冀 哲 薛永安

（太原理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院，山西 太原 030024）

0.引言

地下礦產(chǎn)采出后，開(kāi)采區(qū)周?chē)鷰r土體的原始應(yīng)力平衡狀態(tài)被破壞，巖土體上出現(xiàn)位移與變形[1]，對(duì)下伏采空區(qū)的建（構(gòu)）筑物安全運(yùn)維帶來(lái)了潛在的威脅。目前，針對(duì)礦產(chǎn)資源開(kāi)采引起的地表沉陷規(guī)律研究較多[2]，而利用布設(shè)于采空區(qū)上方的開(kāi)采沉陷觀測(cè)站實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行變形趨勢(shì)預(yù)測(cè)的研究較少，然而此類(lèi)研究是指導(dǎo)礦山施工與運(yùn)營(yíng)的重要保障[3]。然而，礦山開(kāi)采后的地表沉降變形機(jī)理復(fù)雜，傳統(tǒng)的概率積分法雖然發(fā)揮了重要的作用，但亟需借助新的預(yù)測(cè)理論提升預(yù)測(cè)可靠性。采空區(qū)地表沉降趨勢(shì)屬于非線(xiàn)性范疇，而灰色系統(tǒng)模型是解決非線(xiàn)性問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)方法之一[4，5]，因其建模時(shí)所需數(shù)據(jù)樣本較少、計(jì)算簡(jiǎn)單且預(yù)測(cè)精度較高等特點(diǎn)而被廣泛研究與應(yīng)用[5-7]。其中，基于GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)應(yīng)用較多[7,8]，各種改進(jìn)應(yīng)用成果豐富[9-11]，為開(kāi)展GM（1，1）模型改進(jìn)研究提供了理論與實(shí)踐參考。本文從數(shù)據(jù)預(yù)處理和殘差修正兩方面入手，形成對(duì)GM（1，1）模型的綜合改進(jìn)研究，為采空區(qū)地表沉降預(yù)測(cè)模型構(gòu)建進(jìn)行探索。

1.改進(jìn)灰色GM(1,1)模型

1.1 灰色GM(1,1)模型

灰色系統(tǒng)相比其他預(yù)測(cè)模型所需建模信息量小，屬于小樣本預(yù)測(cè)模型，但預(yù)測(cè)精度較高：范圍越大精度越高，越靠近預(yù)測(cè)時(shí)間段預(yù)測(cè)精度越高。目前，依據(jù)不同目的所建立的灰色系統(tǒng)模型較多，GM（1，1）是其中較常使用的預(yù)測(cè)模型之一，針對(duì)一個(gè)變量建模進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)，模型原理及計(jì)算步驟詳見(jiàn)文獻(xiàn)[12]。

1.2 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波主要用來(lái)剔除觀測(cè)數(shù)據(jù)中的噪聲誤差，在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[8]。受觀測(cè)方法約束，變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)主要來(lái)自周期性監(jiān)測(cè)結(jié)果，其應(yīng)用場(chǎng)景為離散型系統(tǒng)，因此，卡爾曼濾波觀測(cè)方程與狀態(tài)方程選擇離散化數(shù)學(xué)模型[8]具體如式（1）、式（2）所示：

式（1）、式（2）中，Xk、Lk、Vk為系統(tǒng)k時(shí)刻n×1階狀態(tài)向量、觀測(cè)向量、噪聲矩陣；

Fk/k－1、Gk、Wk－1為k-1時(shí)刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣向量（r×1階）、控制矩陣、控制變量；

Hk為觀測(cè)矩陣，用以聯(lián)系狀態(tài)向量與觀測(cè)向量。

一步預(yù)測(cè)方差矩陣Pk/k－1如式（4）所示：

式（4）中，Pk－1、Qk－1分別為的協(xié)方差矩陣。

式（5）中，J為濾波增益矩陣，其具體形式如式（6）所示：

將設(shè)定算法中前一時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)值和現(xiàn)在時(shí)刻的觀測(cè)值輸入上述模型中，通過(guò)循環(huán)遞推運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)當(dāng)前狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)，起到消除觀測(cè)值中隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的目的，提高預(yù)測(cè)精度。

1.3 非線(xiàn)性多項(xiàng)式擬合殘差修正

目前，對(duì)GM（1，1）模型的殘差修正多采用GM（1，1）模型進(jìn)行，這種修正方式顯然未考慮殘差符號(hào)各異性特征。針對(duì)非線(xiàn)性特征明顯的殘差序列，可以采用多項(xiàng)式擬合方式對(duì)殘差值進(jìn)行擬合修正，從而改善GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)精度。原理如下：

設(shè)殘差序列如式（7）所示：

多項(xiàng)式擬合函數(shù)如下[11]如式（8）所示：

2.預(yù)測(cè)模型與預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)

2.1預(yù)測(cè)模型評(píng)價(jià)

GM（1,1）模型檢驗(yàn)通常以C、P值判定，C、P值的計(jì)算方法見(jiàn)文獻(xiàn)[12]，根據(jù)C、P值的計(jì)算結(jié)果判定GM（1,1）模型精度等級(jí)[12]如表1所示，總體評(píng)價(jià)時(shí)一般取C值與P值評(píng)價(jià)結(jié)果中最高等級(jí)為模型等級(jí)。

表1 GM（1,1）模型精度等級(jí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

2.2預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)

一般常用以下五種指標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)，具體計(jì)算方法如下[13]：

（1）預(yù)測(cè)誤差平方和（SSE）

以預(yù)測(cè)誤差值的平方和作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，計(jì)算式如式（11）所示：

（2）均方誤差（MSE）

以預(yù)測(cè)誤差值平方和取平方根的平均值作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，計(jì)算式如式（12）所示：

（3）平均絕對(duì)誤差（MAE）

以預(yù)測(cè)誤差值的絕對(duì)值的平均值作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，計(jì)算式如式（13）所示：

（4）平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）

以預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差絕對(duì)值的平均值作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，計(jì)算式如式（14）所示：

（5）均方百分比誤差（MSPE）

%%以預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差平方和取平方根的平均值作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，計(jì)算式如式（15）所示：

上述五個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的取值范圍均為［0，＋∞），當(dāng)預(yù)測(cè)值與真實(shí)值完全吻合時(shí)等于0，預(yù)測(cè)模型為完美模型。誤差越大，指標(biāo)值越大，預(yù)測(cè)精度越低，預(yù)測(cè)模型也越差。

3.實(shí)例驗(yàn)證

3.1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本次研究收集到了陜西省北部某煤礦地表沉降趨于穩(wěn)定后的15期實(shí)測(cè)累計(jì)沉降觀測(cè)值為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)其中的A06號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)前12期數(shù)據(jù)進(jìn)行模型擬合，對(duì)后3期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)比實(shí)測(cè)值對(duì)模型精度和預(yù)測(cè)精度進(jìn)行分析。

3.2改進(jìn)灰色GM（1,1）模型結(jié)果

記傳統(tǒng)灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型為GM（1，1），采用卡爾曼濾波進(jìn)行觀測(cè)值平滑后進(jìn)行灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)的模型為GM（1，1）0，采用非線(xiàn)性多項(xiàng)式擬合進(jìn)行GM（1，1）預(yù)測(cè)結(jié)果殘差修正的模型為GM（1，1）1，采用卡爾曼濾波進(jìn)行觀測(cè)值平滑后進(jìn)行灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)，并對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行非線(xiàn)性殘差修正的模型為GM（1，1）2。

分別采用GM（1，1）、GM（1，1）0、GM（1，1）1、GM（1，1）2模型對(duì)A06號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)地表沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果殘差對(duì)比如表2所示。

由表2可知：GM（1，1）模型在A06點(diǎn)的擬合值平均相對(duì)誤差和預(yù)測(cè)值平均相對(duì)誤差分別為0．10%和0．16%，GM（1，1）0模型為0．10%和0．16%，GM（1，1）1模型為0．07%和0．39%，GM（1，1）2模型為0．07%和0．13%。同時(shí)，GM（1，1）、GM（1，1）0、GM（1，1）1、GM（1，1）2四種模型在A06點(diǎn)的擬合值殘差中誤差分別為2．61、2．61、1．52、1．48，而預(yù)測(cè)值殘差中誤差分別為3．68、3．52、8．39、2．73?？梢钥闯?，GM（1，1）1和GM（1，1）2模型的擬合值平均相對(duì)誤差和中誤差明顯小于GM（1，1）和GM（1，1）0模型，GM（1，1）2模型的預(yù)測(cè)值平均相對(duì)誤差和中誤差小于其他三種模型，而GM（1，1）1模型的預(yù)測(cè)值平均相對(duì)誤差和中誤差卻是四種模型中最大的。

由此表明：通過(guò)原始觀測(cè)值進(jìn)行卡爾曼濾波處理后的GM（1，1）0模型并未有效提升預(yù)測(cè)精度，對(duì)GM（1，1）模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行非線(xiàn)性多項(xiàng)式殘差修正的GM（1，1）1模型獲得了良好的擬合精度，但卻未能獲得相應(yīng)良好的預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差隨步數(shù)增大而迅速增大。而組合卡爾曼濾波預(yù)處理與非線(xiàn)性多項(xiàng)式殘差修正后處理的GM（1，1）2模型較GM（1，1）模型預(yù)測(cè)精度有明顯提升，增益效果明顯。

表2預(yù)測(cè)結(jié)果殘差對(duì)比表

表3模型等級(jí)與預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)

3.3 模型檢驗(yàn)與預(yù)測(cè)精度

據(jù)表2計(jì)算得到A06點(diǎn)在四種預(yù)測(cè)模型下的C、P、SSE、MSE、MAE、MAPE和MSPE值，結(jié)果如表3所示。

由表3可知：GM（1，1）1和GM（1，1）2模型的模型等級(jí)均為一級(jí)，而GM（1，1）、GM（1，1）0的模型等級(jí)均為二級(jí)。對(duì)比SSE、MSE、MAE、MAPE和MSPE值可以看出，GM（1，1）2模型是預(yù)測(cè)精度最高的模型，GM（1，1）0模型次之，其次是GM（1，1）模型，GM（1，1）1模型則是預(yù)測(cè)精度最差的模型。

3.4 討論

（1）由表2、表3可以看出：GM（1，1）2模型總體預(yù)測(cè)精度最高，是較其他三種模型更適用于煤礦采空區(qū)地表沉降變形預(yù)測(cè)的非線(xiàn)性系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型。

（2）卡爾曼濾波在變形監(jiān)測(cè)領(lǐng)域應(yīng)用眾多，可以實(shí)現(xiàn)觀測(cè)值的平滑處理，本文采用卡爾曼濾波對(duì)觀測(cè)值序列進(jìn)行預(yù)處理，再利用GM（1，1）模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。從表2、表3統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看：盡管經(jīng)過(guò)卡爾曼濾波預(yù)處理的觀測(cè)值序列更平穩(wěn)，但GM（1，1）0模型并未能達(dá)到明顯改善預(yù)測(cè)精度的預(yù)期效果，本文數(shù)據(jù)源中其他數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果也如此，與現(xiàn)有研究對(duì)比分析認(rèn)為，應(yīng)與數(shù)據(jù)序列中存在個(gè)別較大突變有關(guān)。今后應(yīng)擴(kuò)大實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)源，繼續(xù)就此問(wèn)題進(jìn)行研究，為變形預(yù)測(cè)模型提供適用性更好的濾波模型進(jìn)行觀測(cè)值預(yù)處理。

（3）由表3可知：GM（1，1）0模型與GM（1，1）模型預(yù)測(cè)精度基本一致，GM（1，1）2模型較GM（1，1）1模型預(yù)測(cè)精度高，由此表明，采用卡爾曼濾波預(yù)處理和殘差修正組合后的模型預(yù)測(cè)精度增益明顯。今后仍應(yīng)就此問(wèn)題進(jìn)行更廣泛的實(shí)驗(yàn)對(duì)比，構(gòu)建采空區(qū)地表沉降變形穩(wěn)健預(yù)測(cè)模型。

4.結(jié)束語(yǔ)

（1）相對(duì)誤差、中誤差、C、P、SSE、MSE、MAE、MAPE和MSPE值一致表明，GM（1,1）2是適用于采空區(qū)地表沉降變形預(yù)測(cè)的模型。

（2）卡爾曼濾波對(duì)GM（1,1）模型預(yù)測(cè)精度增益不明顯，但會(huì)對(duì)殘差修正模型預(yù)測(cè)精度帶來(lái)提升，同時(shí)開(kāi)展卡爾曼濾波和殘差修正的GM（1,1）2模型預(yù)測(cè)精度高于殘差修正GM（1,1）1模型、卡爾曼濾波預(yù)處理GM（1,1）0模型和原始GM（1,1）模型的預(yù)測(cè)精度。

本文的結(jié)論對(duì)采空區(qū)地表沉降變形預(yù)測(cè)研究具有一定的參考價(jià)值，但卡爾曼濾波改進(jìn)效果不理想，今后應(yīng)就此問(wèn)題繼續(xù)開(kāi)展研究，同時(shí)推進(jìn)非線(xiàn)性系統(tǒng)理論變形預(yù)測(cè)方法體系發(fā)展。