毛嘉煒，賀帥，劉昌儒，吳清文,4，徐振邦,4，謝宗武，母德強

(1.中國科學院，長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100049；3.中國科學院，空間光學系統(tǒng)在軌制造與集成重點實驗室，吉林長春 130033; 4.中國科學院大學材料與光電研究中心，北京 100049;5.哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院，黑龍江哈爾濱 150001;6.長春工業(yè)大學機電工程學院，吉林長春 130012)

0 前言

隨著科學技術的不斷發(fā)展，各國在太空層面進行了進一步探索。但是太空環(huán)境有著微重力、高真空、高寒、大溫差、強輻射的特性，阻礙了對太空的進一步探索，尤其是載人航天工程。在惡劣的空間環(huán)境下，人類許多空間活動很難完成，因此空間機械臂的研究成為太空探索的重要基礎。自1981年哥倫比亞號航天飛機在太空中首次采用機械臂以來，國際空間站(ISS)的加拿大臂(CANADARM2)、歐洲臂(ERA)、日本臂(JEMRMS)等在外太空操作中起到了非常重要的作用。隨科技的進步，對于空間機械臂技術的需求越來越迫切，而且對其工作能力和性能、可靠性、安全性、壽命等方面也提出了越來越高的要求。

空間機械臂是一個機、電、熱、控一體化集成系統(tǒng)，建立準確的運動學、動力學模型和相關的仿真分析、實驗驗證是實現機械臂功能的保障。機械臂在軌狀態(tài)要保證相應的控制性能與運動精度，也要求確保機械臂的結構剛度。其剛度特性是影響整體運動學的主要因素，為此對其在軌剛度進行準確模擬分析。目前，國內對于空間機械臂剛度的分析方法和實驗方法研究較少，也少有學者將柔度矩陣建模與機械臂構型相結合，國外的相關資料也有限。MUSSA-IVADI和HOGAN給出了冗余度串聯(lián)機械臂的柔度矩陣和剛度矩陣。DIMENTBERG第一次運用旋量理論求出剛體在平衡位置的剛度矩陣。趙朋飛針對已有剛度矩陣算法進行重構與優(yōu)化，但是該研究只是對串聯(lián)機械臂末端工具的剛度進行了分析。陳少帥對諧波傳動引起的剛度變化進行分析。上述研究只考慮了諧波減速器與力矩傳感器等具有明顯柔性特征的部件的柔度，而忽略了其他部件的柔度。而空間機械臂具有高輕量化的特點，其他部件的柔度會引起更大的誤差，不能忽略，可以采用有限元分析的方法計算機械臂的整體柔度。

采用有限元計算機械臂在一種構型下的柔度時，需要在有限元軟件中旋轉7個關節(jié)并重新進行連接和計算，該過程約耗時4 h。而機械臂實際工作時的構型有無窮多種，采用有限元分析對各個構型進行建模與分析工作量巨大且不切實際。因此，應采用新的方法分析機械臂在不同姿態(tài)下的柔度。

針對上述情況，本文作者提出一種將經典柔度理論與經典機器人運動學理論相結合的計算方法，計算機械臂在各個位姿下的整體柔度矩陣，并據此預估機械臂抓取載荷的基頻。該方法充分考慮機械臂各部件的柔度影響，其理論分析與有限元分析計算的柔度偏差為3.4%、基頻偏差為1%，說明了其理論計算方法的準確性。利用該方法可將計算機械臂在一種構型下的柔度矩陣的時間由4 h減小到10 ms，大大提高計算效率。

1 機械臂運動學建模

文中的研究對象是一個七自由度的空間機械臂,由2個臂桿、7個關節(jié)、2個末端執(zhí)行器、2臺手眼相機、2臺肘部相機組成。機械臂零位構型如圖1所示，其零位時的坐標系如圖2所示?；鴺讼祘0}的原點位于基座末端作用器端面中心點，軸方向垂直于相機。末端坐標系的原點位于末端作用器端面中心點，軸方向垂直于相機。相應的D-H參數見表1,則末端相對基座的齊次變換矩陣為

表1 機械臂D-H參數

圖1 空間機械臂零位構型

圖2 空間機械臂零位構型坐標系

(1)

(2)

機器人的正運動學即給定關節(jié)轉動角度求解末端位姿(角度采用歐拉角321表示)。將各關節(jié)角度代入式(1)可以求得齊次變換矩陣,則相應的末端位姿為

===

(3)

(4)

當=±90°時

(5)

當=90°時

=0,=arctan2(,)

(6)

當=-90時

=0,=-arctan2(,)

(7)

2 柔度理論建模

2.1 單元柔度矩陣變換

圖3 單元柔度矩陣變換

(8)

其中：

(9)

(10)

(11)

(12)

點受到的力在坐標系{0}下與在坐標系{1}下關系式為

(14)

則：

(15)

對應圖中單元，點受到的力向點等效時，在坐標系{1}下的描述為

(16)

則：

(17)

(18)

從而推導出單元在坐標系{0}下的柔度矩陣與在坐標系{1}下的柔度矩陣的關系為

(19)

2.2 單元柔度矩陣

圖4 單元柔度矩陣模型

(20)

則有:

(21)

(22)

(23)

2.3 串聯(lián)單元柔度矩陣

圖5 單元串聯(lián)模型

(24)

其中：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

所以串聯(lián)后點相對點的柔度矩陣為

(31)

2.4 鏡像單元柔度矩陣

圖6 鏡像單元模型

(32)

(33)

2.5 整機柔度矩陣

將個連桿的柔度矩陣串聯(lián),得到整機柔度矩陣。將相對連桿坐標系的柔度矩陣轉換到世界坐標系下，得到轉換后的柔度矩陣：

(34)

利用串聯(lián)柔度矩陣公式(31)，依次求得前個連桿串聯(lián)后的柔度矩陣：

(35)

3 機械臂剛度理論模型與實驗對比

3.1 剛度矩陣理論驗證

在軌工作狀態(tài)時,機械臂需要抓取3 t貨物。為滿足機械臂的控制需求，需要分析其不同構型下抓取3 t物體的基頻。因此，為驗證柔度矩陣理論模型的準確性，對機械臂2種構型進行有限元分析，對應有限元模型如圖7所示，其構型參數見表2。采用柔度矩陣算法與有限元分析分別計算2種構型下的柔度矩陣，結果如表3所示?？芍鲗侵底畲笃顬?.4%，該偏差主要來源于有限元D-H參數與理論D-H的參數偏差。同時，非對角線參數存在較大的偏差，是由于主對角線參數比其他項參數大幾個數量級，矩陣運算時主對角線參數與非主對角線參數耦合導致的。

圖7 機械臂測試狀態(tài)下模型

表2 機械臂2種構型下的關節(jié)角度 單位:(°)

表3 機械臂連桿柔度矩陣

采用柔度矩陣理論模型進行在軌基頻分析時，機械臂的質量難以精確，為此需要對機械臂質量進行相關等效分析。由于機械臂負載較大，機械臂自身質量特性對在軌基頻的影響相對較小，將機械臂質量的1/2等效到末端負載上。下面是對該等效方法的偏差估計。

則：

(36)

(37)

(38)

因此,將機械臂質量的1/2等效到末端負載上的偏差可控制在3%左右，由于此計算方法考慮的是單自由度頻率，而實際機械臂采用多自由度柔度矩陣，計算結果會存在一定差異。選取表中2個典型構型進行理論計算與有限元分析，結果如表4所示。可知理論計算結果與有限元分析結果最大比值為1.01，產生該偏差的主要原因:(1)理論分析時機械臂質量等效到負載上時存在一定誤差；(2)有限元中的D-H參數與機械臂實際的D-H參數存在一定偏差。

表4 機械臂基頻分析結果

3.2 實驗驗證

為得到柔度矩陣理論模型與實驗測試結果的偏差以驗證此計算方法的準確性，對機械臂2種構型進行測試，其構型參數同表2。

基頻測試時將機械臂一端固定在模擬墻上，機械臂各主要單元由氣浮工裝實現重力卸載，在負載上施加一定的力使機械臂偏離平衡位置，同時用激光跟蹤儀記錄機械臂末端位移。

實驗時增加了氣浮工裝的質量、氣浮桁架的剛度等因素，因為模擬墻的質量與剛度偏低，導致得到的基頻結果也偏低。通過測試實驗得到的結果如表5所示。機械臂抓取物體時的柔度理論模型計算結果比實驗測試結果偏高，柔度理論模型計算結果與測試結果之比為1.071 8，故柔度矩陣算法計算的基頻與實驗結果的偏差為7.2%，說明利用該算法能夠較準確地計算機械臂的在軌基頻。

表5 模擬墻測試狀態(tài)下基頻分析結果

4 結論

本文作者提出一種基于柔度理論建模的計算方法，相較于常見柔度矩陣只考慮關節(jié)處柔度的分析方法，文中柔度矩陣理論方法考慮了機械臂各連桿中主要零件的柔性，并根據連桿柔度矩陣計算機械臂各個位姿下的整體柔度矩陣，然后將機械臂整體柔度矩陣用于機械臂的在軌基頻預估。柔度矩陣偏差為3.4%，理論分析基頻與有限元計算基頻偏差為1%，驗證了所提出的柔度理論建模方法對機械臂在軌基頻計算的準確性。而理論分析基頻與實驗基頻偏差為7.2%，偏差主要來源于有限元仿真，但滿足工程上10%的偏差要求。相對于在采用有限元計算在軌基頻時需要建立各種構型，柔度理論算法將柔度矩陣與機械臂構型相結合，能快速計算機械臂在不同構型下的基頻，具有工程應用價值。