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        強(qiáng)間斷多介質(zhì)流的高精度偽弧長(zhǎng)方法

        2022-09-17 07:10:24王晨濤馬天寶李坤
        關(guān)鍵詞:弧長(zhǎng)高精度分辨率

        王晨濤,馬天寶,李坤

        (北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100081)

        基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)求解雙曲守恒律方程得到的解通常具有奇異性,即解存在強(qiáng)間斷,例如激波、接觸間斷,或者稀疏波之類的弱間斷. 針對(duì)求解間斷解發(fā)展了很多高分辨率和高精度的數(shù)值算法. 高分辨率的算法可以追溯到早期的TVD 總變差不增算法,但是算法精度不高于二階. 隨后,發(fā)展了一系列的高精度數(shù)值格式,例如ENO,RKDG,WENO[1-2],SD,SV等. 但是高精度的數(shù)值格式數(shù)值色散較強(qiáng),使得解的震蕩較強(qiáng). 通常需要額外的限制震蕩的方法來抑制震蕩. 因此,為了減少數(shù)值震蕩,提高間斷分辨率,從削弱方程奇異性的角度發(fā)展了弧長(zhǎng)算法. RISK[3]通過引入弧長(zhǎng)參數(shù),增加了一個(gè)弧長(zhǎng)約束方程,使得求解過程的奇異性得到減弱或消除. CHAN[4]通過引入偽弧長(zhǎng)控制參數(shù)將其引申為偽弧長(zhǎng)算法,并應(yīng)用于求解非線性方程的的奇異性問題. 武際可[5]等人應(yīng)用偽弧長(zhǎng)算法解決了包含奇異性的Burgers 方程.TANG[6]提出了包含偽弧長(zhǎng)參數(shù)的移動(dòng)網(wǎng)格控制方程,并給出了在二維情況下網(wǎng)格最優(yōu)分布的自適應(yīng)函數(shù)表達(dá)式. 寧建國等發(fā)展了二階偽弧長(zhǎng)算法,建立了偽弧長(zhǎng)算法穩(wěn)定性[7]理論,得到了偽弧長(zhǎng)算法的收斂性結(jié)論,并成功將偽弧長(zhǎng)算法運(yùn)用到爆炸沖擊波強(qiáng)間斷問題的求解. 由于在變形的物理空間不易構(gòu)造高階數(shù)值格式,因此上述的弧長(zhǎng)算法限制在了二階精度.

        在多介質(zhì)流體的求解過程中,圍繞物質(zhì)界面的追蹤發(fā)展了經(jīng)典的VOF[8-9]方法,Level Set[10]法,處理多介質(zhì)的五方程模型[11]方法,多介質(zhì)ALE[12]算法,以及基于界面形心重構(gòu)物質(zhì)界面的MOF[13]方法.Level Set 通過求解一個(gè)對(duì)流方程實(shí)現(xiàn)界面的隱式追蹤,無需對(duì)界面進(jìn)行繁瑣的重構(gòu),因此具有計(jì)算簡(jiǎn)單,界面分辨率高等優(yōu)點(diǎn). 由于界面兩側(cè)流體狀態(tài)方程的差異,容易在界面附近產(chǎn)生需要虛假振蕩,因此需要合理定義界面的邊界條件. RGFM[14]通過求解一個(gè)黎曼問題,修改界面附近的物理量,有效降低了界面處的非物理反射引起的數(shù)值振蕩.

        本文將偽弧長(zhǎng)算法和WENO 格式以及Level-Set和RGFM 相結(jié)合,發(fā)展了多介質(zhì)流的高精度偽弧長(zhǎng)算法,為了構(gòu)造高精度格式,采用坐標(biāo)變換將控制方程映射到正交均勻的弧長(zhǎng)坐標(biāo)系中,計(jì)算過程在均勻正交的弧長(zhǎng)坐標(biāo)下進(jìn)行計(jì)算. 為了消除變形網(wǎng)格幾何誤差,采用滿足幾何守恒律[15-17]的表達(dá)式計(jì)算. 針對(duì)網(wǎng)格移動(dòng)以后距離函數(shù)的插值提出了基于泰勒插值的三階非守恒格式. 計(jì)算結(jié)果表明,本文的算法在保持較高的精度的同時(shí)也削弱了間斷處的數(shù)值振蕩,大幅提升了間斷的分辨率.

        1 控制方程

        1.1 物理空間下的控制方程

        可壓縮歐拉方程在物理空間的張量形式為

        1.2 弧長(zhǎng)空間下的控制方程

        可以看出,所有的表達(dá)式均是守恒格式,因此方便用中心差分格式計(jì)算,從而可以消除因網(wǎng)格變形造成的幾何誤差.

        2 偽弧長(zhǎng)算法

        2.1 偽弧長(zhǎng)算法幾何意義

        為了削弱方程的奇異性,通過引入一個(gè)弧長(zhǎng)約束方程,即

        其中s為弧長(zhǎng)變量. 可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)弧長(zhǎng)變量為常值時(shí),dw越大,則 dx越小,它的物理意義就是物理空間下變量的梯度越大,網(wǎng)格的尺寸越小,也就是網(wǎng)格朝著間斷點(diǎn)移動(dòng). 相關(guān)的幾何意義參見圖1,從圖中可以看出,經(jīng)過引入弧長(zhǎng)約束方程,使得網(wǎng)格自適應(yīng)朝著間斷移動(dòng),原始物理空間下陡峭的物理量在弧長(zhǎng)空間中得到了平滑的過渡,因此削弱了方程的奇異性.

        圖1 1D 偽弧長(zhǎng)算法的幾何意義Fig. 1 Geometric significance of one-dimensional PALM

        二維空間和一維空間類似,基于維度解耦的思想,引入兩個(gè)弧長(zhǎng)約束方程,把它寫成向量的形式,即

        相關(guān)的幾何示意圖如圖2 所示. 它和一維情況下的物理意義類似,都是引入約束方程使得網(wǎng)格朝著間斷移動(dòng),在物理空間的表現(xiàn)形式就是網(wǎng)格匯聚到了間斷附近,然后再弧長(zhǎng)空間下網(wǎng)格依舊是正交均勻的.

        圖2 2D 偽弧長(zhǎng)算法的幾何意義Fig. 2 Geometric significance of two-dimensional PALM

        2.2 偽弧長(zhǎng)算法網(wǎng)格移動(dòng)

        偽弧長(zhǎng)算法的網(wǎng)格滿足一個(gè)能量極值函數(shù):

        然后可以給出滿足弧長(zhǎng)控制函數(shù)的網(wǎng)格迭代方程(8),即

        至此,網(wǎng)格便可以采用數(shù)值方法迭代計(jì)算,例如采用收斂較快的高斯-賽德爾迭代,格式如下.

        3 數(shù)值格式

        3.1 控制方程的離散

        3.2 守恒變量的更新

        網(wǎng)格移動(dòng)完以后,需要更新在新網(wǎng)格上的物理量,本文采用守恒插值[6]來計(jì)算:

        4 Level-Set 技術(shù)

        4.1 控制方程的離散

        4.2 距離函數(shù)的非守恒插值

        網(wǎng)格移動(dòng)完以后,需要更新新網(wǎng)格點(diǎn)上的Level-Set 值,本文基于泰勒插值,給出三階插值的表達(dá)式,由于新舊網(wǎng)格間距較小,因此將新網(wǎng)格點(diǎn)在舊網(wǎng)格點(diǎn)作泰勒展開,有:

        由于計(jì)算過程是在弧長(zhǎng)坐標(biāo)系下,因此將上式映射至弧長(zhǎng)空間,可得:

        4.3 多介質(zhì)流高精度偽弧長(zhǎng)算法流程

        ⑤根據(jù)式(10)和(18)進(jìn)行控制方程以及符號(hào)距離函數(shù)在時(shí)間步上的更新. 更新完以后根據(jù)距離函數(shù)的符號(hào)來重新分配兩種介質(zhì).

        ⑥判定計(jì)算時(shí)間是否到達(dá). 若到達(dá),則終止計(jì)算,否則轉(zhuǎn)到步驟①.

        5 數(shù)值算例

        為便于計(jì)算,以下算例計(jì)算均采用無量綱計(jì)算.

        5.1 精度測(cè)試

        用一個(gè)包含精確解的一維的Euler 方程來驗(yàn)證高階偽弧長(zhǎng)算法PALM-5 的收斂精度. 初值條件和精確解為

        從表1 的計(jì)算結(jié)果可以看出,弧長(zhǎng)坐標(biāo)系下的高階偽弧長(zhǎng)算法保證了較高的精度,沒有因?yàn)榫W(wǎng)格的變形而損失精度. 這說明本文的算法滿足了高精度的性質(zhì).

        表1 固定網(wǎng)格下WENO 和PALM-5 的收斂階Tab. 1 The accuracy of WENO, PALM-5 schemes

        5.2 一維爆炸波

        除圖3(g)和3(h)算例以外其余均采用的網(wǎng)格數(shù)目是300,參照解是在WENO 格式下用20 000 個(gè)網(wǎng)格計(jì)算得到的. 從圖3(a)和(3b)中可以看出,采用相同的格式偽弧長(zhǎng)算法比固定網(wǎng)格的算法分辨率要高很多,對(duì)間斷的捕捉能力很強(qiáng). 而且5 階偽弧長(zhǎng)算法比2 階偽弧長(zhǎng)算法分辨率更高,對(duì)間斷的捕捉能力要高很多,耗散很低. 對(duì)比圖3(c)和3(d)可以看出采用不同的偽弧長(zhǎng)參數(shù)得到的結(jié)果差異較大,本算例中第二套系數(shù)的分辨率要優(yōu)于第一套系數(shù),可以從圖3(e)和3(f)中看出,第二套系數(shù)網(wǎng)格移動(dòng)的更加劇烈,因此對(duì)間斷捕捉的分辨率更高. 因此為了提高分辨率,可以適當(dāng)?shù)恼{(diào)整偽弧長(zhǎng)控制函數(shù). 圖3(g)和3(h)均采用了220 和440 個(gè)網(wǎng)格數(shù)進(jìn)行對(duì)比,可以看出,PALM-5 在220 個(gè)網(wǎng)格數(shù)目下和WENO 在440 個(gè)網(wǎng)格數(shù)目下的近似分辨率幾乎完全相同,而從表2中可以看出采用PALM-5 算法在近似分辨率下需要的時(shí)間大大縮短.

        表2 近似分辨率下WENO 和PALM-5 的時(shí)間對(duì)比Tab. 2 Time comparison of WENO and PALM-5 at approximate resolution

        圖3 爆炸波問題的結(jié)果Fig. 3 Results of blast wave problem

        5.3 一維激波擊打氣-氣問題

        這是一個(gè)激波擊打氣-氣界面問題的多介質(zhì)算例,初值條件為

        5.4 二維水下爆炸

        從計(jì)算結(jié)果可以看出,兩種計(jì)算結(jié)果的對(duì)稱性都比較好,但是固定網(wǎng)格下捕捉到的界面擴(kuò)散嚴(yán)重,而偽弧長(zhǎng)算法下界面銳利清楚,且解的光滑性非常好,由于狀態(tài)方程以及物理量的巨大差異,因此固定網(wǎng)格下的結(jié)果在界面附近有輕微的數(shù)值震蕩,而采用偽弧長(zhǎng)算法計(jì)算的結(jié)果非常光滑,完全消除了數(shù)值震蕩,如圖5 所示. 從圖5(c)中可以看出網(wǎng)格的自適應(yīng)性非常好,而且網(wǎng)格足夠光滑,沒有出現(xiàn)間斷的網(wǎng)格點(diǎn).

        圖5 水下爆炸結(jié)果Fig. 5 Results of two-dimensional underwater explosion problem

        6 結(jié) 論

        將偽弧長(zhǎng)算法和高階WENO 格式相結(jié)合發(fā)展了高精度偽弧長(zhǎng)算法,結(jié)合RGFM 和Level-Set 將其應(yīng)用到多介質(zhì)的計(jì)算中. 為了構(gòu)造高精度的數(shù)值格式,所有的計(jì)算均在坐標(biāo)變換之后的弧長(zhǎng)坐標(biāo)系下計(jì)算,此外,在多介質(zhì)的計(jì)算中,為了使的距離函數(shù)保持物理性質(zhì),采用了法向速度的表達(dá)式,針對(duì)網(wǎng)格移動(dòng)以后距離函數(shù)的插值,給出了3 階的非守恒插值形式.根據(jù)數(shù)值算例,得出以下結(jié)論:

        ①經(jīng)過坐標(biāo)變換以后,高精度偽弧長(zhǎng)算法仍舊可以保持較高的精度;

        ②爆炸波算例說明高階偽弧長(zhǎng)算法比低階偽弧長(zhǎng)算法捕捉界面的分辨率更高,而且相對(duì)固定網(wǎng)格下結(jié)果提升顯著,在近似分辨率下偽弧長(zhǎng)算法需要的時(shí)間大大縮短,計(jì)算效率較高;

        ③多介質(zhì)算例說明,高精度的偽弧長(zhǎng)算法結(jié)合RGFM 可以成功的計(jì)算多介質(zhì)問題,并且有效降低了界面以及其他間斷處的數(shù)值震蕩,使得解的光滑性非常好,網(wǎng)格自適應(yīng)朝著間斷移動(dòng),使得解捕捉間斷的能力非常強(qiáng). 解決了低階格式耗散強(qiáng),高階格式震蕩強(qiáng)的問題. 發(fā)展了高分辨率,低震蕩的算法.

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