何進(jìn)寶，李萬(wàn)祥，李雄兵，郭雄雄，吳應(yīng)金,2

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070； 2.中國(guó)鐵路蘭州局集團(tuán)有限公司 蘭州西車輛段，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

振動(dòng)過(guò)濾離心機(jī)作用是通過(guò)固液分離實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品干燥，主要用于選煤廠脫水等工業(yè)領(lǐng)域[1]。文獻(xiàn)[2]對(duì)離心機(jī)內(nèi)的物料進(jìn)行了受力分析,給出了計(jì)算各種力的方法。文獻(xiàn)[3]建立振動(dòng)離心機(jī)的雙質(zhì)體動(dòng)力學(xué)模型，研究了物料進(jìn)入離心機(jī)時(shí)所產(chǎn)生的慣性力對(duì)系統(tǒng)的影響。文獻(xiàn)[4]研究了一種雙質(zhì)體臥式振動(dòng)卸料離心機(jī)彈簧性能，確定了一類臥式振動(dòng)卸料離心機(jī)橡膠彈簧的結(jié)構(gòu)和工藝參數(shù)。文獻(xiàn)[5]研究了近共振離心機(jī)的非線性振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[6]建立了振動(dòng)離心機(jī)的四自由度模型，研究了自同步理論。文獻(xiàn)[7]對(duì)臥式離心機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下存在著倍周期分岔、Hopf分岔和混沌。文獻(xiàn)[8]研究了一類二自由度塑性碰撞，在沖擊瞬間定義了變量的三維映射。文獻(xiàn)[9]研究了兩自由度系統(tǒng)周期碰撞運(yùn)動(dòng)，討論了Hopf分岔和混沌現(xiàn)象。文獻(xiàn)[10]～[12]對(duì)于含間隙系統(tǒng)的分岔、穩(wěn)定性和混沌進(jìn)行了詳細(xì)研究。目前，針對(duì)振動(dòng)離心機(jī)理論研究比較少[5]，筆者針對(duì)選煤廠脫水干燥設(shè)備中的振動(dòng)過(guò)濾離心機(jī)進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算。首先，討論間隙彈簧對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅與頻率的影響，其次討論不同的參數(shù)下系統(tǒng)的分岔和混沌等運(yùn)動(dòng)行為。這些討論將為振動(dòng)離心機(jī)的制造和參數(shù)設(shè)計(jì)提供一些參考。

1 力學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程的建立

圖1所示是一種用于選煤廠脫水的振動(dòng)離心機(jī)。

圖1 振動(dòng)離心機(jī)結(jié)構(gòu)示意簡(jiǎn)圖1.進(jìn)料口 2.軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng) 3.激振電機(jī) 4.主振彈簧(含間隙緩沖彈簧和環(huán)形橡膠彈簧) 5.機(jī)殼 6.電機(jī) 7.基礎(chǔ)隔振彈簧 8.篩籃 9.排料口 10.排液口

振動(dòng)離心機(jī)在離心力的作用下進(jìn)行分離干燥。物料從進(jìn)料口進(jìn)入離心機(jī)篩籃窄面，篩籃內(nèi)的物料在離心力的作用下緊貼篩壁，物料在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)激振力軸向振動(dòng)的作用下，將產(chǎn)品移動(dòng)到篩籃寬截面，脫水后向排料口排出。水則通過(guò)重力最終從離心機(jī)流出[1-3,6]。

圖2所示是兩自由度含間隙彈簧振動(dòng)過(guò)濾離心機(jī)系統(tǒng)的力學(xué)模型簡(jiǎn)化圖。

圖2 振動(dòng)離心機(jī)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)化圖

圖2中，M1和M2分別為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)(主振體1)和殼體(隔振體2)的質(zhì)量；X1，X2分別為振體1和振體2水平位移；K1為振體1與振體2的間環(huán)形橡膠彈簧在水平方向的剛度；K2為振子2與基礎(chǔ)之間隔振彈簧在水平方向的剛度。主振體和隔振體分別由C1與K1和C2與K2的線性阻尼器和線性彈簧相聯(lián)接，并分別受到簡(jiǎn)諧激振力(Pisin(ΩT+φ),i=1,2)的作用。由于振動(dòng)過(guò)濾離心機(jī)兩緩沖彈簧之間存在一定的間隙，所以當(dāng)振體1和振體2的相對(duì)位移≥D時(shí)，將與右邊彈性約束K3接觸，經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間改變速度方向后，又以新的初值運(yùn)動(dòng)；當(dāng)振體1和振體2的相對(duì)位移≤-D時(shí)，將與左邊的彈性約束K3接觸，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間改變速度方向后，又以新的初值運(yùn)動(dòng)，然后再次與右邊彈性約束K3碰撞，如此往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

由牛頓第二定律，振動(dòng)離心機(jī)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以表示為：

(1)

其中：

(2)

為方便計(jì)算，將方程(1)、(2)歸一化后引入系統(tǒng)的無(wú)量綱參數(shù)：

則系統(tǒng)的無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)微分方程為:

(3)

(4)

根據(jù)以上系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程，可對(duì)其進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算。

2 振動(dòng)離心機(jī)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的數(shù)值仿真分析

2.1 間隙彈簧特性對(duì)主振體的頻幅影響

由于振體1和振體2之間存在含間隙的彈簧，它是一個(gè)分段非線性彈簧。為研究其對(duì)振體1頻幅特性的影響，暫時(shí)忽略隔振殼體的影響，則振體1的運(yùn)動(dòng)方程為：

(5)

(6)

(7)

含間隙彈簧引起了系統(tǒng)的非線性。為研究間隙彈簧不同間隙對(duì)于振體1頻幅特性的影響，當(dāng)uk3=1時(shí)，利用工具箱cftool-Liner Fitting分別取D=0.7,0.9,1.2時(shí)擬合參數(shù)α,β的值，畫(huà)出不同間隙D的離心機(jī)幅頻特性曲線。如圖3所示，當(dāng)剛度比uk3一定時(shí)，間隙D取不同的數(shù)值，幅頻特性曲線其幅值大小的變化趨勢(shì)大致相同。當(dāng)頻率比r達(dá)到一定數(shù)值會(huì)出現(xiàn)幅值的跳躍，從而引起振體1振幅的振蕩。在一定條件下，隨著彈簧間隙D的增大，振體1振幅值增大且左移，這對(duì)于離心機(jī)脫水工作有一定好處。

圖3 不同彈簧間隙對(duì)振體1幅頻的影響

為研究不同分段線性彈簧剛度比對(duì)振體1頻幅特性的影響，當(dāng)D=0.9時(shí)利用MATLAB分別獲取uk3=0.7,1,1.3的時(shí)擬合參數(shù)α,β的值，從而畫(huà)出不同剛度比uk3的離心機(jī)幅頻特性曲線。如圖4所示，在一定條件下，當(dāng)彈簧間隙D一定時(shí)，相同頻率比下剛度比uk3越大振體1的振幅越小，其峰值相對(duì)也越小且右移，系統(tǒng)相對(duì)來(lái)說(shuō)比較越穩(wěn)定。

圖4 不同彈簧剛度比對(duì)質(zhì)體1幅頻的影響

2.2 不同參數(shù)下系統(tǒng)分岔與混沌的特性

振動(dòng)過(guò)濾離心機(jī)系統(tǒng)在不同參數(shù)下，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也在隨時(shí)間變化，這些運(yùn)動(dòng)有可能是單周期的、多周期的、概周期的或混沌運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)將伴隨著復(fù)雜的分岔和混沌行為。

2.2.1 系統(tǒng)的倍周期分岔與混沌分析

取系統(tǒng)的一組參數(shù)μm=5、μc=1.5、μk2=0.01、μk3=30、d=0.01、ζ=0.21、f20=0，以無(wú)量綱激振頻率ω為分岔參數(shù)，用變步長(zhǎng)四階Runge-Kutta法數(shù)值計(jì)算出m1在ω∈[1.88,2.35]的位移動(dòng)態(tài)響應(yīng)局部分岔圖，如圖5所示。

圖5 分岔圖

由分岔圖5可知，系統(tǒng)在ω=1.90附近發(fā)生了倍周期分岔，分岔的過(guò)程為單周期運(yùn)動(dòng)→二周期運(yùn)動(dòng)→四周期運(yùn)動(dòng)→八周期運(yùn)動(dòng)→多周期運(yùn)動(dòng)→2nTP→混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)ω繼續(xù)增大時(shí)系統(tǒng)發(fā)生逆倍化分岔，在ω=1.99附近時(shí)系統(tǒng)由四周期變?yōu)閮芍芷谶\(yùn)動(dòng)。當(dāng)ω繼續(xù)增大時(shí)系統(tǒng)依次經(jīng)過(guò)混沌激變、逆倍化分岔、多周期運(yùn)動(dòng)，最終變?yōu)榉€(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)。值得注意的是在圖5出現(xiàn)的混沌區(qū)域中，可以清楚的看到ω取值在一些狹窄的范圍內(nèi)出現(xiàn)了周期振蕩，這些周期振蕩稱為混沌區(qū)內(nèi)的周期窗口，由此可見(jiàn)系統(tǒng)存在著復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。

在上述參數(shù)不變的情況下從相平面圖和Poincaré截面圖分析系統(tǒng)ω∈[2.18,2.35]的非線性動(dòng)力學(xué)特性，如圖6所示。

圖6 相圖和Poincaré截面圖

圖6(a)、(a1)為激振頻率ω=2.278時(shí)系統(tǒng)的相圖和Poincaré截面圖，這時(shí)系統(tǒng)做穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)；隨著激振頻率的減小，系統(tǒng)在ω=2.276附近發(fā)生倍化分岔，此時(shí)系統(tǒng)做2周期運(yùn)動(dòng)，激振頻率ω=2.237時(shí)的相圖和Poincaré截面圖如圖6(b)、(b1)所示。當(dāng)激振頻率減小到ω=2.234時(shí)，系統(tǒng)再次發(fā)生逆倍化分岔，做周期4運(yùn)動(dòng)，如圖6(c)、(c1)所示為ω=2.229相圖和Poincaré截面圖。依此類推，當(dāng)ω=2.2附近時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)非周期的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)倍周期分岔道路進(jìn)入混沌響應(yīng)狀態(tài)，ω=2.213的相圖和Poincaré截面圖如圖6(d)、(d1)。當(dāng)ω∈[2.185,2.188]時(shí)出現(xiàn)了上述提及的周期窗口，在周期窗口內(nèi)取ω=2.186的相圖和Poincaré截面圖，如圖6(e)、(e1)所示為10周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)周期窗口結(jié)束時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)再次進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，如圖6(f)、(f1)所示。由圖6(d1)和(f1)可以看出混沌吸引子由兩個(gè)變?yōu)橐粋€(gè)，可推測(cè)在此過(guò)程中混沌發(fā)生了內(nèi)部激變。

2.2.2 系統(tǒng)的Hopf分岔分析

取系統(tǒng)的另一組參數(shù)μm=5、μc=0.01、μk2=5、μk3=12、d=0.6、ζ=0.21、f20=0。在ω∈[1.4,1.88]的位移動(dòng)態(tài)響應(yīng)局部分岔圖結(jié)果，如圖7所示。

圖7 分岔圖

由圖7可知系統(tǒng)在ω=1.451附近由單周期發(fā)生了Hopf分岔，從而系統(tǒng)進(jìn)入了概周期運(yùn)動(dòng)。ω=1.51附近時(shí)由概周期突變?yōu)槿芷谶\(yùn)動(dòng)，隨著ω的增大系統(tǒng)經(jīng)歷了多次跳躍、突變，存在多周期、概周期和混沌運(yùn)動(dòng)，最終系統(tǒng)突變?yōu)榉€(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)。

在上述參數(shù)不變情況下從Poincaré截面圖分析系統(tǒng)在ω∈[1.4,1.61]的局部動(dòng)力學(xué)特性，如圖8。

圖8 Poincaré截面圖

結(jié)果表明，當(dāng)ω<1.451時(shí)系統(tǒng)具有穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)，ω=1.451 696時(shí)如圖8(a)；隨著參數(shù)ω的進(jìn)一步增加，在投影的Poincaré截面上形成一個(gè)光滑的吸引不變?nèi)?，如圖8(b)；隨著參數(shù)ω的逐漸增加，光滑的吸引不變?nèi)﹂_(kāi)始出現(xiàn)變形，此時(shí)系統(tǒng)做概周期運(yùn)動(dòng)，如圖8(c)；當(dāng)激振頻率ω繼續(xù)增加，系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)的交替過(guò)程，如圖8(d)。

2.2.3 系統(tǒng)的陣發(fā)性分岔與混沌分析

陣發(fā)性分岔是系統(tǒng)從周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)的一種途徑。由分岔圖5可知當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)ω增加至2.068時(shí)，系統(tǒng)由兩周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生陣發(fā)性分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，其相圖和Poincaré截面圖如圖9所示。

圖9 分岔圖5的相圖和Poincaré截面圖

由分岔圖7可知，當(dāng)ω∈[1.65,1.75]時(shí)，系統(tǒng)為多周期、擬周期和混沌運(yùn)動(dòng)的交替過(guò)程，當(dāng)ω=1.758附近時(shí)系統(tǒng)由五周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生陣發(fā)性分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，其相圖和Poincaré截面圖如圖10所示。

圖10 分岔圖7相圖和Poincaré截面圖

3 結(jié) 語(yǔ)

文中針對(duì)兩自由度振動(dòng)過(guò)濾離心機(jī)系統(tǒng)的力學(xué)模型分析得出：①通過(guò)分析間隙彈簧對(duì)主振體的頻幅特性，在一定條件下，可以通過(guò)改變振動(dòng)過(guò)濾離心機(jī)的主振彈簧特性來(lái)調(diào)節(jié)主振體頻幅，從而提高其工作效率和脫水性能；②對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算仿真，發(fā)現(xiàn)了在一定的系統(tǒng)參數(shù)下，振動(dòng)過(guò)濾離心機(jī)系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。采用了分岔圖、Poincaré截面圖和相圖分析了系統(tǒng)倍周期分岔、Hopf分岔，混沌激變，陣發(fā)性分岔和跳躍等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為；③對(duì)于該系統(tǒng)混沌與分岔的研究，可在實(shí)際中通過(guò)優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù)來(lái)提高工作效率，降低噪聲，改善工作條件，使系統(tǒng)工況處于最佳條件。在控制系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)研究和離心機(jī)制造等方面具有一定的理論指導(dǎo)意義和實(shí)際參考意義。