李香港

（天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300384）

形狀記憶合金是一種智能材料，以其特有的形狀記憶效應(yīng)和偽彈性[1]，被廣泛用于機(jī)械、土木、醫(yī)療器械、航天等多領(lǐng)域，目前對(duì)于形狀記憶合金結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的研究已普遍展開。文獻(xiàn)[2]根據(jù)形狀記憶合金多項(xiàng)式函數(shù)本構(gòu)關(guān)系，建立了形狀記憶合金梁橫向振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程，利用平衡態(tài)定性分析法分析討論了外載荷、溫度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力穩(wěn)定性的影響；文獻(xiàn)[3]引入范德波爾項(xiàng)，建立了形狀記憶合金遲滯非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了隨機(jī)激勵(lì)下形狀記憶合金懸臂梁的分岔特性；文獻(xiàn)[4]研究了動(dòng)態(tài)載荷下形狀記憶合金梁的響應(yīng)特性；文獻(xiàn)[5]基于動(dòng)力學(xué)奇異性理論，研究了形狀記憶合金層合梁的分岔現(xiàn)象，分析了激勵(lì)參數(shù)、形狀記憶合金層厚度等因素對(duì)系統(tǒng)減振效果的影響。本文針對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)的形狀記憶合金矩形薄板進(jìn)行分析，研究系統(tǒng)發(fā)生主共振時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，分析薄板尺寸、外載荷、軸向運(yùn)動(dòng)速度等因素對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。

1 軸向運(yùn)動(dòng)形狀記憶合金矩形薄板的動(dòng)力學(xué)方程

1.1 形狀記憶合金多項(xiàng)式本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，將形狀記憶合金應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表示為一個(gè)五次多項(xiàng)式，即：

式（1）中：a1、a2、a3為多項(xiàng)式系數(shù)；T為溫度；TM為馬氏體相變溫度。

馬氏體臨界溫度以下，馬氏體相穩(wěn)定；奧氏體臨界溫度以上，奧氏體相穩(wěn)定。應(yīng)用多項(xiàng)式函數(shù)來表示形狀記憶合金本構(gòu)關(guān)系更容易得到復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。

1.2 軸向運(yùn)動(dòng)形狀記憶合金矩形薄板的動(dòng)力學(xué)建模

假設(shè)形狀記憶合金矩形薄板長(zhǎng)為a，寬為b，厚度為h，密度為ρ，阻尼系數(shù)為c，薄板在x軸方向的移動(dòng)速度為v，如圖1所示。

圖1 軸向運(yùn)動(dòng)形狀記憶合金矩形薄板示意圖

軸向運(yùn)動(dòng)矩形薄板的平衡方程為：

由式（1）可知，對(duì)于薄板，非線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為：

式（3）中：μ為泊松比；εx、εy、γxy為應(yīng)變分量。

設(shè)u0、v0為薄板中面沿x、y軸的位移，可得：

薄板的幾何方程為：

厚度為h的矩形板的內(nèi)力矩表達(dá)式為：

將式（4）代入式（3）中，可得非線性應(yīng)力-應(yīng)變表達(dá)式，再將3個(gè)表達(dá)式代入式（5），對(duì)Z坐標(biāo)沿厚度h的方向進(jìn)行積分，最后將結(jié)果代入式（2）中得軸向運(yùn)動(dòng)形狀記憶合金薄板的振動(dòng)方程，為：

式（6）中：

2 系統(tǒng)受迫振動(dòng)分析

2.1 四邊簡(jiǎn)支邊界下薄板的振動(dòng)微分方程

假設(shè)強(qiáng)迫激勵(lì)P=fcos（ω0t），考慮四邊簡(jiǎn)支薄板的邊界條件，取位移模式如下：

通過伽遼金法將振動(dòng)方程及位移模式離散化，可得振動(dòng)微分方程：

式（7）中：

2.2 多尺度法求解

應(yīng)用多尺度法進(jìn)行求解，引入小參數(shù)ε，微分方程表示為如下形式：

矩形薄板的橫向位移展開式：

將式（9）代入（8）中，并忽略ε的高階項(xiàng)，得：

方程的通解為：

將通解（11）代入式（10）中，并消除久期項(xiàng)，可得：

將A表示為極坐標(biāo)形式：

式（13）中：a為幅值；θ為相角。

將式（14）（15）代入式（13）中，分離實(shí)部和虛部，并引入新的變量γ=σT1－θ，對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)情況，令˙＝γ˙＝0a，得到a和γ的常值解。

可以得到薄板系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程：

式（16）中：a為共振幅值；σ為頻率。

3 數(shù)值算例與結(jié)果分析

對(duì)于形狀記憶合金薄板，給定參數(shù)如下：c=0.2，a1=523 MPa，a2=1.868×107MPa，a3=2.186×109MPa，TM=287 K，μ=0.3，ρ=2.89×103kg/m3，h=0.05 m。用四階龍格庫塔法對(duì)多尺度法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證后的主共振幅頻曲線圖如圖2所示。取參數(shù)a=0.5 m，b=0.5 m，v=1 m/s，P=5 kN。圖2 中，星號(hào)為數(shù)值計(jì)算結(jié)果，由圖2 可以看出，仿真結(jié)果與多尺度法所求的解吻合較好。

圖2 主共振幅頻曲線圖

3 種不同尺寸下軸向運(yùn)動(dòng)形狀記憶合金矩形薄板的響應(yīng)曲線如圖3所示，由圖3 可見，薄板尺寸大小對(duì)系統(tǒng)主共振幅頻響應(yīng)曲線的幅度有重要的影響，小尺寸薄板響應(yīng)曲線的幅度要遠(yuǎn)小于大尺寸薄板響應(yīng)曲線的幅度。也就是說，當(dāng)薄板尺寸減小時(shí)，響應(yīng)幅值會(huì)出現(xiàn)不同程度的減小。所以，在實(shí)際應(yīng)用中，可通過減小尺寸來降低薄板主共振振動(dòng)幅度。

圖3 薄板尺寸對(duì)幅頻響應(yīng)的影響

不同軸向運(yùn)動(dòng)速度下形狀記憶合金薄板系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖4所示。隨著軸向運(yùn)動(dòng)速度的增大，曲線沿頻率方向發(fā)生明顯的平移，但幅值未發(fā)生明顯變化。這表明，軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化會(huì)對(duì)共振頻率產(chǎn)生一定的影響，但并沒有使響應(yīng)曲線發(fā)生定性變化。

圖4 軸向運(yùn)動(dòng)速度對(duì)幅頻響應(yīng)的影響

不同外載荷下軸向運(yùn)動(dòng)形狀記憶合金薄板系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖5所示。由圖5 可見，隨著外載荷增大，響應(yīng)曲線沿頻率方向發(fā)生平移。與軸向運(yùn)動(dòng)速度相似，外載荷變化只影響共振頻率，未對(duì)響應(yīng)曲線產(chǎn)生定性影響。

圖5 外載荷對(duì)幅頻響應(yīng)的影響

4 結(jié)論

本文研究了軸向運(yùn)動(dòng)形狀記憶合金矩形薄板在外載荷作用下的主共振問題，推導(dǎo)了矩形薄板的振動(dòng)微分方程。并通過多尺度法求得薄板系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程。對(duì)系統(tǒng)的主共振問題進(jìn)行數(shù)值分析，結(jié)果顯示：薄板尺寸增加，振動(dòng)幅值增大；軸向運(yùn)動(dòng)速度與外載荷只影響共振頻率，軸向運(yùn)動(dòng)速度增大，共振頻率增大；外載荷增大，共振頻率減小。