于彩娟

(山東省榮成市第二中學(xué))

備戰(zhàn)高考的過程離不開物理模型的建構(gòu)與應(yīng)用.高中階段的物理模型主要有連接體模型、斜面模型、輕繩桿模型、碰撞模型、人船模型、彈簧振子模型、等時(shí)圓模型等.很多學(xué)生對物理模型不熟悉,對原理理解不透徹,必然影響模型的應(yīng)用.下面我們簡單分析一下等時(shí)圓模型如何建構(gòu)和應(yīng)用.

1 明確模型原理,提升科學(xué)思維

下面我們通過證明其等時(shí)性來明確模型原理,即證明tAB＝tAC＝tAD.

圖1

要解決質(zhì)點(diǎn)沿豎直面內(nèi)的AB、AC、AD三條光滑弦由靜止下滑的時(shí)間問題,我們必須弄清質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動特征,先對兩圖進(jìn)行分析,找出共同特征,從而找出解決方案,這也是證明的關(guān)鍵.

運(yùn)動特征1)質(zhì)點(diǎn)沿光滑弦下滑的本質(zhì)就是質(zhì)點(diǎn)沿光滑斜面下滑(構(gòu)建斜面模型);2)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動性質(zhì)是初速度為零的勻變速直線運(yùn)動;3)明確其運(yùn)動性質(zhì)之后可用動力學(xué)的解題思路來分析,即用牛頓第二定律求出加速度,再用運(yùn)動學(xué)公式求出時(shí)間;4)找位移時(shí)要充分利用所有的弦都在同一個(gè)圓中,且圓的半徑是個(gè)定值這一條件.

證明作兩條輔助線(如圖2中虛線所示)構(gòu)建斜面模型,設(shè)斜面AB傾角為θ,則∠ADB＝θ,設(shè)AB弦長為xAB,圓的半徑為R.由牛頓第二定律得

圖2

由幾何關(guān)系得

由運(yùn)動學(xué)公式得

我們對質(zhì)點(diǎn)沿這些不同軌道的下滑運(yùn)動進(jìn)行對比分析,歸納出共性的運(yùn)動特征,在此過程中,學(xué)生的歸納、類比、推理等思維方法得到了提升,學(xué)生的科學(xué)思維得到培養(yǎng).

2 充分認(rèn)識模型特征,培養(yǎng)物理觀念

模型特征1)圓在豎直面內(nèi);2)弦是光滑的;3)質(zhì)點(diǎn)自弦上端由靜止滑到弦底端;4)弦的一端一定是圓周的最低點(diǎn)或最高點(diǎn);5)時(shí)間相等(如圖3所示,其中圖3-丙是圖3-甲等時(shí)圓和圖3-乙等時(shí)圓的一個(gè)組合).

圖3

【思考】如圖4所示,三個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別沿光滑豎直面內(nèi)的軌道OA、OB、OC由靜止下滑,討論其時(shí)間關(guān)系時(shí),是否可用等時(shí)圓模型直接得出tOA＝tOB＝tOC?

圖4

分析有部分學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為是等時(shí)圓模型,三段時(shí)間都相等,這是不對的.我們在應(yīng)用等時(shí)圓模型之前一定要將問題與等時(shí)圓模型特征逐一對照,對照后會發(fā)現(xiàn)與前文提到的模型特征4)不符合,所以不是等時(shí)圓模型,所以三段時(shí)間不相等.那這三段時(shí)間究竟是什么關(guān)系呢? 我們將在后面的例3中詳細(xì)分析并解答.

在高中物理的學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常要用到一些物理概念和物理規(guī)律,這些概念和規(guī)律會不斷在頭腦中被提煉和升華.實(shí)際上,認(rèn)識等時(shí)圓模型特征和規(guī)律能很好地培養(yǎng)學(xué)生的物理觀念.

3 典型分析

例1如圖5所示,在豎直平面內(nèi)有AM、BM、CM三條光滑固定軌道,其中A、C兩點(diǎn)處于同一個(gè)圓的圓周上,C是圓周上任意一點(diǎn),A、M分別為此圓與x、y軸的切點(diǎn).現(xiàn)將三個(gè)小球(可視為質(zhì)點(diǎn))分別從A、B、C點(diǎn)同時(shí)由靜止釋放,它們將沿三條軌道運(yùn)動到M點(diǎn),所用時(shí)間分別為tA、tB、tC,則( ).

圖5

A.tA＜tC＜tB

B.tA＝tC＜tB

C.tA＝tC＝tB

D.由于C點(diǎn)的位置不確定,無法比較時(shí)間大小關(guān)系

解析對照等時(shí)圓模型特征可知AM段和CM段是等時(shí)圓模型,所以,而B點(diǎn)在圓周以外,所以tA＝tC＜tB,選項(xiàng)B正確.

例2如圖6 所示,在半徑為R的圓弧AB上放置一光滑木板DB,一質(zhì)量為m的小物體(可視為質(zhì)點(diǎn))在DB板的D端由靜止下滑,然后沖向水平面BC,在BC上滑行距離L后停下.不計(jì)小物體在B點(diǎn)的能量損失,已知小物體與水平面BC間的動摩擦因數(shù)為μ.求:小物體沿DB下滑過程中,重力做功的平均功率.

圖6

解析由動能定理得小物體從D到C過程中重力做的功,即WG－μmgL＝0,得WG＝μmgL.

本題的解題關(guān)鍵在于通過識別等時(shí)圓模型來求時(shí)間,光滑板DB的傾角未知,其位移和加速度無法求出,導(dǎo)致時(shí)間無法直接求出,但弦DB符合等時(shí)圓的特征,由等時(shí)圓特征可知小物體從D到B的時(shí)間等于物體從A點(diǎn)沿弦AB運(yùn)動到B點(diǎn)(如圖7)的時(shí)間,即為,所以小物體沿DB下滑過程中,重力做功的平均功率

圖7

例3如圖8所示,O、A、B、C、D位于同一圓周上,C點(diǎn)為圓周最低點(diǎn),OB、CD是圓的直徑,將三個(gè)質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)無初速度釋放,分別沿著豎直面三個(gè)光滑斜面OA、OB、OC下滑,求它們的時(shí)間關(guān)系.

圖8

解析本題不是等時(shí)圓模型,而求解的又是時(shí)間問題,我們可以試著構(gòu)建等時(shí)圓.由于三個(gè)質(zhì)點(diǎn)都從O點(diǎn)出發(fā),所以可以讓O點(diǎn)成為等時(shí)圓的最高點(diǎn),讓等時(shí)圓過B點(diǎn),交OA于E點(diǎn),交OC延長線于F點(diǎn),顯然O點(diǎn)到B、E、F、G的時(shí)間是相等的,所以tOA＞tOB＞tOC.

在高中物理學(xué)習(xí)中,我們要想更好地建構(gòu)物理模型并應(yīng)用物理模型,首先應(yīng)明確每個(gè)模型的基本原理,明確其中包含的基本概念和基本規(guī)律.實(shí)踐出真知,模型方法的精髓體現(xiàn)在建立模型的探索與發(fā)現(xiàn)之中,只有親身經(jīng)歷其中的困惑和發(fā)現(xiàn),才可能將模型方法內(nèi)化,提升認(rèn)知水平,從而領(lǐng)悟應(yīng)用模型方法的要領(lǐng)與關(guān)鍵.所以建構(gòu)模型的能力不是一蹴而就的,需要教師有目的地進(jìn)行引導(dǎo),也需要學(xué)生用心積累.積累的過程中,學(xué)生的物理觀念得到了加強(qiáng),其科學(xué)探究能力也得到了培養(yǎng).

圖9

(完)