賀 瑩 王 丹 高 涵 馬 超 陳 曄

(天津仁愛(ài)學(xué)院機(jī)械工程系，天津 301636)

高速重載碼垛機(jī)器人已被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代化食品生產(chǎn)物流作業(yè)中。腰部轉(zhuǎn)臺(tái)是碼垛機(jī)器人用于帶動(dòng)腰部支架以及其上機(jī)械臂實(shí)現(xiàn)腰部回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)零件，往復(fù)運(yùn)動(dòng)頻繁，受載大且復(fù)雜。因此在腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，其強(qiáng)度、剛度和振動(dòng)穩(wěn)定性是需要保證的重要指標(biāo)，同時(shí)應(yīng)使其質(zhì)量盡可能小，以提高機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，降低能耗。

目前，有關(guān)機(jī)器人結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面的研究較多，但大多針對(duì)機(jī)械臂[1-4]，而針對(duì)腰部轉(zhuǎn)臺(tái)這類(lèi)基礎(chǔ)零件的研究卻相對(duì)較少。鑒于高速重載碼垛機(jī)器人的作業(yè)特點(diǎn)，針對(duì)其基礎(chǔ)性零件的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)需要在動(dòng)力學(xué)層面開(kāi)展研究，通過(guò)振動(dòng)激勵(lì)測(cè)試試驗(yàn)測(cè)得工作過(guò)程中的激勵(lì)力頻率，并與基礎(chǔ)性零件的固有頻率比較，判定動(dòng)力學(xué)性能優(yōu)化指標(biāo)。同時(shí)，結(jié)合靜力學(xué)分析開(kāi)展多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究[5-6]。

此外，通過(guò)多目標(biāo)優(yōu)化求解可以得到滿(mǎn)足優(yōu)化目標(biāo)的Pareto解集，該解集是一個(gè)包含多組優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的集合，需要通過(guò)構(gòu)建各項(xiàng)優(yōu)化指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，從Pareto解集中選擇出最滿(mǎn)意的優(yōu)化方案。權(quán)重系數(shù)通常由設(shè)計(jì)者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)定性地確定，比如平均分配法[7-8]或經(jīng)驗(yàn)賦權(quán)法[9-10]等，具有較強(qiáng)的主觀性。研究擬引入層次分析法(Analytic Hierarch Process，AHP)[11-12]，獲得各項(xiàng)性能指標(biāo)的權(quán)重，并提出一種基于有限元分析的層次分析法(AHP-FEA)，即依據(jù)有限元分析結(jié)果考察各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的重要性，以提高比較矩陣的客觀性，旨在形成一種更加科學(xué)，優(yōu)化效果更優(yōu)的權(quán)重系數(shù)分配方法。

1 研究方案

MD1200-YJ碼垛機(jī)器人的三維模型如圖1所示，該機(jī)器人的性能參數(shù)和機(jī)構(gòu)參照文獻(xiàn)[5-6]。腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的下部與腰關(guān)節(jié)RV減速器輸出端連接，其上部與腰部支架連接。伺服電機(jī)通過(guò)腰關(guān)節(jié)RV減速器驅(qū)動(dòng)腰部轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)而帶動(dòng)腰部支架以及其上安裝的機(jī)械臂實(shí)現(xiàn)腰關(guān)節(jié)的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

研究方案：建立腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的有限元模型，對(duì)腰部轉(zhuǎn)臺(tái)進(jìn)行靜力學(xué)分析、模態(tài)分析以及振動(dòng)激勵(lì)測(cè)試，確定優(yōu)化目標(biāo)、設(shè)計(jì)變量以及約束條件，利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)和響應(yīng)面法建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的近似模型，利用AHP-FEA方法獲得各項(xiàng)性能指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，建立綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)；利用NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行優(yōu)化求解；通過(guò)與常用的平均分配法和經(jīng)驗(yàn)法兩種賦權(quán)方法獲得的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證AHP-FEA方法的優(yōu)越性，并完成腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2 多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 有限元模型建立

腰部轉(zhuǎn)臺(tái)模型如圖2所示，質(zhì)量83.458 kg。

1. 腰部轉(zhuǎn)臺(tái) 2. 小臂驅(qū)動(dòng)臂 3. 小臂驅(qū)動(dòng)連桿 4. 水平保持連桿 5. 小臂 6. 大臂 7. 末端執(zhí)行器 8. 腰部支架 9. 機(jī)座圖1 MD1200-YJ碼垛機(jī)器人模型Figure 1 MD1200-YJ palletizing robot model

圖2 三維模型Figure 2 3D model

(1) 材料屬性：QT500-7，彈性模量1.62×1011Pa；泊松比0.3；抗剪模量6.27×1010Pa；密度7×103kg/m3；屈服強(qiáng)度3.2×108Pa[13]。

(2) 網(wǎng)格劃分：四面體網(wǎng)格，最大單元45.697 mm；最小單元9.139 mm；節(jié)點(diǎn)總數(shù)44 542；單元總數(shù)26 160。有限元模型，如圖3所示。

圖3 有限元模型Figure 3 Finite element model

2.2 腰部轉(zhuǎn)臺(tái)靜力學(xué)分析

2.2.1 施加位移約束 根據(jù)裝配關(guān)系，在腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的底面施加固定約束。

圖4 運(yùn)動(dòng)部件受力分析Figure 4 Force analysis of moving parts

(1)

∑Fz′=0FN=G1+G2，

(2)

(3)

(4)

2.2.3 靜力學(xué)分析求解 經(jīng)靜力學(xué)分析求解，腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的等效最大應(yīng)力為12.972 MPa，遠(yuǎn)小于材料的許用應(yīng)力；總變形量最大值約0.017 mm，如圖5和圖6所示，因此，腰部轉(zhuǎn)臺(tái)具備輕量化設(shè)計(jì)的潛力。

圖5 等效應(yīng)力Figure 5 Equivalent stress

圖6 總變形量Figure 6 Total deformation

2.3 振動(dòng)穩(wěn)定性分析

振動(dòng)穩(wěn)定性的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是使腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的固有頻率和外載荷激勵(lì)頻率互相遠(yuǎn)離，需要進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，包括模態(tài)分析和振動(dòng)激勵(lì)測(cè)試。模態(tài)分析可以獲得零件的固有頻率和振型，振動(dòng)激勵(lì)測(cè)試可以獲得機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，零件受到的外載荷激勵(lì)頻率。

2.3.1 模態(tài)分析 對(duì)于一個(gè)n自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程一般形式為

(5)

式中：

在系統(tǒng)自由振動(dòng)中，假設(shè)所有的質(zhì)量均做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則方程解的形式為

Xi=A(i)sin(ωnit+φi),i=1,2,3,…,n，

(6)

式中：

Xi、A(i)、ωni、φi——第i個(gè)振型的n個(gè)位移列陣、幅值向量、固有頻率(單位：rad/s)和相位角(單位：rad)。

將式(6)代入方程式(5)，得：

(7)

令

(8)

式(8)稱(chēng)為特征矩陣。

由式(7)可知，要使A有不全為零的解，則必須有

(9)

由式(9)可以求得n個(gè)固有頻率。

將各個(gè)固有頻率代入式(7)，可以求得相應(yīng)的主振型矢量A(i)。

n自由度振動(dòng)系統(tǒng)，具有n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型。各主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。

對(duì)式(7)右乘轉(zhuǎn)置A(i)T可以得到

(10)

由于M是正定的，K是正定或半正定的，由式(10)可以得到

(11)

由此可知，在保證結(jié)構(gòu)剛度不降低的情況下，減小質(zhì)量，可以增大固有頻率，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

對(duì)腰部轉(zhuǎn)臺(tái)進(jìn)行模態(tài)分析，此處只給出前兩階模態(tài)振型，如圖7所示。一階固有頻率824.97 Hz，一階振型為繞x偏z45°和繞z偏-x45°方向?qū)莾蓛赏鶑?fù)扭動(dòng)；二階固有頻率854.99 Hz，二階振型為繞x和z軸對(duì)角兩兩往復(fù)扭動(dòng)。

圖7 前兩階模態(tài)振型Figure 7 The first two modes

2.3.2 振動(dòng)激勵(lì)測(cè)試 采集機(jī)器人工作過(guò)程中腰部轉(zhuǎn)臺(tái)受到的激勵(lì)信號(hào)，結(jié)合模態(tài)分析結(jié)果考察其振動(dòng)穩(wěn)定性。主要試驗(yàn)設(shè)備見(jiàn)表1。

表1 試驗(yàn)設(shè)備Table 1 Experimental equipment

連接螺釘是振動(dòng)在零件之間傳遞的“橋梁”，所以將加速度傳感器布置于腰部轉(zhuǎn)臺(tái)與其上腰部支架連接螺釘處測(cè)量激勵(lì)信號(hào)。儀器設(shè)置：采樣時(shí)間30 s，帶寬1 024 Hz，分辨率0.125 Hz。測(cè)取測(cè)試點(diǎn)-x、+y、-z3個(gè)方向的加速度頻譜，此處只給出#1和#2兩個(gè)測(cè)試點(diǎn)的加速度頻譜，結(jié)果見(jiàn)圖8。

由圖8可知，#1和#2測(cè)試點(diǎn)3個(gè)方向的加速度頻譜變化趨勢(shì)相似，但峰值存在差異，這與兩點(diǎn)位處結(jié)構(gòu)的連接剛度差異有關(guān)；測(cè)試點(diǎn)-x和-z方向的加速度峰值對(duì)應(yīng)的頻率約為388 Hz，+y方向的振動(dòng)加速度峰值對(duì)應(yīng)的頻率為1 557 Hz，均與腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的第一階固有頻率值(824.97 Hz)距離較遠(yuǎn)，表明腰部轉(zhuǎn)臺(tái)出現(xiàn)共振的幾率較低，具有較好的振動(dòng)穩(wěn)定性?？紤]到碼垛機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性及定位精度要求較高，提高第一階固有頻率有利于保證結(jié)構(gòu)的整體剛度，因此在優(yōu)化過(guò)程中以第一階固有頻率最大作為優(yōu)化目標(biāo)之一。

圖8 加速度頻譜圖Figure 8 Acceleration spectrum

2.4 優(yōu)化建模

2.4.1 設(shè)計(jì)變量 選取腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的4個(gè)相互獨(dú)立且非裝配尺寸的結(jié)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量X=(x1,x2,x3,x4)，如圖9所示，對(duì)應(yīng)的名稱(chēng)、初始值以及取值范圍見(jiàn)表2。

圖9 設(shè)計(jì)變量指示圖Figure 9 Design variables indicator diagram

2.4.2 目標(biāo)函數(shù) 由腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則、靜力學(xué)分析以及動(dòng)力學(xué)分析確定，以質(zhì)量最小、最大位移最小、第一階固有頻率最大、最大應(yīng)力最小為優(yōu)化目標(biāo)，其目標(biāo)函數(shù)：

(12)

采用Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，結(jié)合表2設(shè)計(jì)變量數(shù)據(jù)，建立25組試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案，根據(jù)各組設(shè)計(jì)方案，更改模型結(jié)構(gòu)參數(shù)，并逐一通過(guò)質(zhì)量測(cè)算、靜力學(xué)分析和模態(tài)分析分別完成質(zhì)量m、最大應(yīng)力σmax、最大位移δmax、第一階固有頻率f1的計(jì)算，得到試驗(yàn)設(shè)計(jì)矩陣及結(jié)果見(jiàn)表3。利用RSM方法獲得4個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的近似模型：m(X)，δmax(X)，f1(X)，σmax(X)。

表2 設(shè)計(jì)變量表Table 2 Design variables tablemm

表3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)矩陣Table 3 Experiment design matrix

2.4.3 約束條件 以各設(shè)計(jì)變量的邊界條件作為約束條件。

(1) 變量x1和x4為腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的厚度尺寸，其尺寸越小，質(zhì)量越輕，因此以各尺寸的初值為最大值，以剩余材料厚度不小于球墨鑄鐵最小壁厚[13]為原則選取最小值。

(2) 變量x2和x3為腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的深度尺寸，其尺寸越大，質(zhì)量越輕，因此以各尺寸的初始值為最小值，以剩余材料厚度不小于球墨鑄鐵最小壁厚為原則選取最大值。

2.4.4 權(quán)重系數(shù)的確定 提出一種基于有限元分析結(jié)果的層次分析法確定權(quán)重系數(shù)。層次分析法的原理參照文獻(xiàn)[11-12]。

(1) 建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型。將優(yōu)化問(wèn)題分成目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層3個(gè)層次，如圖10所示。

圖10 遞階層次結(jié)構(gòu)模型Figure 10 Hierarchical substructure model

(2) 構(gòu)造比較矩陣。質(zhì)量、位移、第一階固有頻率、應(yīng)力分別用B1、B2、B3、B4表示。依據(jù)有限元分析結(jié)果，考察各性能指標(biāo)的重要性。從有限元靜力和動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果來(lái)看，最大應(yīng)力、最大位移均遠(yuǎn)小于許用值，第一階固有頻率與激勵(lì)頻率相距較遠(yuǎn)，說(shuō)明腰部轉(zhuǎn)臺(tái)輕量化的潛力較大，因此將減輕質(zhì)量作為主要目標(biāo)，其重要性排第一。對(duì)于第一階固有頻率、位移和應(yīng)力的重要性評(píng)價(jià)：最大位移較小，但是機(jī)器人的臂桿尺度長(zhǎng)，對(duì)腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的變形量具有放大作用，容易增大機(jī)器人末端的位置誤差，故最大變形量應(yīng)越小越好，因此其重要性排第二；第一階固有頻率比較高，振動(dòng)穩(wěn)定性比較好，但是提高第一階固有頻率，有利于提高結(jié)構(gòu)的整體剛度，因此其重要性排第三；最大等效應(yīng)力值遠(yuǎn)小于QT500-7的許用應(yīng)力，安全系數(shù)較大，其重要性排第四。因此，準(zhǔn)則層各因素兩兩比較結(jié)果見(jiàn)表4，并得到比較矩陣式(13)。

表4 各因素的影響程度比較Table 4 Compare the influence degree of each factor

(13)

矩陣A的最大特征值λmax=4.019 2；相應(yīng)的特征向量為ω*=(0.914 2,0.191 2,0.339 2,0.112 4)T。

(3) 一致性檢驗(yàn)：一致性指標(biāo)CI=0.006 4<0.1；隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=0.9；一致性比率CR=0.007<0.1。

據(jù)此，可以判定比較矩陣A通過(guò)一致性檢驗(yàn)，將特征向量ω*歸一化處理得到Fm(X)、Fδ(X)、Ff1(X)和Fσ(X)4個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)重向量：

ωA=(0.587 2,0.217 9,0.122 8,0.072 2)T。

同時(shí)，選取兩種常見(jiàn)的權(quán)重系數(shù)分配方案：第一種為基于平均分配法確定權(quán)重系數(shù)，4個(gè)優(yōu)化目標(biāo)同等重要，即：

ωT=(0.25,0.25,0.25,0.25)T。

第二種為基于經(jīng)驗(yàn)法確定權(quán)重系數(shù)，4個(gè)優(yōu)化目標(biāo)重要性依次降低，即：

ωJ=(0.4,0.3,0.2,0.1)T。

2.4.5 綜合目標(biāo)函數(shù)的建立 根據(jù)4個(gè)分目標(biāo)函數(shù)以及3種不同的權(quán)重系數(shù)向量，構(gòu)建綜合目標(biāo)函數(shù)：

(14)

由于優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是使綜合目標(biāo)函數(shù)值最小化，而其中第一階固有頻率的目標(biāo)是使其最大化，因此其前面加負(fù)號(hào)。式(14)可作為3種賦權(quán)方法優(yōu)劣的評(píng)價(jià)指標(biāo)，綜合目標(biāo)函數(shù)值越小，說(shuō)明所獲得的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的綜合效果越優(yōu)。

2.5 多目標(biāo)優(yōu)化求解

采用性能優(yōu)越的NSGA-Ⅱ算法[14]分別對(duì)3種權(quán)重系數(shù)分配方案下構(gòu)建的綜合目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化求解。參數(shù)配置：種群規(guī)模為40；代數(shù)為200；交叉率為0.9；交叉分布指數(shù)為10；變異分布指數(shù)為20。

2.6 結(jié)果與分析

通過(guò)計(jì)算求解得到優(yōu)化后結(jié)構(gòu)參數(shù)及相應(yīng)的結(jié)構(gòu)性能參數(shù)，如表5所示。由表5可知，3種權(quán)重系數(shù)下，腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的質(zhì)量均有不同程度的減小，其中采用AHP-FEA權(quán)重系數(shù)優(yōu)化的質(zhì)量最小，最大位移和最大應(yīng)力值均有不同程度的增大，但均在許用范圍內(nèi)，第一階固有頻率變化不大。將3種方法獲得的優(yōu)化后的最小(大)化的結(jié)構(gòu)性能參數(shù)值[Fm(X)、Fδ(X)、Ff1(X)、Fσ(X)]代入式(14)，分別計(jì)算綜合目標(biāo)函數(shù)值。結(jié)果表明，采用AHP-FEA權(quán)重系數(shù)下的優(yōu)化綜合目標(biāo)函數(shù)值最小，說(shuō)明該方法綜合優(yōu)化效果更優(yōu)。

表5 不同權(quán)重系數(shù)下的優(yōu)化結(jié)果Table 5 Optimization results under different weight coefficients

考慮結(jié)構(gòu)工藝性，對(duì)AHP-FEA權(quán)重系數(shù)下的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行圓整，根據(jù)最終結(jié)構(gòu)參數(shù)重構(gòu)三維模型，得到優(yōu)化后的目標(biāo)性能參數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表6和圖11～圖13，經(jīng)多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化，外圓柱面直徑(x1)無(wú)變化；內(nèi)上頂面高度(x2)和頂部凹坑深度(x3)均有增大，相對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)厚度分別減小了6.25，4.00 mm；法蘭邊緣厚度(x4)減小了10 mm。腰部轉(zhuǎn)臺(tái)質(zhì)量減小了9.6%，最大總位移增大了約0.009 mm，最大等效應(yīng)力值增大了5.759 MPa，但仍在允許范圍內(nèi)，其結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度仍充分滿(mǎn)足要求；第一階固有頻率增加了1.31 Hz，使之更加遠(yuǎn)離腰部轉(zhuǎn)臺(tái)受到的外載荷激勵(lì)頻率，提高了振動(dòng)穩(wěn)定性，也充分驗(yàn)證了“在保證結(jié)構(gòu)剛度不降低的情況下，減小質(zhì)量，可以增大固有頻率”的論斷。通過(guò)優(yōu)化研究，腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的整體結(jié)構(gòu)性能得到提升，提高了碼垛機(jī)器人的動(dòng)態(tài)性能，達(dá)到結(jié)構(gòu)優(yōu)化的設(shè)計(jì)目的，驗(yàn)證了優(yōu)化方法的有效性。

表6 優(yōu)化結(jié)果及性能參數(shù)Table 6 Optimization results and performance parameters

圖11 優(yōu)化后模型的等效應(yīng)力Figure11 Equivalent srtess of optimized model

圖12 優(yōu)化后模型的總位移Figure 12 Total deformation of optimized model

圖13 優(yōu)化后模型的一階振型Figure 13 The first modal shape of optimized model

3 結(jié)論

針對(duì)MD-1200YJ碼垛機(jī)器人腰部轉(zhuǎn)臺(tái)的多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了一種基于有限元分析的改進(jìn)層次分析方法(AHP-FEA)來(lái)確定各分優(yōu)化目標(biāo)權(quán)重系數(shù)，并與常用的平均分配法和經(jīng)驗(yàn)賦權(quán)法進(jìn)行對(duì)比，證明了AHP-FEA方法的優(yōu)越性。通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)，腰部轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)性能得到進(jìn)一步提升。從優(yōu)化后的最大應(yīng)力和位移值可以看出，腰部轉(zhuǎn)臺(tái)仍具有較大的輕量化設(shè)計(jì)的潛力，后續(xù)可以考慮基于形狀優(yōu)化、拓?fù)鋬?yōu)化等方法，進(jìn)一步探討其結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題。