胡曉曉，程冬

（1.溫州醫(yī)科大學(xué) 第一臨床醫(yī)學(xué)院（信息與工程學(xué)院） 附屬第一醫(yī)院，浙江 溫州 325000；2.北京師范大學(xué)珠海校區(qū)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育研究中心，廣州 珠海 519087）

基于四元數(shù)尺度函數(shù)的邊緣檢測(cè)方法

胡曉曉1，程冬2

（1.溫州醫(yī)科大學(xué) 第一臨床醫(yī)學(xué)院（信息與工程學(xué)院） 附屬第一醫(yī)院，浙江 溫州 325000；2.北京師范大學(xué)珠海校區(qū)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育研究中心，廣州 珠海 519087）

四元數(shù)解析信號(hào)是解析信號(hào)在四元數(shù)意義下的推廣，其由原信號(hào)、四元數(shù)方向Hilbert變換和四元數(shù)交叉項(xiàng)Hilbert交換構(gòu)成。通過四元數(shù)解析信號(hào)的極坐標(biāo)表示，可得信號(hào)的特征表示，如局部相位角和局部振幅，其中局部相位角包含信號(hào)的結(jié)構(gòu)信息。研究了右四元數(shù)解析信號(hào)，給出了其二維延拓定理，得到右四元數(shù)尺度函數(shù)，并將其局部特征應(yīng)用于彩色圖像的邊緣檢測(cè)，提出了基于局部相位角和局部振幅的邊緣檢測(cè)方法，通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)，證明了基于局部相位角的邊緣檢測(cè)方法在抗噪上具有魯棒性。

右邊四元數(shù)傅里葉變換（QFT）；解析信號(hào)；局部相位角；局部衰減；泊松算子

1886年，HAMILTON［1］提出了四元數(shù)代數(shù)（又稱超復(fù)數(shù)），與向量表示高維信號(hào)不同，四元數(shù)代數(shù)不僅可簡(jiǎn)潔地表示高維信號(hào)，而且可很好地表達(dá)高維信號(hào)各分量之間的相關(guān)性，因此四元數(shù)代數(shù)已成為數(shù)學(xué)與工程領(lǐng)域的熱門研究方向［2-4］，四元數(shù)傅里葉變換（quaternion Fourier transform，QFT）是處理四元數(shù)的有利工具，由于四元數(shù)的乘法具有不可交換性，因此根據(jù)四元數(shù)函數(shù)與四元數(shù)傅里葉核的位置關(guān)系，將其分為右邊QFT、左邊QFT、雙邊QFT三類［5］，QFT被廣泛用于圖像處理和信號(hào)處理［6-8］。1999年，SOMMER［9］提出與雙邊QFT相關(guān)的四元數(shù)解析信號(hào)的概念，此后，四元數(shù)解析信號(hào)被用于高維信號(hào)處理［10-13］。BERNSTEIN等［12］通過對(duì)原實(shí)信號(hào)做方向Hilbert變換（partial Hilbert transform，PHT）和交叉項(xiàng)Hilbert變換（total Hilbert transform，THT），得到四元數(shù)解析信號(hào)的3個(gè)虛單位分量，定義了雙邊QFT意義下二維四元數(shù)解析信號(hào)。同時(shí)用四元數(shù)解析信號(hào)的極坐標(biāo)表示，定義了其局部特征，實(shí)驗(yàn)表明，方向Hilbert變換和交叉項(xiàng)Hilbert變換可以很好地保存圖片的結(jié)構(gòu)信息。PEI等［14］證明了交叉項(xiàng)Hilbert變換能進(jìn)行角點(diǎn)檢測(cè)，根據(jù)相位的定義，四元數(shù)解析信號(hào)的相位角包含原信號(hào)的結(jié)構(gòu)信息，其模（振幅）包含原信號(hào)的能量信息，受此啟發(fā)，HU等［13］提出了雙邊QFT意義下的四元數(shù)解析信號(hào)的延拓定理，以及具有2個(gè)尺度變量的四元數(shù)解析函數(shù)?；诖?，本文研究與右邊QFT相關(guān)的右四元數(shù)解析信號(hào)的延拓定理，得到了相應(yīng)的四元數(shù)尺度函數(shù)。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 解析信號(hào)和局部特征

定義1設(shè)為實(shí)信號(hào)，對(duì)進(jìn)行Hilbert變換后，得到的解析信號(hào)，記作：

定義2給定一個(gè)解析信號(hào)，其極坐標(biāo)形式為

1.2 右邊QFT

本文研究右邊QFT：

2 右四元數(shù)解析信號(hào)

解析信號(hào)的高維推廣研究已有很多［9-10，12-13，15］。

定義3四元數(shù)方向Hilbert變換（QPHT）和四元數(shù)交叉項(xiàng)Hilbert變換（QTHT）定義如下：

利用QPHT和QTHT定義右四元數(shù)解析信號(hào)（right quaternion analytic signal，RQAS）。

定義4令則的右四元數(shù)解析信號(hào)定義為

定理1令，則

由式（4）～式（6），可得

證畢。

引理1［13］令利用泊松核和共軛泊松核定義卷積運(yùn)算：

定理2令利用QPHT和QTHT構(gòu)造相應(yīng)的右四元數(shù)解析信號(hào)，有

定義5設(shè)四元數(shù)尺度函數(shù)則的極坐標(biāo)形式為

為局部相位角的虛部。

3 基于局部相位角和局部振幅的邊緣檢測(cè)方法

方法1設(shè)模為非零的四元數(shù)尺度函數(shù)其局部相位角為，對(duì)分別關(guān)于坐標(biāo)變量求導(dǎo)，可得

記方法1為右四元數(shù)差分相位角（right quaternion differential phase angle，RQDPA）。

方法2設(shè)模為非零的四元數(shù)尺度函數(shù)其局部相位角為，對(duì)分別關(guān)于尺度變量求導(dǎo)，可得

記方法2為右四元數(shù)差分相位一致（right quaternion differential phase congruency，RQDPC）。

方法3設(shè)模為非零的四元數(shù)尺度函數(shù)其局部衰減為，對(duì)m關(guān)于尺度變量求導(dǎo)，可得

記方法3為右四元數(shù)差分局部衰減（right quaternion differential local attenuation，RQDLA）。

3種邊緣檢測(cè)方法的步驟如下：

第1步 輸入原圖。

第2步 對(duì)原圖分別進(jìn)行泊松算子與共軛泊松算子的卷積運(yùn)算，得到四元數(shù)尺度函數(shù)的實(shí)部和3個(gè)虛部：

第3步 采用RQDPA，RQDPC，PQDLA 3種邊緣檢測(cè)方法，得到梯度圖。

第4步 對(duì)梯度圖進(jìn)行非極大抑制處理［16］（r=1.5），縮窄邊界。RQDPA，RQDPC，PQDLA的閾值范圍分別為［10，25］，［3，4］，［2，4］。

4 實(shí)驗(yàn)

以廣泛用于圖像處理的Candy算子為標(biāo)準(zhǔn)比較RQDPA，RQDPC，RQDLA，改良的差分相位一致（MDPC）［17］，差分相位一致（DPC）［18］方法的檢驗(yàn)效果。MDPC和DPC均為基于解析信號(hào)相位的方法，利用非極大抑制得到更窄的邊界，MDPC 的閾值范圍為［1.0，3.5］，DPC 的閾值范圍為［2.0，3.5］，Candy算子的參數(shù)設(shè)置為MATLAB默認(rèn)值。

4.1 邊緣檢測(cè)實(shí)驗(yàn)

Lena、房子、辣椒和盒子的原圖見圖1。用RQDPH，RQDPC，RQDLA，MDPC，DPC分別對(duì)4幅圖進(jìn)行邊緣檢測(cè)，以圖像處理的指標(biāo)函數(shù)結(jié)構(gòu)相似度（structural similarity，SSIM），特征相似度（feature similarity，F(xiàn)SIM），峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR）的值驗(yàn)證各方法的檢測(cè)效果。RQDPA，RQDPC，RQDLA的尺度變量設(shè)為，MDPC和DPC的尺度變量設(shè)為各方法的邊緣檢測(cè)結(jié)果見圖2。由圖2知，RQDPA的邊緣檢測(cè)效果與Candy算子最接近，其次是RQDPC。MDPC和DPC的邊緣檢測(cè)效果一般，特別是房子圖和盒子圖的邊緣不夠平滑。RQDLA可檢測(cè)出雙邊界。表1為5種邊緣檢測(cè)方法與Candy算子的相似度，可知，RQDPA與Candy算子的相似度最高。

圖1 原圖Fig.1 Original images

圖2 RQDPA，RQDPC， RQDLA，MDPC，DPC，Candy算子的邊緣檢測(cè)結(jié)果Fig. 2 Comparative results of RQDPA，RQDPC，RQDLA，DPC，MDPC，Candy methods on the images

4.2 抗噪實(shí)驗(yàn)

依次對(duì)4幅圖添加Speckle噪聲、Gaussian噪聲和Salt and pepper噪聲，以FSIM，SSIM，PNSR的值檢驗(yàn)各方法在抗噪上的魯棒性。RQDPA，RQDPC，PQDLA的尺度變量設(shè)為MDPC和DPC的尺度變量為L(zhǎng)ena、房子、辣椒、盒子4幅圖的抗噪實(shí)驗(yàn)結(jié)果見附件（掃二維碼查閱）。結(jié)果表明，隨著各類不同噪聲的加入，RQDPA的SSIM，F(xiàn)SIM和PSNR均高于其他方法。RQDPA的抗噪性最好，RQDLA次之。

表1 RQDPA，RQDPC，RQDLA，DPC，MDPC與Candy的相似度Table 1 SSIM，F(xiàn)SIM and PSNR values of RQDPA，RQDPC，RQDLA，MDPC，DPC to Candy

5 結(jié)論

從右邊QFT的頻域角度出發(fā)，利用四元數(shù)方向Hilbert變換和四元數(shù)交叉項(xiàng)Hilbert變換，構(gòu)造了右四元數(shù)解析信號(hào)。先利用泊松算子和共軛泊松算子，將右四元數(shù)解析信號(hào)延拓至上半空間，得到具有2個(gè)尺度變量的四元數(shù)尺度函數(shù)。再利用四元數(shù)尺度函數(shù)的極坐標(biāo)表示，得到信號(hào)的局部相位角和局部振幅，其分別包含原信號(hào)的結(jié)構(gòu)信息與能量信息。最后關(guān)于坐標(biāo)變量和尺度變量分別求導(dǎo)，得到基于相位角和基于振幅的3種邊緣檢測(cè)方法：RQDPA，RQDPC和RQDLA，通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)，得到RQDPA的邊緣檢測(cè)效果最好，與目前廣泛使用的Candy算子的相似度最高，且抗噪性較好。

右邊四元數(shù)線性正則變換［5］是右邊QFT的推廣，參數(shù)更多，更復(fù)雜和靈活。目前已有研究涉及雙邊四元數(shù)線性正則變換意義下的四元數(shù)解析信號(hào)，并將其模分別應(yīng)用于圖像的包絡(luò)和邊緣檢測(cè)［10，16］。進(jìn)一步，將研究右邊四元數(shù)線性正則意義下四元數(shù)解析信號(hào)的延拓定理，并將其局部特征（局部相位）應(yīng)用于圖像處理。

［1］HAMILTON W R. Elements of Quaternions［M］. London： Longmans Green，1866.

［2］JIANG B X， LIU Y，KOU K I， et al. Controllability and observability of linear quaternion-valued systems［J］. Acta Mathematica Sinica （English Series）， 2020，36（11）：1299-1314. DOI：10.1007/s10114-020-8167-1

［3］XIA Z C， LIU Y， LU J Q， et al. Penalty method for constrained distributed quaternion-variable optimization［J］. IEEE Transactions on Cybernetics， 2021，51（11）：5631-5636. DOI：10.1109/TCYB. 2020.3031687

［4］LIAN P. Quaternion and fractional Fourier transform in higher dimension［J］. Applied Mathematics and Computation， 2021，389： 125585. DOI：10.1016/j.amc.2020.125585

［5］HU X X， KOU K I. Quaternion Fourier and linear canonical inversion theorems［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2017，40（7）： 2421-2440. DOI：10.1002/mma.4148

［6］FARES K， AMINE K，SALAH E. A robust blind color image watermarking based on Fourier transform domain［J］. Optik，2020， 208：164562. DOI： 10. 1016/j.ijleo.2020.164562

［7］REN K， SONG C C，MIAO X， et al. Infrared small target detection based on non-subsampled shearlet transform and phase spectrum of quaternion Fourier transform［J］. Optical and Quantum Electronics， 2020，52（3）： 168. DOI：10.1007/s11082-020-02292-x

［8］CHENG D， KOU K I. Generalized sampling expansions associated with quaternion Fourier transform［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2018，41（11）：4021-4032. DOI：10.1002/mma.4423

［9］BüLOW T， SOMMER G. A novel approach to the 2D analytic signal［C］// International Conference on Computer Analysis of Images and Patterns. Berlin：Springer-Verlag， 1999：25-32. DOI：10.1007/3-540-48375-6_4

［10］KOU K I， LIU M S，ZOU C M. Plancherel theorems of quaternion Hilbert transforms associated with linear canonical transforms［J］. Advances in Applied Clifford Algebras， 2020，30（1）： 9. DOI：10.1007/s00006-019-1034-4

［11］LIAN P. Sharp inequalities for geometric Fourier transform and associated ambiguity function［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2020，484（2）： 123730. DOI：10.1016/j.jmaa.2019.123730

［12］BERNSTEIN S， BOUCHOT J L，REINHARDT M， et al. Generalized analytic signals in image processing： Comparison，theory and applications［M］// HITZER E，SANGWING S J. Quaternion and Clifford Fourier Transforms and Wavelets. Berlin： Springer Basel，2013： 221-246. DOI：10.1007/978-3-0348-0603-9_11

［13］HU X X， KOU K I. Phase-based edge detection algorithms［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2018，41（11）：4148-4169. DOI：10.1002/mma.4567

［14］PEI S C， DING J J，HUANG J D， et al. Short response Hilbert transform for edge detection［C］// 2008 IEEE Asia Pacific Conference on Circuits and Systems. Macao：IEEE， 2008：340-343. DOI：10.1109/APCCAS.2008.4746029

［15］KOU K I， LIU M S，MORAIS J P， et al. Envelope detection using generalized analytic signal in 2D QLCT domains［J］. Multidimensional Systems and Signal Processing， 2017，28（4）： 1343-1366. DOI：10.1007/s11045-016-0410-7

［16］KOVESI P. Image Features from Phase Congruency［D］.Nedlands：The University of Western Australia， 1999.

［17］YANG Y， KOU K I，ZOU C M. Edge detection methods based on modi?ed differential phase congruency of monogenic signal［J］. Multidimensional Systems and Signal Processing， 2018，29（1）： 339-359. DOI：10. 1007/s11045-016-0468-2

［18］FELSBERG M， SOMMER G. The monogenic scale-space： A unifying approach to phase-based image processing in scale-space［J］. Journal of Mathematical Imaging and Vision， 2004，21： 5-26. DOI：10.1023/B：JMIV.0000026554.79537.35

The edge detection based on the quaternion scale function

HU Xiaoxiao1, CHENG Dong2

（1. The First School of Medicine，School of Information and Engineering，The First Affiliated Hospital of Wenzhou Medical University，Wenzhou Medical University，Wenzhou325000，Zhejiang Province，China；2. Research Center for Mathematics and Mathematics Education，Beijing Normal University，Zhuhai，Zhuhai519087，Guangzhou Province，China）

The quaternion analytic signal is a generalization of analytic signal in the quaternion sense. It is constructed by an original signal and its quaternion partial and total Hilbert transforms. The signal feature representation can be provided by the polar form of the quaternion analytic signal, such as the local amplitude and local phase angle, the latter includes the structural information of the original signal. The aim of this work is to study the quaternion analytic signal associate with right-sided quaternion Fourier transform and it applications. Firstly, quaternion analytic signal associate with right-sided quaternion Fourier transform is defined. By using Possion operator, the quaternion analytic signal is extended to the quaternion scale function. The quaternion scale function provides the signal features representation. At last, three novel types of phase and amplitude-based edge detectors are proposed. Comparisons with competing methods on real-world images consistently show the superiority of the proposed methods.

right-sided quaternion Fourier transform (QFT); analytical signal; local phase angle; local attenuation; Poisson operator

O 29

A

1008?9497（2022）05?549?06

2021?03?25.

溫州市科技局資助項(xiàng)目（G2020031）；浙江省教育廳一般科研項(xiàng)目（Y202147071）；溫州醫(yī)科大學(xué)博士啟動(dòng)基金項(xiàng)目（QTJ18012）；廣東省基礎(chǔ)與應(yīng)用基礎(chǔ)研究基金項(xiàng)目（2019A1515111185）.

胡曉曉（1984—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-1866-0413，女，博士，講師，主要從事四元數(shù)分析和應(yīng)用研究.

通信作者，ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-1866-0413，E-mail：huxiaoxiao@wmu.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.005