水下機器人領(lǐng)域備受青睞。

近十余年來,國內(nèi)外學(xué)者研制了不同種類、不同驅(qū)動方式的仿生機器魚樣機[1-3],而由電機驅(qū)動的串聯(lián)多關(guān)節(jié)身體/尾鰭推進模式(body and/or caudal fin,BCF)機器魚因其結(jié)構(gòu)簡單、負載能力強、動作精度高,且具備高效、高速、高機動性等特點,一直是研究的熱點[4]。

受生物節(jié)律運動啟發(fā)的中樞模式發(fā)生器(central pattern generator,CPG)已被廣泛應(yīng)用于生成多自由度機器人周期性運動信號[5-6],在此基礎(chǔ)上,袁俊[7]、楊越麒[8]采用Newton-Euler法對BCF式多關(guān)節(jié)機器魚進行了動力學(xué)分析,其中,水動力學(xué)分析采用細長體理論[9]和莫里森(Morison)方程,利用一種改進的霍普夫(Hopf)振蕩器CPG模型[10]驅(qū)動各個關(guān)節(jié)擺動,獲得了游動速度和位置曲線;汪明[11]采用Lagrange法進行了動力學(xué)建模,在水動力學(xué)分析中考慮了前緣吸力對魚體的影響,利用Ijspeert振蕩器CPG模型[12]產(chǎn)生關(guān)節(jié)驅(qū)動信號,建立了基于CPG信號控制的機器魚動力學(xué)模型;Kim等[13-14]提出了基于Kane方法的機器魚動力學(xué)建模方法,并通過仿真分析得到了不同魚類游動模型的位置輸出信息。上述研究工作為分析仿生機器魚游動時的動力學(xué)問題提供了一定的理論基礎(chǔ)。然而,考慮BCF式串聯(lián)多關(guān)節(jié)機器魚游動過程受力的時變性、非線性,構(gòu)建精確的水動力學(xué)和機構(gòu)動力學(xué)耦合模型,一直是仿生機器魚理論研究的難題。

本文利用CPG模型產(chǎn)生仿生機器魚關(guān)節(jié)角驅(qū)動信號,基于細長體理論,考慮附加質(zhì)量力效應(yīng),求解魚體的流體阻力,利用Newton-Euler法求解機構(gòu)動力學(xué)模型,建立了機器魚的水動力學(xué)和機構(gòu)動力學(xué)耦合模型。通過機器魚物理樣機的水動力學(xué)測量實驗,驗證了動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性;采用數(shù)值計算方法仿真分析了機器魚的運動特征參數(shù)對其游動性能的影響。

1 仿生機器魚坐標(biāo)系與CPG模型

1.1 坐標(biāo)系與變量定義

根據(jù)機器人多剛體系統(tǒng)動力學(xué)建模理論[15],建立仿生機器魚運動學(xué)與動力學(xué)分析用到的坐標(biāo)系系統(tǒng),如圖1所示。定義世界坐標(biāo)系Cw(owxwywzw),該坐標(biāo)系與大地固連,原點ow設(shè)定在機器魚運動的起始位置,平面owxwyw與水平面平行,owzw軸平行于重力方向。定義機體坐標(biāo)系Cb(obxbybzb),原點ob位于魚體頭部浮心,obxb軸指向頭部前端方向,obzb軸平行于頭部浮心與質(zhì)心的連線。定義關(guān)節(jié)坐標(biāo)系,其原點位于魚體尾部關(guān)節(jié)點Ji(i=0,1,2)處,oixi軸沿兩相鄰關(guān)節(jié)點連線方向,oizi軸指向魚體腹部向下。為了方便描述機器魚受到的時變水動力,參考文獻[8]的水動力學(xué)分析方法引入速度坐標(biāo)系Cv(ovxvyvzv),ovxv軸沿頭部速度方向,由機體坐標(biāo)系Cb繞obyb軸旋轉(zhuǎn)攻角α、再繞obzb軸旋轉(zhuǎn)側(cè)滑角β可獲得ovxv軸。所有坐標(biāo)系均符合右手定則,沿x、y、z軸的單位向量分別用e1、e2、e3表示。

定義仿生機器魚頭部的質(zhì)量為mb,尾部兩相鄰關(guān)節(jié)點連線的連桿Li的長度為li,質(zhì)量為mi,θi表示關(guān)節(jié)間夾角,ri(i≠0)表示坐標(biāo)系Ci-1指向坐標(biāo)系Ci的矢量(在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系Ci-1下表達)。定義rbm、rbt、rbpl和rbpr分別為浮心到質(zhì)心、浮心到尾部起始點、浮心到左側(cè)胸鰭力作用點、浮心到右側(cè)胸鰭力作用點的矢量(在機體坐標(biāo)系Cb下表達)。利用世界坐標(biāo)系Cw到機器魚浮心的矢量wPb=(x,y,z)T表示機器魚的位置,利用歐拉角wAb=(φ,θ,ψ)T表示機器魚的姿態(tài),利用Vb=(u,v,w)T和Ωb=(p,q,r)T分別表示機器魚在機體坐標(biāo)系Cb中的平移線速度和旋轉(zhuǎn)角速度。

根據(jù)以上定義法則,由關(guān)節(jié)坐標(biāo)系C0到機體坐標(biāo)系Cb以及由關(guān)節(jié)坐標(biāo)系Ci-1到Ci的轉(zhuǎn)換矩陣分別為

(1)

由速度坐標(biāo)系Cv到機體坐標(biāo)系Cb的轉(zhuǎn)換矩陣為

(2)

由機體坐標(biāo)系Cb到世界坐標(biāo)系Cw的線速度轉(zhuǎn)換矩陣wRb和角速度轉(zhuǎn)換矩陣wTb分別為

(3)

(4)

式中:c*表示cos(*);s*表示sin(*);t*表示tan(*)。

1.2 仿生CPG模型

目前,常用的產(chǎn)生機器魚關(guān)節(jié)擺動信號的方法主要有魚體波擬合法[16-17]和基于CPG模型的方法。生物研究表明,脊椎動物可通過生物CPG在沒有中樞神經(jīng)參與的情況下產(chǎn)生節(jié)律信號。受此啟發(fā),CPG模型可以通過神經(jīng)元振蕩器之間的相互作用產(chǎn)生節(jié)律信號,以控制機器魚的運動[18]。本文選用引入相位因子和偏轉(zhuǎn)因子的基于Hopf振蕩器的CPG模型[19-20],該模型由多個神經(jīng)元振蕩器組成,數(shù)學(xué)描述如下

(5)

2 耦合動力學(xué)模型

2.1 運動狀態(tài)參量分析

仿生機器魚浮心在世界坐標(biāo)系下的速度更新公式為

(6)

(7)

(8)

根據(jù)文獻[7-8],尾部關(guān)節(jié)Ji的速度和加速度在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系Ci下可表示為

(9)

其中

2.2 魚體外力分析

2.2.1 重力和浮力

仿生機器魚在游動過程中,尾部各個關(guān)節(jié)重心與浮心重合,所受的重力和浮力平衡,可以忽略其對機器魚運動的影響,而機器魚頭部的重心和浮心不重合,所受的重力和浮力在坐標(biāo)系Cb下表示為

(10)

式中:Fgrav、Fbuoy和Tgrav、Tbuoy分別表示機器魚頭部受的重力、浮力和重力矩、浮力矩。

2.2.2 頭部流體阻力

準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)升阻力模型[21]可描述仿生機器魚頭部流體阻力,定義頭部的攻角α和側(cè)滑角β分別為

(11)

(12)

頭部所受的流體阻力由速度坐標(biāo)系Cv轉(zhuǎn)化到機體坐標(biāo)系Cb下可以表示為

(13)

其中:Fhydro和Thydro表示機器魚頭部受到的流體阻力;ρ為流體密度;Sb為頭部的有效面積;Cb,d、Cb,sf、Cb,l分別為與攻角α和β相關(guān)的阻力系數(shù)、側(cè)滑力系數(shù)、升力系數(shù);Cb,τx、Cb,τy、Cb,τz分別為各個坐標(biāo)軸方向上的力矩系數(shù);Kb表示轉(zhuǎn)動阻尼項的系數(shù)矩陣。

2.2.3 胸鰭力

仿生機器魚胸鰭受到的水動力是其實現(xiàn)三維運動的主要外力,胸鰭質(zhì)心處的速度為

(14)

式中:rbp表示頭部浮心到胸鰭質(zhì)心的矢量。定義胸鰭繞機體坐標(biāo)系y軸順時針旋轉(zhuǎn)的角度θp為正,則胸鰭攻角為

αp=γ+θp

(15)

式中:γ=arctan(Vpz/Vpx)。忽略胸鰭側(cè)滑力的影響,則胸鰭的升阻力和力矩可表示為

(16)

式中:fp,drag、fp,lift、τp分別表示胸鰭受到的阻力、升力和阻力矩;Sp表示胸鰭的面積;Cp,d、Cp,l、Cp,τ分別表示與胸鰭攻角相關(guān)的阻力系數(shù)、升力系數(shù)和力矩系數(shù)。

將胸鰭升力與阻力轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系Cb下可表示為

(17)

進一步,考慮左右胸鰭并將胸鰭力平移到浮心,可以表示為

(18)

式中:Fpect和Tpect即為左右胸鰭對機器魚頭部的合力和力矩在坐標(biāo)系Cb下的表達。

2.2.4 尾部流體阻力

對于多關(guān)節(jié)尾部,連桿Li受到的黏滯阻力在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系Ci下表示為

(19)

式中:Fvisi和Tvisi表示機器魚尾部連桿Li受的黏滯阻力和阻力矩;cfx、cfy、cfz和cτx、cτy、cτz分別為黏滯阻力和力矩系數(shù)。

對于尾部L0和L1連桿,其受到的黏滯阻力即為流體阻力Fhi和力矩Thi,即Fhi=Fvisi,Thi=Tvisi;由于尾部L2連桿上固連有尾鰭,因此連桿L2受的流體阻力在坐標(biāo)系C2下表示為

(20)

式中:lcf表示從關(guān)節(jié)點J2到連桿L2的尾鰭升力中心的長度;Fcf和Tcf表示尾鰭水動力在坐標(biāo)系C2下的表達。

尾鰭受力分析如圖2所示,計算尾鰭受力點的速度

(21)

則尾鰭升阻力和力矩可以表示為

(22)

式中:D、L、τcf分別為尾鰭受到的阻力、升力和力矩;Scf表示尾鰭的有效面積;Ccf,d、Ccf,l、Ccf,τ分別為與尾鰭攻角αcf有關(guān)的阻力系數(shù)、升力系數(shù)、力矩系數(shù)。將尾鰭受力轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系C2下得

(23)

2.3 Newton-Euler方程

根據(jù)Newton-Euler法,連桿Li(質(zhì)心)受到的力和力矩可表示為

(24)

其中

式中:Φi表示考慮機器魚尾部關(guān)節(jié)附加質(zhì)量和附加轉(zhuǎn)動慣量的慣性矩陣;βi表示尾部連桿的哥式力和向心力;lci表示關(guān)節(jié)點Ji到連桿Li質(zhì)心的長度;Fi和Ti為關(guān)節(jié)點Ji對連桿Li的作用力和力矩,所有關(guān)節(jié)間作用力均在自身關(guān)節(jié)坐標(biāo)系Ci下表達。

聯(lián)合式(9)和式(24),將尾部連桿間的相互作用力由最后一桿L2開始反向迭代,加速度和速度向前迭代,可求得連桿L0對頭部的作用力在C0下表示為

(25)

其中

將尾部第一關(guān)節(jié)的力平移到浮心,則尾部對頭部的作用力為

(26)

其中

進一步,以機器魚頭部為研究對象,列寫Newton-Euler方程

(27)

進一步,聯(lián)立式(26)和式(27)可得機器魚的動力學(xué)方程

(28)

3 仿生機器魚水動力實驗與仿真分析

3.1 水動力實驗

為了驗證動力學(xué)模型中水動力分析的準(zhǔn)確性,采用如圖3(a)所示的深圳樂智機器人有限公司機器魚產(chǎn)品和圖3(b)所示的水動力測試平臺獲得機器魚尾部擺動產(chǎn)生的水動力。

該機器魚物理樣機能夠設(shè)置不同速度等級,在不同速度等級下,尾部擺動頻率相同(2 Hz),最大擺動幅度不同。實驗中利用六維力傳感器對低、中、高3個速度等級(固定頭部測得的尾部最大擺動幅度分別為25°、32°、40°)條件下尾部產(chǎn)生的水動力進行測量,每個速度等級下測量6組數(shù)據(jù),并進行降噪處理和統(tǒng)計學(xué)分析。采用攝像機拍攝不同速度等級下尾部的擺動圖像,利用三連桿近似擬合柔性尾部的中線,獲得三關(guān)節(jié)尾部的擺動規(guī)律,圖4給出了低速擺動時一個周期內(nèi)的尾部運動時序圖。通過調(diào)整CPG模型參數(shù),可以得到與之匹配的機器魚物理樣機的關(guān)節(jié)角θi(t)變化規(guī)律,圖5所示為低速擺動時CPG模型輸出的機器魚各個關(guān)節(jié)控制信號。

3.2 實驗結(jié)果與仿真結(jié)果對比

表1給出了仿生機器魚的水動力學(xué)和機構(gòu)動力學(xué)耦合模型仿真過程中各個體段的物理參數(shù),其中,質(zhì)量矩陣M和轉(zhuǎn)動慣量Λ均為考慮了附加質(zhì)量效應(yīng)的值(頭部和尾部關(guān)節(jié)分別等效為規(guī)則的橢球和圓柱形來考慮)。同時,為了考慮機器魚受到的時變非線性水動力,本文分析魚體各部分的水動力用到的水動力系數(shù),通過CFD仿真[22-23]分析獲得。

圖6給出了機器魚尾部水動力時歷曲線,從圖6可以看出,在不同速度等級下,推進力Fx恒為正值,側(cè)向力Fy在0附近周期性波動。仿真獲得的側(cè)向力和繞obzb軸的水動力矩結(jié)果與實驗測量值具有較高的吻合性,但是推進力的實驗測量值大于仿真結(jié)果。計算平均推進力發(fā)現(xiàn),低速擺動下實驗測量值為0.529 1 N,仿真結(jié)果為0.433 76 N,偏差近18%,其他速度等級條件下也存在相似結(jié)果。造成該現(xiàn)象的原因可能為本文所建立的耦合動力學(xué)模型中未考慮尾渦作用的影響,而機器魚樣機在實際游動過程中產(chǎn)生具有射流效應(yīng)的推力型反卡門渦街,對尾鰭的推力有增強作用[24-25]。隨著機器魚的游動,尾渦逆游動方向逐漸消散,但是本實驗中機器魚在原位擺動,尾渦不斷在尾鰭末端積累,進一步放大了尾渦作用,使推進力的實驗測量值大于仿真計算值。仿真獲得的推進力時歷曲線與實驗獲得的推進力時歷曲線具有相似的變化規(guī)律,通過仿真和實驗分析,驗證了動力學(xué)模型的有效性和水動力學(xué)分析的準(zhǔn)確性。

表1 仿生機器魚物理參數(shù)Table 1 Physical parameters of robot fish

3.3 耦合動力學(xué)仿真

為了進一步分析本文所建立的仿生機器魚的空間動力學(xué)模型并測試其有效性,利用Matlab進行動力學(xué)仿真。給定一組CPG模型參數(shù):r1=1,r2=1.3,r3=5.6;φ1=φ3=30°,φ2=90°,h1=1,h2=2;ci=6。當(dāng)胸鰭擺角為0°時,通過調(diào)整機器魚尾部擺動角頻率ωi和偏置bi,可以改變CPG模型輸出的關(guān)節(jié)擺角信號θi(t),進而實現(xiàn)機器魚在平面內(nèi)的任意游動;若給定胸鰭轉(zhuǎn)角,機器魚可以實現(xiàn)三維空間內(nèi)運動。

圖7給出了仿生機器魚的平面直游時的運動學(xué)參數(shù)時歷曲線。圖7(a)表明機器魚直游時僅有沿owxw軸方向的位移x;圖7(c)表明直游時沿owxw軸方向的速度u由0增大至穩(wěn)定值,其他方向的速度均值為0。圖7(b)和圖7(d)顯示機器魚直游時僅有繞owzw軸的偏航角ψ和角速度r,其他方向的角度和角速度也維持在0附近。圖8(a)為仿生機器魚的平面轉(zhuǎn)向游動的位移時歷曲線,圖8(b)為仿生機器魚的三維空間圓周游動的位移時歷曲線。以上仿真結(jié)果完全符合預(yù)期分析和機器魚的實際運動特征,需要指出的是,由于頭部的轉(zhuǎn)艏運動,仿生機器魚游動過程的速度、位移等時歷曲線并非光滑曲線,而是呈現(xiàn)出一定的波動性。

以上3.2節(jié)中實驗測量的水動力與相同參數(shù)下的仿真數(shù)據(jù)在結(jié)果上體現(xiàn)出了較好的一致性,同時,基于Newton-Euler法推導(dǎo)建立的機器魚空間耦合動力學(xué)模型在本節(jié)中能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)期仿真運動效果,在一定程度上體現(xiàn)了建立模型的合理性和有效性。

進一步,定義了穩(wěn)定向前游速和頭部穩(wěn)定性兩個評價仿生機器魚游動性能的指標(biāo)。用速度時均值衡量穩(wěn)定向前游速,定義如下

(29)

機器魚直游時,頭部的偏航擺動呈現(xiàn)周期性,用偏航角擺幅δ來衡量游動穩(wěn)定性(δ與穩(wěn)定性成反比),定義如下

(30)

根據(jù)所建立的耦合動力學(xué)模型,分析機器魚運動的3個特征參數(shù)(CPG模型輸入)的影響,即關(guān)節(jié)間相位差φi、擺動角頻率ω和最大擺動幅度A對機器魚的平均游動速度u和頭部穩(wěn)定性δ的影響,仿真分析結(jié)果如圖9所示。

從圖9(a)和9(b)可以看出,以φ=30°和φ=60°為例,在合理的擺動頻率和幅度范圍內(nèi),關(guān)節(jié)間相位差一致時,擺動角頻率ω和最大擺動幅度A與u和β近似成線性關(guān)系,隨著ω和A增大,β和u均增大。因此,增大尾部擺動頻率和擺動幅度,能夠獲得更大的平均游動速度,但是也會降低仿生機器魚的游動穩(wěn)定性。

此外,從圖9(c)和9(d)可以看出,在角頻率ω一定的情況下,相比于穩(wěn)定游速u,關(guān)節(jié)間相位差φ對于穩(wěn)定性β的影響更加明顯,較大的φ會帶來更好的穩(wěn)定性;然而,隨著φ增大,平均游速u有逐漸減小的趨勢,但是變化幅度較小。因此,設(shè)計仿生機器魚的CPG模型參數(shù)時,在滿足平均游速對尾部擺動頻率和最大擺動幅度要求的前提下,應(yīng)選擇較大的關(guān)節(jié)間相位差,以獲得更好的游動穩(wěn)定性。

4 結(jié) 論

本文基于細長體理論計算了三關(guān)節(jié)仿生機器魚游動的水動力,采用Newton-Euler法建立了機器魚空間游動的機構(gòu)動力學(xué)模型,并分析了各運動特征參數(shù)對機器魚游動性能的影響,主要結(jié)論如下:

(1)利用機器魚物理樣機和水動力測量設(shè)備開展實驗,并通過Matlab進行機器魚運動仿真,驗證了所提出的機器魚游動過程的耦合動力學(xué)模型的合理性和有效性;

(2)在相同關(guān)節(jié)間相位差條件下,擺動角頻率和最大擺動幅度與平均游速近似成正比,與頭部穩(wěn)定性成反比,較大的擺動頻率和擺動幅度會使得平均游動速度增加,但也會降低機器魚的游動穩(wěn)定性;

(3)在相同角頻率條件下,相比于穩(wěn)定游速,頭部穩(wěn)定性對關(guān)節(jié)間相位差的變化更加敏感,較大的關(guān)節(jié)間相位差能夠獲得更好的穩(wěn)定性,在設(shè)置機器魚的CPG模型參數(shù)時,應(yīng)盡量選擇較大的關(guān)節(jié)間相位差。

通過本文研究,建立了精確的仿生機器魚二維、三維多模態(tài)游動耦合動力學(xué)模型,為進一步研究仿生機器魚復(fù)雜軌跡跟蹤問題提供了前提和理論基礎(chǔ)。目前作者正著力于高機動性機器魚物理樣機的開發(fā)研制,計劃在未來進行機器魚空間機動性實驗研究,進一步對本文建立的模型進行驗證,同時,探究近水面尾部擊水面積、攻角等參數(shù)對機器魚游動性能的影響。