■許 坤 王金露 艾四芽 鮑丹宇 余潔歆 許 莉

（1.北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)教育部重點實驗室，北京 100124；2.福州市城鄉(xiāng)建設(shè)局，福州 350000；3.福建省交通科技發(fā)展集團(tuán)有限責(zé)任公司，福州 350004；4.福建省二建建設(shè)集團(tuán)有限公司，福州 350003；5.福建江夏學(xué)院工程學(xué)院，福州 350108；6.福州大學(xué)土木工程學(xué)院，福州 350108）

渦激振動是大跨橋梁較易發(fā)生的一種大振幅振動現(xiàn)象，對行人行車安全、構(gòu)件疲勞壽命等產(chǎn)生較大危害。 為掌握結(jié)構(gòu)渦振性能，現(xiàn)有研究往往借助渦激力數(shù)學(xué)模型，通過風(fēng)洞試驗獲取模型氣動力參數(shù)，結(jié)合結(jié)構(gòu)有限元開展三維全橋渦振性能分析， 以考慮結(jié)構(gòu)振型、渦激力展向相干性等三維效應(yīng)影響[1]。

現(xiàn)有結(jié)構(gòu)渦振模型可大致分為2 類：單自由度模型[2-4]和兩自由度模型[5-9]；其中橋梁斷面多采用單自由度形式模型。 這類模型通過擬合風(fēng)洞試驗測得的結(jié)構(gòu)位移獲取氣動力參數(shù)。 由于模型無法準(zhǔn)確反映渦振過程流體結(jié)構(gòu)間的耦合關(guān)系，導(dǎo)致擬合參數(shù)在不同質(zhì)量—阻尼系數(shù)工況下存在顯著差別。 設(shè)計風(fēng)速內(nèi)大跨橋梁渦振可發(fā)生模態(tài)有多階，不同模態(tài)間的模態(tài)質(zhì)量及阻尼比并不相同，基于上述渦振經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷挠嬎憬Y(jié)果難以保證其可靠性。

近年來，航空航天領(lǐng)域針對全尺寸流固耦合模擬困難開展了降階模擬技術(shù)研究。 其中具有多重卷積積分格式的Volterra 級數(shù)理論上可通過無限階次展開近似任意非線性系統(tǒng)，較適用于模擬氣動力的非線性特性及記憶效應(yīng)。 Volterra 級數(shù)早期用于電氣工程[10]，Wu 等[11]將其引入到鈍體斷面非線性氣動力模擬，Xu 等[12]則對其用于大跨橋梁渦激氣動力模擬開展了初步研究。

為模擬流固耦合行為，需首先獲得描述流體—結(jié)構(gòu)耦合關(guān)系的氣動力內(nèi)核項。 相較機(jī)翼斷面，鈍體斷面流固耦合的非線性效應(yīng)更為顯著，渦振發(fā)生風(fēng)速較低，氣動力記憶效應(yīng)也更為明顯。 渦激力中高次內(nèi)核項的識別問題尤為突出。 針對這一問題，本文采用理論分析和數(shù)值模擬手段， 對Volterra 模型非線性最高階次、氣動力記憶持續(xù)時長等影響因素進(jìn)行研究，提出便于實際操作的橋梁斷面渦激力內(nèi)核參數(shù)識別方法，并對其準(zhǔn)確性進(jìn)行驗證。

1 基于Volterra 理論的渦激力模型

以豎向渦振為例，無量綱結(jié)構(gòu)運動方程可表示為：

式中， CL（s）為無量綱升力系數(shù)；Y 為無量綱位移；K=Dωn/U 為折算頻率；s=Ut/D 為無量綱時間；D為結(jié)構(gòu)特征尺寸；ωn為結(jié)構(gòu)振動頻率；U 為來流風(fēng)速；ξ 為結(jié)構(gòu)機(jī)械阻尼比；m 為結(jié)構(gòu)質(zhì)量。

渦振過程中作用于結(jié)構(gòu)的附加氣彈效應(yīng)主要為非線性氣動阻尼效應(yīng)，可將其表示為卷積格式的Volterra 級數(shù)形式：

式中，C(1)L表示氣動力中的線性項；C(p)L（s）表示氣動力中的p 次非線性項；τ1,2,...為氣動力記憶效應(yīng)持續(xù)時間；h 為Volterra 級數(shù)內(nèi)核項，其本質(zhì)為結(jié)構(gòu)運動與氣動力間的傳遞函數(shù)。

風(fēng)洞試驗或CFD 模擬得到的結(jié)構(gòu)位移與氣動力時程為時間離散格式，有必要將式（3）表示為時間離散格式：

2 Volterra 模型內(nèi)核識別方法

Volterra 內(nèi)核識別主要有2 種途徑[13]：（1）當(dāng)被模擬對象具有解析表達(dá)式時，可利用解析方法推導(dǎo)Volterra 級數(shù)內(nèi)核解析表達(dá)式；（2）當(dāng)被模擬對象沒有解析表達(dá)式時，需利用試驗或數(shù)值模擬得到的系統(tǒng)輸入—輸出關(guān)系，采用系統(tǒng)辨識手段獲取Volterra 級數(shù)內(nèi)核參數(shù)。

對于鈍體斷面氣動力而言， 無法通過理論推導(dǎo)獲得氣動力解析表達(dá)； 渦激力內(nèi)核參數(shù)只能通過試驗或CFD 計算獲取所需數(shù)據(jù)，通過系統(tǒng)辨識手段得到。根據(jù)式（6），氣動力與結(jié)構(gòu)運動關(guān)系可以表示為：

當(dāng)系統(tǒng)輸入—輸出總長度大于內(nèi)核向量總長度時（n+1＞Q1+…+QN），可借鑒最小二乘思想，擬合得到內(nèi)核向量：

其中，符號“+”表示Moore-Penrose 偽逆。

3 橋梁斷面渦激力內(nèi)核參數(shù)識別

為驗證橋梁斷面渦激力內(nèi)核識別效果，選取典型π 形斷面， 利用CFD 模擬平臺獲取內(nèi)核識別所需數(shù)據(jù)。 計算網(wǎng)格區(qū)域為：-15B≤Lx≤35B 和-25B≤Ly≤25B，其中B 為斷面寬度，Lx和Ly分別為網(wǎng)格區(qū)域在來流及垂直于來流方向的大小。 計算區(qū)域采用三角形非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行離散，底層網(wǎng)格尺寸為0.001B，總體網(wǎng)格數(shù)量約為1.4×105。 計算區(qū)域及網(wǎng)格尺寸選取基于前期網(wǎng)格優(yōu)化驗證。 計算過程中雷諾數(shù)為1×104（以斷面高度為參考尺寸），采用大渦模型進(jìn)行湍流模擬。 計算區(qū)域及網(wǎng)格形狀如圖1所示。

圖1 斷面附近局部網(wǎng)格

系統(tǒng)輸入—輸出數(shù)據(jù)采用不同折算風(fēng)速和振幅單頻強(qiáng)迫振動組合， 共包括12 個折算風(fēng)速（1.66≤U/ωnD≤2.15）和10 個無量綱振幅（0.01≤A/D≤0.10）。 各工況采樣時長取50 個振動周期。

內(nèi)核參數(shù)識別需首先確定模型最高階次N 及氣動力記憶持續(xù)時長Mp。為研究非線性最高階次和記憶持續(xù)時長對模擬效果的影響，對不同N 和Mp條件下的模擬效果進(jìn)行了比較。 其中，模擬效果評價標(biāo)準(zhǔn)采用Balajewicz 和Dowell 提出的擬合誤差率[14]：

式中，yCFD表示CFD 計算結(jié)果；yROM表示Volterra模型模擬結(jié)果。

擬合誤差率如圖2 所示，其中時間步長為0.2s（s=Ut/D）， 即Mp取50 時，p 階 記 憶 持 續(xù) 時 長 為0.2×Mp=10s。從圖2 可以看到，擬合誤差率隨模型最高階次及記憶持續(xù)時長的增加而變小，表明模型階次越高、記憶持續(xù)時間越長，模擬效果越好。 當(dāng)Mp大于一定程度時（如100）時，提高最高階次N 比增加Mp能獲得更好的模擬效果， 這是由于氣動力具有記憶衰減特性，Mp大于一定程度時即可較好反映氣動力的記憶效應(yīng)。 為提高模擬效果，應(yīng)在保證記憶持續(xù)時長的基礎(chǔ)上盡量提高模型最高階次。

圖2 擬合誤差率隨非線性階次及記憶時長變化規(guī)律

4 內(nèi)核識別效果驗證

為驗證內(nèi)核識別結(jié)果， 對Volterra 模型模擬結(jié)果與CFD 計算結(jié)果進(jìn)行了比較。 圖3 為鎖定區(qū)前段不同振幅渦激力模擬結(jié)果，各振幅下渦激力形狀基本一致，為類正弦單組分形式，表明斷面漩渦脫落頻率完全被結(jié)構(gòu)運動鎖定，此時渦激力中與結(jié)構(gòu)振動同頻的線性項起主導(dǎo)作用。 圖4 為鎖定區(qū)后段不同振幅計算結(jié)果，此時渦激力仍表現(xiàn)出振幅相關(guān)特性。 比較圖3 和圖4 可以發(fā)現(xiàn)，鎖定區(qū)振幅最大點和鎖定區(qū)后段渦激力中高頻與低頻成分間的相位差發(fā)生了改變，渦激力中高頻與低頻成分間的相位變化或許是導(dǎo)致鎖定區(qū)后段渦振隨風(fēng)速增加而逐漸消失的原因。

圖3 渦振鎖定區(qū)前段渦激力時程

圖4 渦振鎖定區(qū)后段渦激力時程

圖5 為鎖定區(qū)前段渦激力滯回曲線結(jié)果。 可以看到，隨著振幅增加，滯回曲線逐漸飽滿，表現(xiàn)出振幅相關(guān)特性。 圖6 為鎖定區(qū)后段結(jié)果，與鎖定區(qū)振幅最大點處不同，該風(fēng)速下滯回曲線長軸所處象限發(fā)生了改變，表明渦激力與結(jié)構(gòu)運動間的相位差發(fā)生了變化。 各風(fēng)速下，縮階模型均能夠較好地模擬原始CFD 結(jié)果，驗證了內(nèi)核識別結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖5 渦激力滯回曲線（U/ωD=1.84）

圖6 渦激力滯回曲線（U/ωD=2.02）

圖7、圖8 為不同工況渦激力頻譜特性?？梢钥吹?，渦激力的非線性特性主要表現(xiàn)為整數(shù)倍頻效應(yīng)。 稀疏內(nèi)核格式的Volterra 模型能夠較好模擬這種整數(shù)倍頻效應(yīng)，進(jìn)一步驗證了內(nèi)核識別結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖7 渦激力頻譜特性（U/ωD=1.84）

圖8 渦激力頻譜特性（U/ωD=2.02）

5 結(jié)語

本文針對Volterra 級數(shù)用于橋梁斷面渦激力模擬問題，通過理論分析與數(shù)值模擬手段，對渦激力內(nèi)核識別方法進(jìn)行了詳細(xì)驗證和比較，得到如下結(jié)論：

（1）擬合誤差率隨模型最高階次及記憶持續(xù)時長的增加而變小。 當(dāng)記憶持續(xù)時長大于一定程度時，提高最高階次比增加記憶持續(xù)時長能獲得更好的模擬效果。 為提高模擬效果，應(yīng)在保證記憶持續(xù)時長的基礎(chǔ)上盡量提高模型最高階次。

（2）渦激力的非線性特性主要表現(xiàn)為整數(shù)倍頻效應(yīng)，Volterra 級數(shù)模型在時域、頻域和相空間方面均能較好模擬渦振過程流體—結(jié)構(gòu)間的耦合關(guān)系。

（3）采用最小二乘方法的渦激力內(nèi)核識別過程，無論從風(fēng)洞試驗還是CFD 計算層面均具有較好的可操作性，可用于實際橋梁斷面渦激力內(nèi)核參數(shù)識別。