顏爭(zhēng)，徐芳萍

(1.安徽交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 城市軌道交通與信息工程系，安徽 合肥 230051；2.華東交通大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，江西 南昌 330013)

在未來(lái)新興產(chǎn)業(yè)發(fā)展中，稀土資源作為重要的戰(zhàn)略資源，已廣泛應(yīng)用于新能源技術(shù)、裝備制造業(yè)等領(lǐng)域。我國(guó)作為稀土資源大國(guó)，資源存儲(chǔ)豐富且品種齊全[1，2]。稀土萃取的串級(jí)萃取理論最早由北京大學(xué)徐光憲院士提出[3]，目前我國(guó)稀土萃取分離企業(yè)主要采取“離線分析、經(jīng)驗(yàn)控制、手動(dòng)調(diào)節(jié)”工藝控制方式[4]，缺乏市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。因此，迫切需要展開適合于稀土萃取分離的在線監(jiān)測(cè)和自動(dòng)控制方法的研究。

稀土萃取過(guò)程控制方法的精確度取決于過(guò)程模型是否能高精度接近稀土萃取的非線性過(guò)程。近年來(lái)研究人員分別提出常規(guī)PID、智能以及集成智能的建模和控制方法。文獻(xiàn)[5]使用常規(guī)的PID控制方法便捷且易于實(shí)現(xiàn)，但流體存在渦流、流量設(shè)定范圍變化較大等因素，難以實(shí)現(xiàn)高精度控制性能且不具有預(yù)測(cè)功能。文獻(xiàn)[6]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法通過(guò)對(duì)樣本數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)訓(xùn)練，能避免固定模型帶來(lái)的控制誤差，抗干擾能力較強(qiáng)，但耗時(shí)量較大且不能覆蓋整個(gè)萃取過(guò)程。文獻(xiàn)[7]將廣義預(yù)測(cè)控制方法應(yīng)用于稀土萃取中，利用最小二乘方法辨識(shí)得到不同工況下的CARIMA預(yù)測(cè)模型，提高了控制精確度，但該算法涉及丟番圖方程的求解，計(jì)算量較大。文獻(xiàn)[8]在廣義預(yù)測(cè)控制方法中加入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)能力，減少了算法的復(fù)雜度，降低了控制超調(diào)量，提高了控制精度。

本文提出稀土萃取過(guò)程自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制方法，利用稀土萃取的歷史數(shù)據(jù)，構(gòu)建過(guò)程模型，預(yù)測(cè)輸出數(shù)據(jù)，根據(jù)反饋誤差進(jìn)行校正，設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)控制器，在MATLAB上進(jìn)行仿真，結(jié)果表明該方法是有效的。

1 稀土萃取的過(guò)程描述及狀態(tài)空間描述

1.1 稀土萃取的過(guò)程描述

圖1描述了稀土萃取工藝的流程，主要分為n級(jí)的萃取段和m級(jí)的洗滌段，在第1級(jí)加入流量為u1的萃取劑，第n級(jí)加入流量為u2的稀土原色組分A1和A2的混合料液(濃度為u4)，在第n+m級(jí)中加入流量為u3的萃取劑。在萃取段和洗滌段加電動(dòng)攪拌機(jī)，形成萃取相自第1級(jí)向第n級(jí)、洗滌相自第n+m級(jí)向第n+1級(jí)流動(dòng)，經(jīng)過(guò)不斷循環(huán)稀土元素充分交換和純化，最終得到含A2純度為y1的水相產(chǎn)品和含A1

圖1 稀土萃取工藝流程

純度為y2的有機(jī)相出口產(chǎn)品。x1和x2分別是洗滌相中A2和萃取相中A1組分含量監(jiān)測(cè)點(diǎn)。

1.2 稀土萃取的狀態(tài)空間模型描述

狀態(tài)空間模型不需要準(zhǔn)確描述系統(tǒng)內(nèi)在的機(jī)理關(guān)系，側(cè)重于用歷史輸入/輸出數(shù)據(jù)來(lái)反映系統(tǒng)內(nèi)/外的變化規(guī)律，根據(jù)輸出調(diào)整輸入變量有效地對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。本文借鑒局部建模的思想，在稀土萃取過(guò)程中穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)附近，構(gòu)建稀土萃取的狀態(tài)空間模型：

xk+1=Axk+Buk+wk，yk=Cxk+Duk+νk

(1)

式中：A∈Rn×n，B∈Rn×4，C∈Rn×n，D∈Rn×4為該模型的狀態(tài)矩陣；k為萃取過(guò)程控制步數(shù)；xk∈Rn為狀態(tài)向量；yk∈R1為輸出量，表示監(jiān)測(cè)點(diǎn)y1組分A2的含量；uk∈R4為輸入控制量，由u1、u2、u3、u4組成。

假設(shè)模型參數(shù)AB能控，AC能觀測(cè)，輸入變量uk是確定性的擬平穩(wěn)序列與過(guò)程噪聲wk、輸出噪聲νk不相關(guān)。對(duì)模型(1)系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)卡爾曼(Kalman)濾波增益K[9]，用來(lái)估算下一狀態(tài)：wk=Kνk。

此時(shí)，可將模型(1)轉(zhuǎn)換為

xk+1=Axk+Buk+Kνk，yk=Cxk+Duk+νk

(2)

目前，對(duì)模型(2)中的參數(shù)A、B、C、D以及K的估算主要有3種方法[10]：機(jī)理建模、智能建模和模型辨識(shí)方法。其中子空間辨識(shí)方法具有運(yùn)算速度快且無(wú)局部極小值、數(shù)值穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)[11]，得到廣泛應(yīng)用。

2 子空間自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制方法

預(yù)測(cè)控制方法是一種在線的閉環(huán)控制系統(tǒng)，通過(guò)預(yù)測(cè)模型替代機(jī)理模型，利用反饋進(jìn)行校正，實(shí)現(xiàn)控制輸入和輸出的滾動(dòng)優(yōu)化。圖2描述了稀土萃取過(guò)程的自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。

圖2 稀土萃取自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制

2.1 子空間預(yù)測(cè)模型

結(jié)合子空間辨識(shí)方法構(gòu)建子空間預(yù)測(cè)模型，對(duì)模型(2)中的yk進(jìn)行向前f步迭代運(yùn)算可得：

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行迭代運(yùn)算，可得以下Hankel矩陣形式，p表示過(guò)去p步的數(shù)據(jù)：

Yf=ΓXf+HUf+GVf，Xf=AfXp+ΛUp+ΛsVp，Yp=ΓXp+HUp+GVp

(4)

式(4)中，

(5)

矩陣Yf，Yp,Xf,Xp,Vf,Vp與上式類似。

Λ=[Af-1BAf-2B…B]，Λs=[Af-1KAf-2K…K]

(6)

(7)

(8)

式中：Lw和Lu是子空間矩陣，從Hankel數(shù)據(jù)矩陣中辨識(shí)得到。其中最簡(jiǎn)單的方法為最小二乘方法：

(9)

(10)

Lw=L(:,1:5f)Lu=L(:,5f+1:end)

式中：(·)?為Moore-Penrose偽逆運(yùn)算。

2.2 滾動(dòng)窗口的自適應(yīng)子空間預(yù)報(bào)模型

為了避免稀土萃取過(guò)程受到眾多不確定因素的影響，本文將利用滾動(dòng)窗口在線更新辨識(shí)數(shù)據(jù)，利用上一步的控制輸入/輸出數(shù)據(jù)更新模型辨識(shí)Hankel矩陣Up和Uf，保持辨識(shí)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度不變，更新規(guī)律如下：

(u-pu-p+1…uN-1uN)→(u-p+1u-p+2…uNuk)

(11)

式中：uk為當(dāng)前步數(shù)的輸出控制量，即稀土料液流量u1、萃取劑流量u2、洗滌液流量u3和稀土料液配分u4。

同理，Yp和Yf、Vp和Vf的更新與Up和Uf相似。利用更新后的Hankel矩陣進(jìn)行新模型在線辨識(shí)，類似于未更新Hankel矩陣的模型辨識(shí)算法(見(jiàn)2.1節(jié))。

2.3 子空間預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)

(12)

為了消除實(shí)際控制系統(tǒng)中在穩(wěn)定工作狀態(tài)下存在的誤差，利用積分作用可得預(yù)測(cè)增量輸出為

Δyk=yf,k-yf,k-1

(13)

可知在第k步再向前預(yù)測(cè)Nf步：

(14)

式中：ΓΔ為Γ修正后的廣義可觀測(cè)矩陣；HΔ為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)矩陣，具體換算如下：

(15)

比較Γ和ΓΔ、H和HΔ可知：

(16)

(17)

此時(shí)，式(14)為

(18)

F為過(guò)程輸出的自由響應(yīng)：

(19)

將式(19)代入式(12)，含有過(guò)程輸出自由響應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(20)

對(duì)式(20)求導(dǎo)并令等式為零向量可得控制律：

(21)

提取Δuf的第一個(gè)分量Δuf(1:4,:)施加于萃取過(guò)程，可得k+1時(shí)刻稀土萃取的控制量：

uk+1=uk+Δuf(1:4,:)

(22)

利用滾動(dòng)窗口不斷重復(fù)以上控制過(guò)程，從而使稀土萃取組成分含量沿著給定目標(biāo)值運(yùn)行，保障稀土萃取得到高精度組成分含量的控制目標(biāo)。

2.4 自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制算法實(shí)現(xiàn)

綜上，設(shè)計(jì)稀土萃取過(guò)程的自適應(yīng)子空間預(yù)測(cè)控制器具體算法如下：

(1)采集稀土萃取過(guò)程的輸入/輸出數(shù)據(jù)：稀土萃取監(jiān)測(cè)點(diǎn)y1組分A2的含量輸出yk；萃取劑流量、料液流量、洗滌液流量及稀土料液濃度控制量uk；設(shè)定Nf、Nu、Qy和Qu；

(2)根據(jù)式(5)構(gòu)建Hankel矩陣Yp和Up、Yf和Uf；

(4)由式(20)計(jì)算控制向量Δuf；

(5)根據(jù)式(21)～(22)計(jì)算uk+1，并取第一個(gè)分量uk+1=uk+Δuf(1:4,:)施加于稀土萃取過(guò)程；

(6)由式(10)更新模型辨識(shí)的輸入/輸出數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)控制的滾動(dòng)優(yōu)化策略，轉(zhuǎn)到步驟(2)。

3 仿真與分析

為了驗(yàn)證本文方法對(duì)于稀土萃取的控制性能，以某稀土公司采用HAB萃取劑從含Y2O3>40%的離子型稀土礦中分離提取高純釔[13]為對(duì)象進(jìn)行仿真研究，初始數(shù)據(jù)：yk=0.4810，uk=[30.50 3.10 4.79 0.4350]T，Nf=10，Nu=2,Qy=Qu=1，要求監(jiān)測(cè)點(diǎn)處的組成分含量必須達(dá)到0.900。以采樣150組稀土萃取過(guò)程控制輸入輸出樣本數(shù)據(jù)，分別使用文獻(xiàn)[8]的廣義預(yù)測(cè)控制方法(GPC方法)、子空間兩變量方法(只含u1、u3)(傳統(tǒng)方法)和子空間四變量方法(u1、u2、u3、u4)(本文方法)進(jìn)行仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)。圖3為三種控制方法在監(jiān)測(cè)點(diǎn)處組成分含量跟蹤仿真情況，表1是三種控制方法的跟蹤誤差值統(tǒng)計(jì)情況。

表1 3種方法跟蹤誤差值控制方法最大值最小值平均值協(xié)方差GPC方法0.419000006.38E-120.0323875490.010648125傳統(tǒng)方法0.24188093100.0024856180.000342917本文方法0.21503128700.0019871270.000265054圖3 稀土萃取組成分含量跟蹤仿真情況

由圖3可知，三種方法在第40步之后都能精確跟蹤目標(biāo)值，在第40步之前GPC方法的跟蹤效果較差，存在一定的跟蹤延遲，跟蹤真值的調(diào)整時(shí)間最長(zhǎng)；本文方法同時(shí)控制4個(gè)變量，其跟蹤調(diào)整時(shí)間最短，取得一定的效果；傳統(tǒng)子空間兩變量方法跟蹤快速性不及本文方法，調(diào)整時(shí)間介于GPC方法和本文方法。結(jié)合表1的誤差統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，GPC控制方法的最大值、最小值、平均值以及協(xié)方差都是最大的，本文方法的跟蹤精度是最高的。

圖4和圖5分別是三種方法的稀土萃取料液流量u1、洗滌液流量u3的仿真情況。

由圖4和圖5可知，GPC方法的各流量變化最大，傳統(tǒng)兩變量方法能迅速調(diào)節(jié)流量達(dá)到穩(wěn)定值，但在控制起初變化劇烈，本文四變量方法能快速調(diào)整到穩(wěn)定值，變化較小。本文四變量方法的其余兩個(gè)控制量u2、u4的情況見(jiàn)圖6、圖7，其變化量也相對(duì)較小，系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定。

圖4 u1仿真情況 圖5 u3仿真情況 圖6 u2仿真情況 圖7 u4仿真情況

為了驗(yàn)證本文方法的抗干擾性能，在第100步，加入u100=[31.57 3.06 4.88 0.6670]，的干擾因素，跟蹤仿真情況如圖8所示。

圖8 數(shù)據(jù)突變的組成分含量跟蹤仿真情況

由圖8可知，GPC方法得到的跟蹤效果明顯滯后于其他控制方法，而本文四變量方法在受到干擾情況跟蹤調(diào)整速度較傳統(tǒng)兩變量的跟蹤快速性要好，這說(shuō)明了本文方法的抗干擾能力較好。

4 結(jié)語(yǔ)

本文利用稀土萃取過(guò)程中歷史采集數(shù)據(jù)，運(yùn)用子空間辨識(shí)方法，構(gòu)建了萃取劑流量、料液流量、洗滌液流量及稀土料液濃度的四變量預(yù)測(cè)控制模型，解決稀土萃取過(guò)程中多變量相互耦合的強(qiáng)非線性，并使用滾動(dòng)窗口新增辨識(shí)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)更新模型參數(shù)，設(shè)計(jì)了稀土萃取的子空間自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制器。利用MATLAB進(jìn)行稀土萃取過(guò)程仿真實(shí)驗(yàn)，同時(shí)對(duì)控制器抗干擾性進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，本文的控制方法控制精度較高，在受到系統(tǒng)干擾情況亦能有效地跟蹤目標(biāo)值。