張志永，鄭鵬，劉棟梁

(1.鄭州科技學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，河南鄭州 450064；2.鄭州大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，河南鄭州 450001)

0 前言

磨加工主動測量控制儀(簡稱主動量儀)是一種在線測量零件加工參數(shù)并能控制磨削進(jìn)程的設(shè)備，主要應(yīng)用于自動、半自動磨床。主動量儀主要由測量裝置、驅(qū)動裝置、控制單元、CNC控制系統(tǒng)、砂輪進(jìn)給機(jī)構(gòu)等組成，如圖1所示。傳感測頭以接觸式相對測量方式將工件尺寸數(shù)據(jù)實(shí)時傳輸給計量裝置?？刂茊卧邮沼嬃垦b置發(fā)送的數(shù)據(jù)并通過內(nèi)置算法進(jìn)行誤差評定。當(dāng)誤差超出允許范圍邊界時，向CNC控制系統(tǒng)發(fā)出補(bǔ)調(diào)指令?？刂葡到y(tǒng)接收到指令后，通過更改工藝參數(shù)對誤差進(jìn)行補(bǔ)調(diào)。砂輪進(jìn)給機(jī)構(gòu)和驅(qū)動裝置根據(jù)指令調(diào)整，實(shí)現(xiàn)工件尺寸閉環(huán)控制。

圖1 磨加工主動量儀在線測量原理

現(xiàn)有磨加工主動量儀主要用于測量和控制磨削加工過程中工件的尺寸精度，而圓度誤差評定是軸類零件加工檢驗(yàn)必不可少的部分。隨著現(xiàn)代工業(yè)對產(chǎn)品幾何要求的不斷提高，對圓度誤差評定的精度和效率都有更高的要求，需要主動量儀在監(jiān)測工件尺寸精度的同時能夠高效準(zhǔn)確地完成工件圓度誤差的評定工作，以便省去加工后的檢驗(yàn)工序，不僅能夠提高工件的加工效率，而且能夠降低生產(chǎn)成本。根據(jù)GPS和ISO標(biāo)準(zhǔn)可知，根據(jù)評定基圓的不同，只有最小區(qū)域法的評定準(zhǔn)則符合圓度誤差定義，適用于高精度的誤差評定。但因該方法計算復(fù)雜，運(yùn)算時間長，應(yīng)用于在線檢測方面有一定局限性。

目前已有研究人員在最小區(qū)域圓度誤差評定的優(yōu)化算法方面取得了成效。張汛等人提出基于遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)的圓度誤差評定方法，結(jié)果表明該算法能比傳統(tǒng)優(yōu)化算法收斂到更精確的解,并具有較高的穩(wěn)定性,能有效克服局部收斂的問題。申翠香、張曉宇采用量子遺傳算法進(jìn)行多進(jìn)制編碼,提高了圓度測量精度。蔣文兵等利用求解線性規(guī)劃的單純形算法(Simplex Algorithm,SA)求得符合最小條件的圓度誤差值。羅鈞等人提出一種改進(jìn)的蜂群算法并應(yīng)用于圓度誤差最小區(qū)域評定中，能很好地滿足新型測量設(shè)備對應(yīng)用軟件的要求。蔡朕等人為提高圓度誤差評定的準(zhǔn)確性和收斂速度,提出了一種改進(jìn)布谷鳥搜索算法。已有的這些智能優(yōu)化算法在最小區(qū)域圓度誤差評定方面有一定的突破，但這些算法求解步驟普遍相對繁瑣，有的容易導(dǎo)致局部最優(yōu)解，有的需要設(shè)置參數(shù)過多，導(dǎo)致算法收斂速度降低，計算時間變長。支持向量機(jī)(Support Vector Machine,SVM)是VAPNIK依據(jù)統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論提出的一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法，在學(xué)習(xí)過程中需要求解帶約束的二次規(guī)劃問題，且約束個數(shù)等于樣本容量，求解過程存在大量的矩陣運(yùn)算，隨著樣本數(shù)量的增多，計算的復(fù)雜度增加，求解時間也隨之增加，導(dǎo)致該模型進(jìn)行圓度在線評定時實(shí)時性降低。為了提高其運(yùn)算速度，SUYKEND等利用具有等式約束并滿足KKT條件的規(guī)則化最小二乘支持向量機(jī)函數(shù)作為損失函數(shù)，提出了最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares Support Vector Machines,LSSVM)模型，它具有良好的泛化性能、高計算效率和高維魯棒性的優(yōu)點(diǎn)。為了確保在圓度誤差評定準(zhǔn)確性的前提下提高評定效率，本文作者將具有快速學(xué)習(xí)能力且魯棒性好的LSSVM和適用于高精度誤差評定的最小區(qū)域法相結(jié)合，提出了基于LSSVM的圓度誤差最小區(qū)域評定方法。

1 基于LSSVM的圓度誤差最小區(qū)域評定模型構(gòu)建

基于LSSVM的圓度誤差最小區(qū)域評定模型的思想是將圓度上的采樣點(diǎn)映射到高維空間中，求取最優(yōu)回歸函數(shù)，再根據(jù)回歸函數(shù)確定圓度評定模型的圓心，最后確定圓度誤差。

圖2 最小區(qū)域法圓度誤差評定示意

SVM分類的目標(biāo)函數(shù)如式(1)所示：

s.t.(+)≥1=1,2,…,

(1)

SVM回歸的公式見式(2)

s.t.|-(+)|≤=1,2,…,

(2)

式中：為不敏感參數(shù)。

因此回歸支持向量機(jī)的問題可以轉(zhuǎn)化為

(3)

其中:為損失函數(shù)，表達(dá)式如式(4)所示:

(4)

引入松弛因子，將目標(biāo)式子改寫為

(5)

引入拉格朗日乘子，拉格朗日函數(shù)如式(6)所示:

(6)

而LSSVM利用()=·()+進(jìn)行估計，式中(·)將輸入從低維非線性映射為高維線性，把非線性問題轉(zhuǎn)化為高維特征空間中的線性擬和問題。LSSVM的優(yōu)化問題為

(7)

相比于SVM算法，其約束條件有所不同，變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

[·()+]=1-=1,2,…,

(8)

即將SVM的不等式約束改為等式約束，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)進(jìn)行求解：

()+]-1+}

(9)

其中:為拉格朗日乘子。根據(jù)KKT條件，得到如下等式約束條件：

(10)

對于=1,2,…,，通過式(10)消去和得到如下線性系統(tǒng)：

(11)

式中:

(12)

令=+，求解式(12)得到:

(13)

式(14)為經(jīng)過解算，推導(dǎo)出的LSSVM最優(yōu)超平面公式，使用該式可擬合采集到的數(shù)據(jù)。

(14)

2 基于LSSVM算法評定圓度誤差的實(shí)現(xiàn)

基于LSSVM算法評定圓度誤差的流程如圖3所示。

圖3 LSSVM圓度誤差評定流程

具體步驟如下：

()=·()+

(15)

圖4 LSSVM圓度誤差評定示意

(16)

(17)

(18)

同理將外圓上的點(diǎn)(,)代入，可得方程(19)—(21)。

(19)

(20)

(21)

使用以上公式，可推導(dǎo)出公式(22)來確定兩個同心圓的圓心：

(22)

3 實(shí)驗(yàn)分析

磨削加工時，需要根據(jù)工藝規(guī)程設(shè)置尺寸特征點(diǎn)。加工進(jìn)程被特征點(diǎn)分為：快速進(jìn)給階段(SZ0)-粗磨加工階段(SZ1)-半精磨加工階段(SZ2)-精磨加工階段(SZ3)-光磨階段(SZ4)，如圖5所示。計量裝置由快速進(jìn)給結(jié)束特征點(diǎn)(FP1)開始測量，之后機(jī)床執(zhí)行粗磨加工。當(dāng)計量裝置檢測到工件滿足第二特征點(diǎn)(FP2)精度要求時，加工進(jìn)程轉(zhuǎn)換為半精磨狀態(tài)。當(dāng)檢測到精度滿足第三特征點(diǎn)(FP3)時，加工進(jìn)程變?yōu)榫顟B(tài)。當(dāng)工件滿足第四特征點(diǎn)(FP4)時，加工進(jìn)程變?yōu)楣饽ルA段，直至工件滿足設(shè)計要求(切斷點(diǎn))，砂輪執(zhí)行回程運(yùn)動直至下一循環(huán)。

圖5 砂輪磨削進(jìn)程

對磨削加工時工件實(shí)際表面輪廓橫截面分析可知，在理想條件下工件的表面輪廓截面為阿基米德螺線。而光磨階段是用以修整和降低工件的圓度誤差，可消除砂輪進(jìn)給所造成的尺寸變化，將工件輪廓截面的“阿基米德螺線”修整為圓。為方便分析和驗(yàn)證基于LSSVM算法進(jìn)行在線圓度評定時的準(zhǔn)確性，實(shí)驗(yàn)時選用光磨階段為研究對象。實(shí)驗(yàn)平臺為MGB1320E高精度半自動外圓磨床，磨床配備主動測量裝置，包括電感式測頭及液壓驅(qū)動裝置，經(jīng)過A/D轉(zhuǎn)換測頭數(shù)據(jù)傳輸給上位機(jī)，如圖6所示。砂輪材質(zhì)為棕剛玉，直徑400 mm，厚度32 mm，最高線速度35 m/s；采用GYSyn256C磨削液；磨削方式為外圓徑向切入磨削。

圖6 實(shí)驗(yàn)平臺

為了證明基于LSSVM的圓度誤差評定方法的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，分別對某一軸類工件的兩個不同軸截面進(jìn)行測試，每個截面測得10組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)采集3 600個點(diǎn)。分別采用GA、SA、SVM、LSSVM 4種算法對每組數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差評定，評定結(jié)果如表1、表2所示。可知，采用LSSVM所得圓度誤差值精度優(yōu)于其他3種對比算法所得評定結(jié)果，證明了LSSVM算法評定的準(zhǔn)確性。且根據(jù)圖7、圖8可知在同一截面進(jìn)行重復(fù)性測試時，該方法也具有一定的穩(wěn)定性，證明其重復(fù)性良好。

表1 截面1圓度誤差 單位:μm

表2 截面2圓度誤差 單位:μm

圖7 截面1重復(fù)測試boxplot圖

圖8 截面2重復(fù)測試boxplot圖

為了直觀驗(yàn)證基于LSSVM評定方法的準(zhǔn)確性，對GA、SA、SVM、LSSVM 4種算法評定結(jié)果進(jìn)行仿真，數(shù)據(jù)來源為截面1的第一組測量數(shù)據(jù)，仿真結(jié)果如表3所示?？芍?4種算法所求得的包容圓圓心坐標(biāo)(,)、被測輪廓最小內(nèi)切圓半徑、被測輪廓最大外接圓半徑的值均非常接近。根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制了圓度誤差評定模型仿真圖，如圖9所示?？芍庇^看出:4種算法得出的圓度誤差評定的實(shí)際圓輪廓高度吻合，可直觀證明LSSVM進(jìn)行圓度誤差評定結(jié)果的準(zhǔn)確性。

表3 截面1評定參數(shù) 單位:μm

圖9 截面1評定模型仿真

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于LSSVM的評定方法的準(zhǔn)確性，通過實(shí)驗(yàn)得出不同方法的計算時間，證明所提方法的高效性。對同一截面測量不同點(diǎn)數(shù)，由表4可知:在不同測量點(diǎn)數(shù)下GA、SA、SVM和LSSVM所得的圓度誤差值一致性良好，且LSSVM評定精度最高，進(jìn)一步驗(yàn)證了基于LSSVM的圓度誤差評定方法的準(zhǔn)確性。為了證明該算法的高效性，在同一臺計算機(jī)上運(yùn)行以上4種算法得出運(yùn)算時間，由表5可知:相較于其他3種算法，隨著采集點(diǎn)數(shù)的增加，基于LSSVM的圓度誤差評定方法的評定效率優(yōu)勢愈發(fā)凸顯，其評定時間受采集點(diǎn)數(shù)增加的影響很小，在采集數(shù)據(jù)量較大的情況下評定效率有顯著的優(yōu)勢。

表4 不同采集點(diǎn)數(shù)的圓度誤差 單位:μm

表5 算法評定效率比對 單位：s

4 結(jié)論

采用LSSVM所得圓度誤差評定精度優(yōu)于其他3種對比算法，相比基于GA、SA和SVM算法的圓度誤差評定方法，采用LSSVM進(jìn)行圓度誤差最小區(qū)域求解可以在保證評定結(jié)果準(zhǔn)確的基礎(chǔ)上，有效提高圓度誤差的評定效率，尤其在采集數(shù)據(jù)量較大的情況下評定效率有顯著的優(yōu)勢。經(jīng)分組重復(fù)實(shí)驗(yàn)可知，基于LSSVM的算法評定結(jié)果穩(wěn)定，可應(yīng)用于工業(yè)加工中復(fù)雜環(huán)境下的圓度誤差在線評定，從而提高生產(chǎn)效率。該研究對于實(shí)現(xiàn)磨加工主動量儀圓度誤差的在線評定具有重要意義。基于LSSVM的算法原理簡單明了，簡化了圓度評定中的算法編程工作，并可推廣應(yīng)用到直線度、平面度、圓柱度等其他形位誤差的評定。