卜祥偉，姜寶續(xù)

(1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安，710051；2.空軍工程大學(xué)研究生院，西安，710051)

自動(dòng)控制技術(shù)使人類從繁重的體力勞動(dòng)中解放出來，實(shí)現(xiàn)了從“手動(dòng)”到“自動(dòng)”的巨大跨越[1-2]。自動(dòng)控制技術(shù)也是當(dāng)今世界發(fā)展最快，影響最深遠(yuǎn)的技術(shù)之一。自動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的核心是通過尋找合適的反饋控制律，使得閉環(huán)控制系統(tǒng)的輸出定量或定性地滿足“穩(wěn)”“準(zhǔn)”“快”等方面的性能指標(biāo)要求。對(duì)于能控且能觀的線性定常系統(tǒng)，總能找到合適的反饋控制律，對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)進(jìn)行任意配置，從而對(duì)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)進(jìn)行任意地定量設(shè)計(jì)。然而，對(duì)于非線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)基于Lyapunov理論的反饋控制策略，通常僅能將穩(wěn)態(tài)誤差最終或在有限時(shí)間內(nèi)調(diào)節(jié)到一個(gè)大小可調(diào)的緊集內(nèi)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)穩(wěn)態(tài)性能的定性設(shè)計(jì)，但卻無法對(duì)收斂時(shí)間、超調(diào)量等動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)進(jìn)行定量或定性設(shè)計(jì)[3]。

至于如何保證非線性控制系統(tǒng)同時(shí)具備滿意的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度，IEEE Fellow、加拿大Davison教授早在1991年就進(jìn)行了初步探索[4]。之后，德國(guó)學(xué)者Ilchmann等人[5]于2002年創(chuàng)立了漏斗控制(funnel control, FC)理論，謀求通過設(shè)計(jì)不依賴系統(tǒng)模型的高增益控制律來保證控制誤差期望的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。但是，由于限制條件太過苛刻，F(xiàn)C僅適用于極少數(shù)的一類特殊系統(tǒng)[5-6]。為此，在FC的基礎(chǔ)上，希臘學(xué)者Bechlioulis等人又于2008年演化發(fā)展出了預(yù)設(shè)性能控制(prescribed performance control, PPC)理論[7]。PPC基于“性能函數(shù)設(shè)計(jì)”與“誤差等價(jià)變換”的基本框架，可與現(xiàn)存幾乎所有的控制理論相結(jié)合，從而設(shè)計(jì)出多種多樣的控制律形式，將控制誤差始終限定在預(yù)設(shè)的約束包絡(luò)內(nèi)，以便同時(shí)保證控制誤差期望的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。因此，近年來PPC已經(jīng)成為控制領(lǐng)域的一個(gè)前沿?zé)狳c(diǎn)方向，引起了國(guó)內(nèi)外科技人員的格外關(guān)注。

1 PPC概述

PPC突破了傳統(tǒng)控制理論無法約束控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的限制，實(shí)現(xiàn)了對(duì)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的約束與調(diào)節(jié)，在保證理想控制精度的同時(shí)，兼顧超調(diào)量與調(diào)節(jié)時(shí)間等動(dòng)態(tài)性能，可以保證控制系統(tǒng)具有較好的過渡品質(zhì)。所謂預(yù)設(shè)性能是指將跟蹤誤差限定在一個(gè)預(yù)先設(shè)定的可調(diào)區(qū)域內(nèi)，以保證跟蹤誤差收斂過程的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能滿足預(yù)先設(shè)定的要求[7]。PPC的基本思想是設(shè)計(jì)性能函數(shù)ρ(t)∈R>0對(duì)跟蹤誤差e(t)的收斂軌跡進(jìn)行限定，通過為ρ(t)選擇特定的設(shè)計(jì)參數(shù)來保證e(t)具有滿意的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度，見圖1。

圖1 PPC對(duì)誤差e(t)的包絡(luò)約束示意圖

1.1 性能函數(shù)

文獻(xiàn)[7]將ρ(t)設(shè)計(jì)為ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-lt+ρ∞，這里，ρ0>ρ∞>0,l∈R>0為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

如果誤差初值e(0)為已知，則采用ρ(t)對(duì)e(t)進(jìn)行如下包絡(luò)約束:

(1)

0≤δ≤1為待設(shè)計(jì)參數(shù)，由于工程實(shí)際中e(0)=0的情況很少見，文獻(xiàn)[7]中未考慮。

注1：以0<|e(0)|<ρ(0)為例，則ρ∞表示e(t)穩(wěn)態(tài)值的上界，δρ(0)表示e(t)允許的最大超調(diào)，ρ(t)的收斂速度直接影響e(t)的調(diào)節(jié)時(shí)間。因此，若能將e(t)限定在圖1與式(1)所示的區(qū)域內(nèi)，就可通過為ρ(t)選擇合適的設(shè)計(jì)參數(shù)，來保證e(t)具有滿意的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。

1.2 誤差變換

由于無法直接針對(duì)式(1)設(shè)計(jì)控制律，故引入誤差變換函數(shù)S(ε(t))，將受約束系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為如下不受約束的等價(jià)系統(tǒng)：

e(t)=ρ(t)S(ε(t))

(2)

式中：ε(t)∈R為轉(zhuǎn)換誤差，S(ε(t))的表達(dá)式為：

(3)

式(3)的逆變換為：

(4)

引理1[7]：如果轉(zhuǎn)換誤差ε(t)有界，則預(yù)設(shè)性能(1)可達(dá)，即對(duì)于任意e(0)滿足式(1)，則跟蹤誤差e(t)始終位于預(yù)設(shè)的約束包絡(luò)(1)內(nèi)。

實(shí)際的控制律是基于式(4)設(shè)計(jì)的，且控制律設(shè)計(jì)用到的是轉(zhuǎn)換誤差ε(t)而非跟蹤誤差e(t)。引理1表明，只要轉(zhuǎn)換誤差ε(t)有界，便能保證e(t)具有期望的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。

2 PPC的脆弱性缺陷

近年來，PPC理論得到了快速發(fā)展，取得了一大批可喜的研究成果[8-10]。研究者們注意到Bechlioulis[7]的約束包絡(luò)(1)需要根據(jù)e(0)的符號(hào)分情況進(jìn)行構(gòu)造，由此導(dǎo)致控制律也要根據(jù)e(0)的正、負(fù)情況重復(fù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，這其中可能還要涉及不同情形的控制切換問題。這種對(duì)e(0)的依賴問題嚴(yán)重制約了其工程實(shí)用性。為此，文獻(xiàn)[11～12]設(shè)計(jì)了一種新型性能函數(shù)，通過設(shè)定一個(gè)充分大的性能函數(shù)初值，使PPC擺脫了對(duì)誤差初值的依賴，在一定程度了增強(qiáng)了算法的可操作性。但是，過大的性能函數(shù)初值極易造成超調(diào)量失控，導(dǎo)致跟蹤誤差的動(dòng)態(tài)性能不理想。為了克服這個(gè)缺陷，文獻(xiàn)[13～14]利用符號(hào)函數(shù)的性質(zhì)，將傳統(tǒng)性能函數(shù)[7]改進(jìn)為一種能夠保證跟蹤誤差小超調(diào)收斂的新型約束形式；相關(guān)仿真結(jié)果表明，該方法可以保證跟蹤誤差小超調(diào)甚至無超調(diào)收斂。傳統(tǒng)PPC約束包絡(luò)[8-14]的收斂時(shí)間需要綜合利用性能函數(shù)的所有設(shè)計(jì)參數(shù)才能定性地確定一個(gè)大致的范圍，因此很難對(duì)跟蹤誤差的收斂時(shí)間進(jìn)行定量約束。為此，文獻(xiàn)[15～16]在充分借鑒有限時(shí)間滑?？刂葡嚓P(guān)思想的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了有限/固定時(shí)間性能函數(shù)，保證了跟蹤誤差在任意設(shè)定的時(shí)間內(nèi)收斂到穩(wěn)態(tài)。上述PPC方法僅能定性地或部分定量地保證跟蹤誤差期望的預(yù)設(shè)性能，鑒于此，文獻(xiàn)[17]將小超調(diào)PPC與有限時(shí)間PPC相結(jié)合，為乘波體飛行器提出了一種定量PPC新方法，能夠保證跟蹤誤差具有任意設(shè)定的收斂時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差，并且超調(diào)量近似為零。除此之外，PPC在輸入受限系統(tǒng)[18-19]與受擾系統(tǒng)[19-20]也有較多應(yīng)用。但是，應(yīng)當(dāng)特別指出的是，現(xiàn)有PPC在處理控制執(zhí)行器飽和、受擾等問題時(shí)，極易誘發(fā)控制奇異問題，表現(xiàn)出十分明顯的脆弱性缺陷。所謂脆弱性[21-22]，是指當(dāng)控制執(zhí)行器突發(fā)飽和或受擾時(shí)，即便采取及時(shí)有效的補(bǔ)償措施，控制誤差相對(duì)于飽和與擾動(dòng)出現(xiàn)之前也會(huì)有明顯的瞬時(shí)增加[19,21-22]；當(dāng)控制誤差因增大而逐漸接近甚至越過約束包絡(luò)時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致控制奇異、閉環(huán)系統(tǒng)失穩(wěn)進(jìn)而控制失效、預(yù)設(shè)性能不可達(dá),見圖2。

圖2 PPC的脆弱性示意圖

以執(zhí)行器飽和為例，分析PPC的脆弱性成因。PPC以轉(zhuǎn)換誤差ε(t)作為反饋?zhàn)兞?，?gòu)造反饋控制律u(ε(t))，將跟蹤誤差e(t)限定在式(1)所示的約束包絡(luò)內(nèi)。將執(zhí)行器飽和定義為:

(5)

圖3 e(t)靠近束包絡(luò)時(shí)ε(t)變化示意圖

盡管文獻(xiàn)[18～20,23～24]的PPC方法也涉及執(zhí)行器飽和與外部擾動(dòng)等問題，仿真結(jié)果似乎表明方法依然有效。但是，應(yīng)當(dāng)清楚看到，上述方法僅考慮極短時(shí)間內(nèi)的執(zhí)行器飽和或較平緩的外部擾動(dòng)，飽和與擾動(dòng)還尚未引起足夠明顯的誤差波動(dòng)，故未能呈現(xiàn)出PPC的脆弱性缺陷?？紤]到幾乎所有的控制系統(tǒng)都或多或少存在執(zhí)行器飽和與受擾等問題，PPC的脆弱性缺陷已經(jīng)成為制約其理論發(fā)展與工程應(yīng)用的技術(shù)瓶頸，是PPC走向工程實(shí)用所必須邁過的“鴻溝”。因此，探索非脆弱PPC新理論已經(jīng)迫在眉睫。

3 非脆弱PPC新理論基本構(gòu)想

由PPC脆弱性成因分析可見，執(zhí)行器飽和、受擾等因素導(dǎo)致PPC控制奇異的一個(gè)關(guān)鍵原因是傳統(tǒng)的預(yù)設(shè)約束包絡(luò)不具備再調(diào)整能力，即預(yù)設(shè)約束包絡(luò)不能實(shí)時(shí)“感知”由執(zhí)行器飽和與受擾等因素引起的誤差波動(dòng)情況，也不能根據(jù)誤差e(t)的波動(dòng)情況，有針對(duì)性地自動(dòng)調(diào)整預(yù)設(shè)約束包絡(luò)，導(dǎo)致誤差因接近甚至到達(dá)預(yù)設(shè)約束的上、下包絡(luò)而造成控制奇異,見圖2(c)。

基于以上分析，給出非脆弱PPC新理論的基本構(gòu)想。所謂非脆弱PPC，是指預(yù)設(shè)約束包絡(luò)能夠自主感知誤差波動(dòng)，自動(dòng)調(diào)整約束包絡(luò)，從而確?？刂茍?zhí)行器飽和、受擾等情形下預(yù)設(shè)性能始終可達(dá)的PPC新理論[9,21-22],見圖4。為了達(dá)成非脆弱PPC的上述設(shè)想，需要突破誤差感知、包絡(luò)調(diào)整與預(yù)設(shè)可達(dá)等一系列的基礎(chǔ)性問題。

3.1 誤差感知

誤差感知，是指PPC能夠?qū)崟r(shí)“感知”跟蹤誤差的波動(dòng)態(tài)勢(shì)，即確定跟蹤誤差是否存在靠近約束上包絡(luò)或下包絡(luò)從而導(dǎo)致控制奇異的風(fēng)險(xiǎn)隱患。為了確保能夠準(zhǔn)確感知誤差波動(dòng)情況，需要事先剖析控制執(zhí)行器飽和、受擾等引起誤差波動(dòng)的根本原因，進(jìn)而探究約束包絡(luò)對(duì)誤差波動(dòng)的自主感知模式，從而構(gòu)建的自主感知方案。

圖4 非脆弱PPC關(guān)鍵技術(shù)構(gòu)想示意圖

3.2 包絡(luò)調(diào)整

包絡(luò)調(diào)整，是指在準(zhǔn)確感知誤差波動(dòng)態(tài)勢(shì)的基礎(chǔ)上，PPC能夠自動(dòng)調(diào)整預(yù)設(shè)約束包絡(luò)的形狀(比如，當(dāng)“感知”到誤差增大時(shí)，可以自適應(yīng)地增大約束上包絡(luò)，減小約束下包絡(luò)，以避免控制奇異)，以保證跟蹤誤差始終位于約束包絡(luò)內(nèi)。為了達(dá)成這個(gè)目標(biāo)，需要針對(duì)控制執(zhí)行器飽和、受擾等導(dǎo)致的誤差波動(dòng)問題，分類研究和制定約束包絡(luò)的調(diào)整方案。還要尋找導(dǎo)致誤差波動(dòng)的關(guān)鍵變量，探索約束包絡(luò)調(diào)整項(xiàng)的構(gòu)造方法。

3.3 預(yù)設(shè)可達(dá)

預(yù)設(shè)可達(dá)，是指在預(yù)設(shè)約束包絡(luò)再調(diào)整的情形下，將跟蹤誤差約束在約束包絡(luò)內(nèi)應(yīng)當(dāng)滿足的相關(guān)條件。為了避免飽和、擾動(dòng)等導(dǎo)致的PPC奇異問題，需要在準(zhǔn)確感知誤差波動(dòng)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)調(diào)整項(xiàng)對(duì)約束包絡(luò)(由性能函數(shù)構(gòu)造)進(jìn)行修正，修正以后的性能函數(shù)不再滿足傳統(tǒng)PPC中必須為連續(xù)單調(diào)遞減的限制條件。對(duì)于這種跳出現(xiàn)有PPC理論框架之外的特殊情形，還需要研究采用何種補(bǔ)償措施、構(gòu)建何種反饋控制方案，才能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定和轉(zhuǎn)換誤差有界，從而保證預(yù)設(shè)性能是可達(dá)的。

4 非脆弱PPC應(yīng)用案例

根據(jù)非脆弱PPC新理論的上述構(gòu)想，基于筆者的前期成果[24]，給出非脆弱PPC可行的技術(shù)方案。

4.1 受擾動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的非脆弱PPC方案

考慮如下受擾動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

(6)

控制目標(biāo)為：設(shè)計(jì)虛擬控制律x2d與實(shí)際控制律u，使得x1跟蹤其參考指令x1d，x2跟蹤x2d，并且跟蹤誤差e1=x1-x1d、e2=x2-x2d滿足如下預(yù)設(shè)性能[24]：

(7)

式中：

Pl1=[sign(e1(0))-0.5]ρ1-0.3sign(e1(0))；

Pr1=[sign(e1(0))+0.5]ρ1-0.3sign(e1(0))；

Pl2=[sign(e2(0))-0.5]ρ2-0.15sign(e2(0))；

Pr2=[sign(e2(0))+0.5]ρ2-0.15sign(e2(0))；

ρ1=(2.5-0.3)exp(-0.4t)+0.3；

ρ2=(2.5-0.15)exp(-0.4t)+0.15。

轉(zhuǎn)換誤差為[24]：

(8)

鑒于文獻(xiàn)[24]的傳統(tǒng)PPC不具備約束包絡(luò)自調(diào)整能力，當(dāng)遭遇足夠強(qiáng)度外部擾動(dòng)d1(t)、d2(t)時(shí)，極易造成控制奇異，表現(xiàn)出明顯的脆弱性缺陷。為此，基于前文非脆弱PPC新理論的相關(guān)構(gòu)想，對(duì)文獻(xiàn)[24]方法進(jìn)行改進(jìn)，給出一種非脆弱PPC的可行方案。

對(duì)文獻(xiàn)[24]的預(yù)設(shè)性能式(7)進(jìn)行改進(jìn):

(9)

式中:Re,1(t)∈R≥0、Re,2(t)∈R≥0為自適應(yīng)調(diào)整項(xiàng),

Re,i(t)公式表示如下，式中τ1,e,i=5,τ2,e,i=1/3,i=1,2。

基于非脆弱預(yù)設(shè)性能(式(9))，對(duì)轉(zhuǎn)換誤差(式(8))修正，見式(10)：

(10)

閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明過程見文獻(xiàn)[24]，文中不再贅述。

4.2 輸入受限動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的非脆弱PPC方案

考慮如下輸入受限的倒立擺系統(tǒng)[25]:

(11)

式中：mc=1 kg，m=0.1 kg，l=0.5 m，g=9.8 m/s2。

假設(shè)u∈R受到如下飽和約束：

(12)

式中：ud為u的期望值，um與uM分別為u的下界與上界。

σlow(t)-φr

(13)

式中:

φr=c2tanh (abs(c1,1x1))

其中，α=2，T=2，p0=π/50，pT=π/600，c2=0.2，c1,1=0.1；x1為如下輔助系統(tǒng)的狀態(tài):

(14)

式中:Λ1(x1)=(ex1-1)/(ex1+1);a1=5。

定義轉(zhuǎn)換誤差Tz∈R:

(15)

為s2(t)選取如下參考指令:

(16)

式中:kT=1.5。

(17)

式中：kz=2。

注3：針對(duì)輸入受限問題，所設(shè)計(jì)的非脆弱預(yù)設(shè)約束包絡(luò)(13)含有一個(gè)自適應(yīng)調(diào)整項(xiàng)φr∈R≥0。以x1作為感知變量，當(dāng)執(zhí)行器處于飽和時(shí)，有x1≠ 0，φr=c2tanh (|c1,1x1|)>0。則φr能夠準(zhǔn)確感知控制輸入的飽和情況，并自適應(yīng)地增大約束上包絡(luò)并減小約束下包絡(luò)(調(diào)整幅值為c2tanh (|c1,1x1|))，從而確保跟蹤誤差始終位于約束包絡(luò)內(nèi)，保證了預(yù)設(shè)性能的可達(dá)性，并克服了傳統(tǒng)PPC的脆弱性缺陷。

5 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證非脆弱PPC相對(duì)于傳統(tǒng)PPC的優(yōu)越性，采用MATLAB/Simulink軟件進(jìn)行數(shù)字仿真，采用四階龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行求解，仿真步長(zhǎng)均為0.01 s。

5.1 受擾動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的非脆弱PPC仿真

分別在以下兩種情景下進(jìn)行仿真。

情景1：采用文獻(xiàn)[24]的PPC進(jìn)行仿真，且不考慮外部擾動(dòng)，仿真結(jié)果如圖5～8所示。

情景2：采用本文的非脆弱PPC進(jìn)行仿真，且考慮外部擾動(dòng)，并取d1(t)=2sin(0.02πt)、d2(t)= 2sin(0.02πt)，仿真結(jié)果如圖9～12所示。

圖5 x1對(duì)其參考指令的跟蹤效果(情景1)

圖6 x2對(duì)其參考指令的跟蹤效果(情景1)

圖7 跟蹤誤差e1(情景1)

圖8 跟蹤誤差e2(情景1)

圖9 x1對(duì)其參考指令的跟蹤效果(情景2)

圖10 x2對(duì)其參考指令的跟蹤效果(情景2)

圖11 跟蹤誤差e1(情景2)

圖12 跟蹤誤差e2(情景2)

由圖5～8可見，當(dāng)沒有外部擾動(dòng)時(shí)，文獻(xiàn)[24]的傳統(tǒng)PPC能夠?qū)崿F(xiàn)x1、x2對(duì)其參考指令的精確跟蹤，并且，跟蹤誤差e1、e2始終位于約束包絡(luò)(7)內(nèi)，具有滿意的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。但是，圖11～12表明，當(dāng)存在外部擾動(dòng)時(shí)，文獻(xiàn)[24]的傳統(tǒng)PPC無法將e1、e2限定在約束包絡(luò)(7)內(nèi)，將直接導(dǎo)致控制奇異，表現(xiàn)出明顯的脆弱性。圖9～12表明，即便存在外部干擾，所提出的非脆弱PPC仍能有效避免控制奇異問題。當(dāng)外部擾動(dòng)導(dǎo)致跟蹤誤差增加時(shí)，所提出的非脆弱PPC能夠自主感知誤差的變化趨勢(shì)，并自動(dòng)調(diào)整約束包絡(luò)(9)，即增大上包絡(luò)同時(shí)減小下包絡(luò)，使得跟蹤誤差始終位于約束包絡(luò)(9)內(nèi)，滿足期望的預(yù)設(shè)性能。綜上所述，仿真結(jié)果充分證明了本文非脆弱PPC的有效性以及相對(duì)于傳統(tǒng)方法的優(yōu)越性，能夠克服傳統(tǒng)PPC的脆弱性缺陷。

5.2 輸入受限動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的非脆弱PPC仿真

圖13 s1(t)對(duì)的跟蹤效果

圖14 跟蹤誤差

圖15 控制輸入與輔助系統(tǒng)的狀態(tài)

6 結(jié)語

針對(duì)現(xiàn)有PPC理論的脆弱性缺陷，系統(tǒng)闡述了非脆弱PPC新理論的基本構(gòu)想。通過對(duì)傳統(tǒng)PPC理論框架與關(guān)鍵技術(shù)的回顧，簡(jiǎn)要分析了導(dǎo)致其脆弱性問題的關(guān)鍵因素與作用機(jī)理。在此基礎(chǔ)上，探討了開辟非脆弱PPC新理論應(yīng)當(dāng)解決的關(guān)鍵基礎(chǔ)問題。最后，給出了非脆弱PPC新方法的技術(shù)實(shí)現(xiàn)方案。數(shù)值仿真結(jié)果證明了所提方案的有效性和相對(duì)于傳統(tǒng)PPC的優(yōu)越性。下一步，將針對(duì)PPC脆弱性的度量問題，開展相關(guān)算法優(yōu)化研究。