周榮亞，劉 剛，徐艷華

(1.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院鐵道裝備制造學(xué)院，陜西 渭南 714000)(2.西安理工大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

目前已有諸多學(xué)者進(jìn)行了大量關(guān)于機(jī)器人軌跡跟蹤控制的研究，并取得了一定的成果[1-2]。其中部分研究以機(jī)器人動(dòng)力學(xué)表示為線性參數(shù)形式為基礎(chǔ)，開(kāi)發(fā)了自適應(yīng)控制器以實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤。然而對(duì)于柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人軌跡控制而言，仍存在動(dòng)力學(xué)模型精確度較低難以提高控制精度的缺陷，當(dāng)前業(yè)界主要解決方式是采用簡(jiǎn)化的降階模型來(lái)進(jìn)行前饋控制，并通過(guò)離線辨識(shí)得到模型的精確參數(shù)，這種控制方式也叫做迭代學(xué)習(xí)控制(iterative learning control，ILC)[3-4]。目前，ILC已被應(yīng)用于跟蹤特定的軌跡，算法自適應(yīng)性強(qiáng)且魯棒性高，但也有其自身的缺點(diǎn)，即算法學(xué)習(xí)后的結(jié)果無(wú)法反饋至新的軌跡中。隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及人工智能技術(shù)的不斷發(fā)展，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(neural network，NN)的軌跡跟蹤技術(shù)在海量訓(xùn)練數(shù)據(jù)與新設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)下，對(duì)新軌跡具有較高的泛化能力，因此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合迭代學(xué)習(xí)控制的算法模型逐漸應(yīng)用至機(jī)器人軌跡控制中。

現(xiàn)有研究提出了多種控制未知?jiǎng)恿W(xué)機(jī)器人軌跡的方案，并給出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5]的應(yīng)用范例。文獻(xiàn)[6]對(duì)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(recursive neural network，RNN)進(jìn)行改進(jìn)，使用兩個(gè)前饋控制器來(lái)補(bǔ)償Baxter機(jī)器人的柔性臂軌跡控制精度。其中一個(gè)控制器基于單向RNN算法設(shè)計(jì)，另一個(gè)控制器則基于雙向RNN設(shè)計(jì)，兩者構(gòu)成的非因果動(dòng)態(tài)逆控制系統(tǒng)具有良好的跟蹤效果，但這種方法仍有一定的局限性。由RNN特性可知，該方法模型需要大量訓(xùn)練數(shù)據(jù)才能提高控制精度，且該方法缺乏嚴(yán)格的軌跡誤差收斂性與穩(wěn)定性分析。除了上述缺點(diǎn)外，NNs(neural networks)所進(jìn)行的是離線訓(xùn)練，不能實(shí)現(xiàn)在線更新。同樣文獻(xiàn)[7]也訓(xùn)練了多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，文獻(xiàn)中所提方法和文獻(xiàn)[6]中構(gòu)建的非因果動(dòng)態(tài)逆控制方法類(lèi)似，均通過(guò)大規(guī)模的ILC軌跡實(shí)驗(yàn)來(lái)獲取訓(xùn)練數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在補(bǔ)償未觀測(cè)軌道方面表現(xiàn)良好，但也存在與文獻(xiàn)[6]類(lèi)似的缺陷。

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型設(shè)計(jì)中，模型參數(shù)的選擇對(duì)算法整體精度有著舉足輕重的作用，有學(xué)者對(duì)徑向基函數(shù)(radial basis function，RBF)[8-9]進(jìn)行改進(jìn)，原因在于該函數(shù)對(duì)模型的線性精度有較大影響。同樣地，文獻(xiàn)[10]也設(shè)計(jì)了一種基于改進(jìn)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)控制模型，通過(guò)補(bǔ)償Baxter機(jī)器人的未知?jiǎng)恿W(xué)及載荷誤差來(lái)提升系統(tǒng)控制精度。該模型通過(guò)對(duì)關(guān)節(jié)扭矩力的精確控制來(lái)改善軌跡跟蹤誤差。對(duì)于大部分工業(yè)機(jī)器人，由于用戶(hù)權(quán)限較低，僅能修改部分關(guān)節(jié)位置或速度設(shè)定點(diǎn)，導(dǎo)致單個(gè)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無(wú)法對(duì)機(jī)器人軌跡控制的所有要素進(jìn)行訓(xùn)練，如慣性矩陣的正定性和無(wú)源性等。文獻(xiàn)[11]提出了一種基于兩層前向感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的關(guān)節(jié)力矩級(jí)自適應(yīng)控制器，來(lái)保證機(jī)器人的跟蹤性能。但隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的增加，自適應(yīng)律的推導(dǎo)將更加復(fù)雜，工程應(yīng)用價(jià)值較低。除了使用RBF函數(shù)優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)外，其他函數(shù)[12-16]也可對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化，從而對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能有一定的提升。

1 問(wèn)題描述

柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人機(jī)械手的軌跡跟蹤控制數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

1)電機(jī)位置θm理想化，比如忽略實(shí)際環(huán)境存在的其他誤差。

2)所有關(guān)節(jié)的剛度K相同，可由式(2)計(jì)算：

K=kpI

分階段地展示學(xué)生的進(jìn)步在教學(xué)環(huán)節(jié)中尤為重要。當(dāng)聾生掌握了一種新知識(shí)的時(shí)候就可以到教師機(jī)上利用廣播展示給全班同學(xué)看；當(dāng)聾生學(xué)會(huì)一級(jí)簡(jiǎn)碼時(shí)，就可以全班同學(xué)比一比，看誰(shuí)能最快并正確輸入一級(jí)簡(jiǎn)碼；當(dāng)聾生能完整的用五筆輸入一篇文章時(shí)，就可以邀請(qǐng)班主任等其他任課教師，還可以邀請(qǐng)家長(zhǎng)來(lái)欣賞他們的學(xué)習(xí)成果，并督促他們更上一層樓。

(2)

式中：kp為關(guān)節(jié)剛度常數(shù)，kp>0；I為單位剛度。

機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程可改寫(xiě)為：

(3)

式中：H(θ)=G(θ)+kpθ。將動(dòng)力學(xué)方程表示為線性參數(shù)形式，則有：

(4)

由于本文仿真模型柔性關(guān)節(jié)臂為單擺模型，因此首先用單擺進(jìn)行仿真測(cè)試，然后將仿真結(jié)果反饋到Baxter等多連桿機(jī)器人中，并與自適應(yīng)控制器和基線比例微分(PD)控制器(增益為K1和K2)的性能進(jìn)行比較得到差值。

(5)

2 神經(jīng)自適應(yīng)控制器

本文基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器，進(jìn)而完成θm的最優(yōu)化求解。

2.1 控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于控制器，采用Lyapunov的候選函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。該函數(shù)表達(dá)式為：

(6)

(7)

通過(guò)取V的時(shí)間導(dǎo)數(shù)并與式(3)、式(4)聯(lián)立可得到：

(8)

(9)

式中：Ks和k均為換元得到的變量系數(shù)。Kss項(xiàng)中Ks>0，保證了跟蹤誤差的收斂性；附加的高增益反饋?lái)?xiàng)ksgn(s)具有較強(qiáng)的魯棒性，故可有效降低網(wǎng)絡(luò)建模誤差及噪聲。經(jīng)推導(dǎo)可得：

(10)

式中：‖s‖l表示向量l的范數(shù)。通過(guò)選擇自適應(yīng)率：

(11)

有：

(12)

2.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)分為3個(gè)部分，分別為網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)設(shè)計(jì)、訓(xùn)練樣本收集以及網(wǎng)絡(luò)初始化訓(xùn)練。

1)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)設(shè)計(jì)。網(wǎng)絡(luò)由多個(gè)不同層的有向圖組成，網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)如圖1所示，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)連接點(diǎn)見(jiàn)表1。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由輸入層、卷積層、全連接層以及輸出層構(gòu)成。對(duì)Y變量進(jìn)行訓(xùn)練需要滿(mǎn)足輸出層a具有和Y變量相同的維度，由于模型全連接層輸出為一維數(shù)據(jù)，為了滿(mǎn)足網(wǎng)絡(luò)輸出需要，本網(wǎng)絡(luò)使用卷積結(jié)構(gòu)作為輸出層，輸出結(jié)果為二維向量。

表1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)連接點(diǎn)

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)

2.3 回歸器更新的在線反向傳播

機(jī)械臂顯著的缺點(diǎn)是抗干擾能力差，當(dāng)系統(tǒng)受到外部干擾時(shí)，輸出層權(quán)重的純自適應(yīng)可能需較長(zhǎng)時(shí)間才能使跟蹤誤差收斂。因此將所收集的、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化后的輸入/輸出數(shù)據(jù)用于回歸量Y的在線學(xué)習(xí)。之后以較高和較低的速率更新輸出層及回歸器權(quán)重。圖2給出了回歸因子在線實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)的示意。

圖2 回歸因子的在線調(diào)節(jié)示意圖

2.4 系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)

總控制架構(gòu)的示意圖如圖3所示。由圖可以看出，本文模型由神經(jīng)自適應(yīng)控制器以及在線學(xué)習(xí)反饋模塊組成。神經(jīng)自適應(yīng)控制器將人為規(guī)劃的軌跡作為輸入數(shù)據(jù)，控制器中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)軌跡數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，進(jìn)而控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)。在線學(xué)習(xí)反饋模塊對(duì)當(dāng)前機(jī)器人的輸出軌跡進(jìn)行誤差分析得到回歸因子，同時(shí)將回歸因子送入控制器中，與設(shè)定軌跡一起訓(xùn)練，以保證控制器的輸出精度。

圖3 總控制架構(gòu)

3 系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本模型的可行性，首先在Simulink中模擬單擺的內(nèi)耗模型，即將黏滯摩擦與庫(kù)侖摩擦轉(zhuǎn)變?yōu)樗固乩镓惪四Σ?。由于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建立在式(1)的基礎(chǔ)上，所以K是假設(shè)的標(biāo)量，自然也適用于SISO系統(tǒng)。此外為了使研究的系統(tǒng)更具普適性，本文以MIMO系統(tǒng)展開(kāi)測(cè)試。仿真軟件使用MATLAB R2017a中的Simulink工具箱，數(shù)據(jù)集數(shù)量為6 000條，其中4 800條用作訓(xùn)練集數(shù)據(jù)，1 200條用作驗(yàn)證集數(shù)據(jù)。

本文采用對(duì)比實(shí)驗(yàn)的方式，對(duì)在線學(xué)習(xí)模塊的作用進(jìn)行評(píng)估，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4 單擺正弦軌跡的絕對(duì)跟蹤誤差比較

由圖4可知，兩個(gè)系統(tǒng)的跟蹤誤差在0～5 s內(nèi)收斂，這意味著訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)能夠精確地逼近單擺動(dòng)力學(xué)模型。

5～15 s，由于摩擦模型的改變，兩個(gè)系統(tǒng)的跟蹤誤差均會(huì)增加。

在15 s時(shí)打開(kāi)自適應(yīng)控制器，兩個(gè)系統(tǒng)的跟蹤誤差就會(huì)減少。但對(duì)于本算法而言，通過(guò)在線反向傳播完成回歸更新，可使其跟蹤誤差進(jìn)一步減小。由此表明，本模型中在線學(xué)習(xí)模塊可減小一定的跟蹤誤差。

之后對(duì)基線PD控制器的跟蹤性能進(jìn)行比較。

控制器的參數(shù)需要初始化，其中K1=0.2，K2=0.1，k=5，P=0.05，Λ=diag(3,6,3,20,10,10,10),Ks=diag(0.1,0.01,0.01,0.1,0.01,0.01,0.01)。

圖5顯示了上述兩種控制器跟蹤非可視正弦關(guān)節(jié)位置軌跡的節(jié)點(diǎn)1、3和5的跟蹤結(jié)果。圖5中的黑色虛線(箭頭1)為理論值，黑色實(shí)線(箭頭2)為本文算法仿真結(jié)果，灰色實(shí)線為不加反饋學(xué)習(xí)模塊的仿真結(jié)果。從圖5可以直觀看出，兩種控制器仿真結(jié)果比較接近。為了定量地對(duì)誤差值進(jìn)行分析，表2列出了所有7個(gè)關(guān)節(jié)的l2及l(fā)∞范數(shù)所對(duì)應(yīng)的跟蹤誤差。從表2中可看出，自適應(yīng)神經(jīng)控制器的性能優(yōu)于PD控制器，所有7個(gè)關(guān)節(jié)控制精度平均提高了約60%。

圖5 正弦關(guān)節(jié)位置軌跡與兩種控制器的性能比較

表2 使用兩種控制器跟蹤正弦關(guān)節(jié)軌跡的l2與l∞跟蹤誤差

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種新型神經(jīng)自適應(yīng)控制器，在未知?jiǎng)恿W(xué)環(huán)境中，實(shí)現(xiàn)柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人自適應(yīng)軌跡跟蹤。該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由1個(gè)回歸器及1個(gè)輸出層組成，通過(guò)樣本訓(xùn)練完成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始化，成功模擬了機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的線性參數(shù)形式。但與輸出層權(quán)值的自適應(yīng)相比，回歸網(wǎng)絡(luò)在線更新的速度較慢。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提算法可有效提高系統(tǒng)的軌跡跟蹤性能，且通過(guò)回歸在線學(xué)習(xí)，可使自適應(yīng)控制器的跟蹤性能得到進(jìn)一步提升。