張段芹，馮炳昊，曹 寧，劉 嘉，聶 晶

(1.鄭州輕工業(yè)大學 機電工程學院，河南 鄭州 450002;2.鄭州輕工業(yè)大學 計算機與通信工程學院，河南 鄭州 450002；3.北京航空航天大學 前沿科學技術(shù)創(chuàng)新研究院，北京 100191)

0 引言

壓電陶瓷具有體積小，結(jié)構(gòu)簡單，分辨率高，出力大，結(jié)構(gòu)緊湊，響應速度快等優(yōu)點，常用于微納米定位系統(tǒng)，廣泛應用于超精密機械、精密儀器制造、生物醫(yī)療器械及半導體制備等領域[1]。由于壓電陶瓷遲滯非線性特性嚴重降低了其定位精度和穩(wěn)定性等性能，因此，深入研究或補償壓電陶瓷的遲滯非線性，提高其定位精度是目前研究的關(guān)鍵和熱點問題[2]。

針對壓電陶瓷的遲滯非線性對壓電微定位臺定位精度的影響，目前的主要研究方向是通過建立各種遲滯非線性的數(shù)學模型模擬壓電陶瓷的遲滯輸出特性[3]。常用的遲滯模型有Duhem模型[4]、Bouc-Wen模型[5]、Preisach模型[6]、經(jīng)典Prandtc-Ishlinskii(P-I)模型[7]、Maxwell滑動模型[8]及神經(jīng)網(wǎng)絡模型[9]等。P-I模型采用一重積分，因其具有簡單的數(shù)學形式，需辨識參數(shù)相對較少，特別是求解其逆模型或近似逆模型相對容易，故被廣泛應用于壓電陶瓷的遲滯建模[10]。隨著對壓電陶瓷的深入研究發(fā)現(xiàn)，壓電執(zhí)行器中具有率相關(guān)特性，而這些模型大多數(shù)不能描述壓電陶瓷的率相關(guān)特性[11]?；诖?，文獻[11]建立具有動態(tài)權(quán)值、閾值的P-I模型來描述率相關(guān)遲滯非線性。文獻[12]引入二次多項式和初始位移項，描述壓電陶瓷遲滯靜態(tài)非線性特性，通過把輸入信號頻率引入模型參數(shù)，實現(xiàn)了對壓電陶瓷遲滯動態(tài)特性的直接描述。本文通過引入電壓變化率，提出率相關(guān)的遲滯模型，首先通過引入多項式來描述壓電陶瓷遲滯靜態(tài)非線性特性；在靜態(tài)遲滯模型基礎上，通過將電壓升降速率引入模型參數(shù)以描述壓電陶瓷的速率相關(guān)特性。

1 率無關(guān)的P-I模型

采用雙邊Play算子的經(jīng)典P-I模型[13]來描述壓電陶瓷遲滯非線性特性，從數(shù)學上講，經(jīng)典P-I模型可以描述為

(1)

式中：t為時間；y(t)，v(t)分別為模型的輸出位移和輸入電壓；p0為系數(shù)；pi為對應閾值ri(1≤i≤N)的遲滯算子權(quán)重系數(shù)；Fri[v](t)為輸出位移的遲滯算子。其中：

Fri[v](0)=fri(v(0),0)

(2)

Fri[v](t)=fri(v(t),Fri[v](t-T))

(3)

fri(v(t),w(t))=max(v(t)-ri,min(v(t)+

ri,w(t)))

(4)

式中T為采樣周期。

如圖1所示，在輸入非負電壓的情況下，雙邊Play算子形成的滯環(huán)不隨控制輸入返回到0，初始加載曲線(雙邊Play算子驅(qū)動電壓從0施加到最高值的升程曲線，其初始輸出位移為0)外的后續(xù)軌跡具有初始位移，這種特性與壓電驅(qū)動器的特性非常相似。

圖1 雙邊算子電壓位移圖

考慮到經(jīng)典P-I模型只能模擬中心對稱的遲滯曲線，而壓電陶瓷的遲滯曲線為中心非對稱，所以提出修正的P-I模型通過引入多項式來模擬壓電驅(qū)動器的遲滯非線性曲線，有：

(5)

g(v(t))=a1v(t)+a2v(t)2+a3v(t)3

(6)

式中a1、a2、a3為常數(shù)項系數(shù)。

2 率相關(guān)的P-I模型

上述提到的P-I模型是與速率無關(guān)的模型，率無關(guān)的P-I模型常用于描述陶瓷在低頻時的遲滯現(xiàn)象。當頻率增加時，由于壓電陶瓷的遲滯率與頻率有很強的相關(guān)性，使用這些滯環(huán)模型會引起較大誤差，因此有必要建立一個速率相關(guān)的P-I模型。

在率無關(guān)模型的基礎上將輸入電壓升降速率引入動態(tài)遲滯模型參數(shù)中，用于描述壓電驅(qū)動器率相關(guān)的遲滯非線性，表達式如下：

(7)

(8)

3 實驗

壓電陶瓷驅(qū)動器的率相關(guān)輸出位移測試平臺的硬件組成原理如圖2所示。計算機產(chǎn)生驅(qū)動指令，經(jīng)數(shù)據(jù)采集卡的數(shù)模轉(zhuǎn)換(D/A)輸出模擬信號，再經(jīng)功率放大驅(qū)動壓電驅(qū)動器，驅(qū)動位移經(jīng)位移傳感器傳至數(shù)據(jù)采集卡模擬輸入端，經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換(A/D)到計算機。各組件的主要參數(shù)如下：疊堆式壓電驅(qū)動器在輸入電壓0～150 V內(nèi)的輸出位移為0～12 μm；功率放大器采用芯明天公司生產(chǎn)的型號為E03.00壓電驅(qū)動電源，帶寬為1 kHz；位移檢測采用德國米銥公司的電容式非接觸位移傳感器，分辨率為20 nm，帶寬為5 kHz；采用的NI數(shù)據(jù)采集卡最大輸出更新率為2.8 MS/s，最大輸入采樣率為1.25 MS/s。實驗臺實物圖如圖3所示。

圖2 硬件組成原理圖

圖3 實驗臺實物圖

利用Labview編程產(chǎn)生三角波信號，上升和下降過程的采樣數(shù)均為50個，給壓電平臺施加不同的電壓速率(0.12 V/ms(1 Hz)，1.2 V/ms(10 Hz)，3 V/ms(25 Hz)，6 V/ms(50 Hz))、幅值30 V、偏置30 V的三角波電壓信號，傳感器信號采樣率為2 kHz。從計算機產(chǎn)生驅(qū)動信號到計算機采集到位移信號具有一定的時間滯后，需要測量除壓電驅(qū)動器本身的響應滯后外的附加滯后，附加滯后包括D/A轉(zhuǎn)換與保持、采樣與保持、A/D轉(zhuǎn)換信號處理滯后以及功率放大和位移傳感器的滯后。通過同時采集模擬輸出信號，獲得附加滯后時間約為13 ms。處理數(shù)據(jù)時需考慮附加滯后的時間，由于實驗中的壓電陶瓷驅(qū)動器未加負載，在高頻使用時慣性力會變大并在內(nèi)部產(chǎn)生拉伸應力，破壞壓電材料，因此，為了保護疊堆式壓電陶瓷驅(qū)動器，施加的信號頻率最高為50 Hz。

壓電驅(qū)動器在不同驅(qū)動頻率下的輸出位移如圖4所示。隨著輸入信號頻率的不斷增大，對應的遲滯環(huán)也越來越寬，遲滯環(huán)在電壓最大時的位移逐漸減小，遲滯環(huán)表現(xiàn)出率相關(guān)的特性。

圖4 壓電驅(qū)動器在不同頻率輸入信號下的遲滯曲線

4 參數(shù)辨識及模型驗證

4.1 參數(shù)辨識

根據(jù)式(7)的率相關(guān)模型，需要辨識的模型參數(shù)有a1、a2、a3、a4及每個算子的權(quán)值。為了簡化動態(tài)遲滯模型，方便分析不同輸入信號施加電壓速率與對應的動態(tài)模型之間的關(guān)系，設置所有模型中的權(quán)重系數(shù)和閾值均保持一致。閾值可由下式確定：

(9)

式中N為遲滯算子的數(shù)量。利用測得的數(shù)據(jù)使誤差最小化，通過調(diào)用MATLAB優(yōu)化工具箱中最小二乘法辨識不同頻率下的模型參數(shù)，表達式為

(10)

式中：ψ(k)為模型輸出位移；e(k)為最小化誤差。以速率為0.12 V/ms(1 Hz)的三角波輸入信號為參考信號辨識率相關(guān)時的算子權(quán)重系數(shù)和模型參數(shù)，數(shù)據(jù)如表1所示。表2為不同速率下的模型參數(shù)。圖5為不同速率下的模型參數(shù)曲線。

表1 率相關(guān)的算子權(quán)重系數(shù)及模型參數(shù)

表2 不同速率的模型參數(shù)

圖5 不同速率下的a1，a2，a3，a4模型參數(shù)曲線

由圖5可見，模型參數(shù)與速率呈近似線性關(guān)系，可以用一次函數(shù)關(guān)系來表達：

(11)

(12)

(13)

(14)

利用MATLAB最小二乘法進行曲線擬合辨識動態(tài)模型參數(shù)k1，k2，k3，k4，k5，k6，k7，k8，如表3所示。

表3 動態(tài)模型參數(shù)

4.2 模型驗證

給壓電平臺施加幅值30 V、速率4.8 V/ms(40 Hz)、偏置30 V的三角波電壓信號進行模型驗證。利用0.12 V/ms建模數(shù)據(jù)并借助辨識的模型參數(shù)k1～k8，得出不同速率實測模型與建模模型的對比圖如圖6所示。

圖6 不同速率實驗結(jié)果與仿真結(jié)果對比及誤差曲線

為了驗證所建模型的準確性，本文采用均方根誤差ERMS作為驗證準確性的指標。

(15)

式中：n為采樣數(shù)據(jù)個數(shù)；y(i)為采集到的壓電陶瓷微定位平臺實際位移輸出；ym(i)為模型預測輸出。表4為不同速率模型誤差。

表4 率相關(guān)模型誤差分析

由表4可見，在0.12～6 V/ms，模型最大誤差控制在0.076～0.190 μm，均方根誤差控制在0.044～0.077 μm，相對誤差為1.2%～3.2%。由圖6可見，隨著輸入施加電壓速率的升高，最大位移誤差、平均位移誤差和均方根誤差都有不同程度的升高，驗證模型最大誤差控制0.19 μm內(nèi)。

5 結(jié)束語

本文提出了一種與速率相關(guān)的P-I模型，表征壓電致動器的速率相關(guān)的遲滯非線性。首先通過引入多項式，描述壓電陶瓷遲滯靜態(tài)非對稱性特性；在靜態(tài)遲滯模型基礎上，通過把速率引入模型參數(shù)以描述壓電陶瓷的速率相關(guān)特性。利用不同速率的三角波輸入測得響應位移，采用最小二乘法對模型參數(shù)進行辨識。模型誤差相對較小，較好地擬合了壓電陶瓷遲滯非線性的特性。