張旭東，張磊，楊林杰，曹延軍，吳魯紀(jì)，王威，陳洪基，黃杰生，王金龍

(1.鄭州機(jī)械研究所有限公司，河南鄭州 450052，2.西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 陜西西安 710045，3.中廣核工程有限公司，廣東深圳 518124)

0 前言

齒輪系統(tǒng)是應(yīng)用廣泛的動(dòng)力傳動(dòng)裝置，其振動(dòng)和噪聲問(wèn)題也尤為突出，吸引了國(guó)內(nèi)外大量學(xué)者對(duì)其非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。

在現(xiàn)有研究文獻(xiàn)中，王靖岳等建立了包含齒側(cè)間隙的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)非線性模型，分析了系統(tǒng)隨外載荷和齒側(cè)間隙變化的分叉圖，以不同的定性與定量對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了詳細(xì)的研究。向玲等人以風(fēng)電齒輪為研究對(duì)象，以集中參數(shù)模型建立了純扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型。趙昕等人研究了風(fēng)力發(fā)電高速級(jí)齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，采用集中參數(shù)法建立了十六自由度齒輪、轉(zhuǎn)子、軸承非線性動(dòng)力學(xué)模型；該模型融合了變嚙合剛度、齒輪偏心和傳遞誤差等非線性因素；結(jié)果表明：齒側(cè)間隙和偏心量均對(duì)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)有明顯影響，在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)盡量避免偏心現(xiàn)象的出現(xiàn)。吳瑞芳等利用粒子群優(yōu)化算法對(duì)系統(tǒng)非線性PID控制系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，結(jié)果表明：優(yōu)化后的非線性系統(tǒng)能夠在線調(diào)整參數(shù)，提高了系統(tǒng)傳動(dòng)的精度。

上述研究表明：對(duì)于齒輪傳動(dòng)動(dòng)載系統(tǒng)的研究，多數(shù)為單對(duì)齒輪副的研究;而人字齒行星齒輪模型的嚙合阻尼參數(shù)研究，由于其模型構(gòu)件較多，動(dòng)力學(xué)特性也更加復(fù)雜，因此，對(duì)其研究較少。本文作者基于集中參數(shù)法建立了人字齒行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了嚙合阻尼對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。

1 非線性動(dòng)力學(xué)建模

人字齒行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)由太陽(yáng)輪、行星輪、內(nèi)齒圈和行星架等構(gòu)件組成，系統(tǒng)工作時(shí)，內(nèi)齒圈固定，功率由太陽(yáng)輪輸入，由行星架輸出。采用集中參數(shù)法建立人字齒行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型,如圖1所示。

圖1 動(dòng)力學(xué)模型人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)

嚙合扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型由太陽(yáng)輪、行星輪和行星架構(gòu)成。整個(gè)系統(tǒng)坐標(biāo)系為--，假定逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，不考慮傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)和彎曲變形、支撐系統(tǒng)彈性變形等因素，僅考慮各構(gòu)件扭轉(zhuǎn)方向的振動(dòng)。根據(jù)系統(tǒng)中各構(gòu)件受力關(guān)系，可得太陽(yáng)輪、行星架和行星輪的振動(dòng)微分方程組，分別為

(1)

coscos=-

(2)

(3)

式中:為輸入轉(zhuǎn)矩;為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；L代表左側(cè)嚙合齒對(duì)；R代表右側(cè)嚙合齒對(duì)；(=s，p，c)表示各齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;為各齒輪基圓半徑;為各構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移;為齒輪基圓螺旋角；為行星輪壓力角；sp/rp、sp/rp分別為內(nèi)外嚙合剛度和內(nèi)外嚙合阻尼;、tp為扭轉(zhuǎn)剛度；、tp為扭轉(zhuǎn)阻尼。

根據(jù)系統(tǒng)中各構(gòu)件之間的位置關(guān)系，分別得出太陽(yáng)輪與行星輪嚙合法線上的相對(duì)位移，內(nèi)齒圈與行星輪嚙合法線上的相對(duì)位移，其中sp為太陽(yáng)輪與行星輪嚙合法線上的相對(duì)位移，為

(4)

rp為內(nèi)齒圈與行星輪嚙合法線上的相對(duì)位移，為

(5)

2 非線性系統(tǒng)振動(dòng)特性求解與分析

人字齒行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的內(nèi)外嚙合副在嚙合時(shí)產(chǎn)生嚙合阻尼效應(yīng)，目前嚙合阻尼常采用經(jīng)驗(yàn)公式近似表達(dá)。根據(jù)系統(tǒng)中嚙合阻尼和阻尼比、嚙合剛度和構(gòu)件質(zhì)量的關(guān)系，常采用下式計(jì)算阻尼

(6)

利用4-5階變步長(zhǎng)Runge-Kutta法對(duì)非線性系統(tǒng)的振動(dòng)方程進(jìn)行解析。計(jì)算前略去1 000個(gè)周期來(lái)消除系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。以相軌跡圖、時(shí)間歷程圖、傅里葉變換功率頻譜圖和龐加萊截面圖作為分析手段，研究此系統(tǒng)隨嚙合阻尼變化的分岔和混沌特性。齒輪嚙合阻尼的大小和阻尼系數(shù)相關(guān)，因此可以通過(guò)調(diào)整阻尼系數(shù)優(yōu)化嚙合阻尼。齒輪系統(tǒng)的參數(shù)如表1所示。分別取嚙合阻尼0.01、0.02、0.04和0.05，獲得系統(tǒng)的非線性響應(yīng)形態(tài)如圖2—圖9所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

當(dāng)=0.01時(shí)，可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為圖2和圖3所示結(jié)果。

由圖2—圖3可見(jiàn)：在=0.01時(shí)，該系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌響應(yīng)，相線雜亂無(wú)章且充滿空間的某一部分；龐加萊截面為多個(gè)離散點(diǎn)；響應(yīng)的時(shí)間歷程圖為非周期，且不穩(wěn)定，在太陽(yáng)輪和行星輪的響應(yīng)中表現(xiàn)尤其明顯；FFT頻譜為具有一定寬度且逐漸衰減的連續(xù)波形。

圖2 太陽(yáng)輪和行星輪嚙合之間的混沌響應(yīng)(ζ=0.01)

圖3 內(nèi)齒圈和行星輪間的混沌響應(yīng)(ζ=0.01)

由圖4—圖5可見(jiàn)：在=0.02時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)為非諧單周期響應(yīng)，相軌跡圖具有一定規(guī)律性，為非圓閉合“8”字曲線；龐加萊截面為多個(gè)離散點(diǎn)；響應(yīng)的時(shí)間歷程圖近似正弦波，且不穩(wěn)定，在太陽(yáng)輪和行星輪的響應(yīng)中表現(xiàn)得尤其明顯；FFT頻譜出現(xiàn)多個(gè)尖峰值，頻率分布在(為正整數(shù))的離散點(diǎn)上，其頻率表現(xiàn)不穩(wěn)定，表明系統(tǒng)含有超諧成分。

圖4 太陽(yáng)輪和行星輪嚙合之間的非諧單周期響應(yīng)(ζ=0.02)

圖5 內(nèi)齒圈和行星輪間的非諧單周期響應(yīng)(ζ=0.02)

由圖6—圖7可見(jiàn)：在=0.04時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)為準(zhǔn)周期響應(yīng)，相軌跡圖為具有一定寬度的環(huán)線；龐加萊截面為多個(gè)離散點(diǎn)，離散點(diǎn)數(shù)目大大減少；響應(yīng)的時(shí)間歷程圖近似正弦的周期運(yùn)動(dòng)；FFT頻譜仍有多個(gè)尖峰值，頻率分布在(為正整數(shù))的離散點(diǎn)上。

圖6 太陽(yáng)輪和行星輪間的準(zhǔn)周期響應(yīng)(ζ=0.04)

圖7 內(nèi)齒圈和行星輪間的準(zhǔn)周期響應(yīng)(ζ=0.04)

由圖8—圖9可見(jiàn)：在=0.05時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)為簡(jiǎn)諧周期響應(yīng)，相軌跡圖為非標(biāo)準(zhǔn)圓；龐加萊截面為單個(gè)點(diǎn)；太陽(yáng)輪和行星輪的響應(yīng)的時(shí)間歷程圖為標(biāo)準(zhǔn)正弦波，而內(nèi)齒圈和行星輪為近似正弦波；太陽(yáng)輪和行星輪的FFT頻譜只有一個(gè)固定頻率，而內(nèi)齒圈和行星輪的FFT頻譜圖出現(xiàn)多個(gè)尖峰值，但主要集中于兩個(gè)頻率。

圖8 太陽(yáng)輪和行星輪間的周期響應(yīng)(ζ=0.05)

圖9 內(nèi)齒圈和行星輪間的周期響應(yīng)(ζ=0.05)

3 結(jié)論

建立了人字齒行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，獲得了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，分析了嚙合阻尼對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力特性的影響。在人字齒行星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，嚙合阻尼的存在使系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性，在嚙合阻尼變化下系統(tǒng)表現(xiàn)出四類穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，分別為混沌響應(yīng)、非諧單周期、準(zhǔn)周期和周期響應(yīng)。隨著阻尼增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性增強(qiáng)，由混沌狀態(tài)逐漸轉(zhuǎn)化為周期響應(yīng)。因此，在設(shè)計(jì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)適當(dāng)增大阻尼系數(shù)，提高整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。