吳圣蘭， 周 彪， 楊 樂

(1.江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，蘇州 無錫 214122；2.坎特伯雷大學(xué) 電氣與計算機工程系，新西蘭 基督城 8024)

0 引 言

基于衛(wèi)星的無源定位追蹤系統(tǒng)是通過導(dǎo)航或者衛(wèi)星對地球坐標系下的非合作目標進行定位和導(dǎo)航的定位技術(shù)，被廣泛運用于探測和電子偵察，具有重要的應(yīng)用前景[1]。

眾多定位方法中比較常見的是利用非合作目標所輻射出的信號時差(time difference of arrival,TDOA)與頻差(frequency difference of arrival,FDOA)進行聯(lián)合定位[1,2]。對于TDOA/FDOA定位的問題，傳統(tǒng)的無源定位系統(tǒng)主要是基于普通數(shù)值計算的狀態(tài)估計。文獻[3]利用加權(quán)最小二乘法得到目標位置與速度的初始值，使用泰勒級數(shù)展開將中間變量線性化，對位置和速度初始值進行校正。文獻[4]提出了一種基于加權(quán)最小二乘的閉式算法，對兩步加權(quán)最小二乘算法進行改進。針對閉式算法受噪聲影響較大的問題，文獻[5]建立了一種約束總體最小二乘模型，采用拉格朗日乘子法求解，均方誤差更低。

傳統(tǒng)的基于數(shù)值的無源定位方法可以實現(xiàn)單點定位，但在工程實際中，由于測量誤差較大、測量誤差分布等信息未知的問題，單點定位的結(jié)果往往無法保證其可靠程度，甚至可能出現(xiàn)無解的情況，如定位結(jié)果不滿足輻射源運動的先驗信息。區(qū)間計算的提出解決了數(shù)值分析中的確定性問題，同時也提供了計算結(jié)果的可信度。區(qū)間計算方法在參數(shù)估計領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，文獻[6]提出基于區(qū)間分析的牛頓迭代法用于求解非線性方程組，文獻[7]在存在有界誤差的條件下，針對非線性方程的參數(shù)估計提出了基于區(qū)間分析的集逆求解算法。

在上述背景下，本文創(chuàng)新地將區(qū)間分析理論應(yīng)用于時頻差無源定位[8，9]。首先由先驗知識獲得一個初始的位置搜索區(qū)間，對其進行分割，并利用二分法進行求解。通過區(qū)間逼近、初篩等區(qū)間分析方法，利用迭代對其進行區(qū)間收縮，最后得到一個包含目標位置真實值的位置區(qū)間。

1 三星定位追蹤場景

無源定位系統(tǒng)使用位于地球同步軌道的衛(wèi)星對地球表面的運動輻射源進行位置和速度估計，定位場景如圖1所示。在地心地固坐標系坐標系中，三個衛(wèi)星基站s1,s2和s3組成定位系統(tǒng)，對輻射源u的信號到達衛(wèi)星的TDOA和FDOA進行觀測。

圖1 地心地固坐標系下三衛(wèi)星定位測速場景

綜上，將輻射源的位置從地心地固坐標系轉(zhuǎn)換到WGS—84大地坐標系可以減少待求未知量，其轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(1)

式中h為輻射源的高程，本文場景下即為地球半徑常數(shù)；γ(φ)為輻射源所在的卯酉圈曲率半徑

(2)

式中re為WGS—84橢球的長半軸，e為第一偏心率。而輻射源的速度矢量從WGS—84坐標系到地心地固坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(3)

2 算法描述

地面輻射源u到基站si的真實距離為

r°i=‖u°-s°i‖,i=1,2,3

(4)

式中 ‖·‖為歐氏距離。設(shè)定基站s1為參考基站，輻射源u到基站si與到基站s1的信號會形成時頻差，真實時差和頻差分別為

(5)

i=2,3

(6)

式中c為信號在介質(zhì)中的傳播速度，f0為載波的中心頻率，ρa,b為從a到b的單位向量。

在實際應(yīng)用中，觀測到達信號的時差與頻差會存在誤差，由于誤差的概率分布獲取比較困難，而誤差界更容易得到，本文假定觀測的信號誤差為有界誤差[6，7]，則有

(7)

(8)

式中 [Δτ]和[Δf]分別為已知的時差和頻差觀測誤差界。

2.1 區(qū)間分析

由于區(qū)間計算的特殊性，根據(jù)式(5)和式(6)采用Chan等算法進行直接求解會導(dǎo)致結(jié)果區(qū)間過大無法采用，故本文采用以下三步進行位置和速度的精確區(qū)間求解：

1)按緯度方向?qū)ο闰瀰^(qū)間劃分。根據(jù)先驗信息，可以確定輻射源的初始經(jīng)緯區(qū)域[θ]=[[φ],[φ]]T。初始速度區(qū)間 []=[[vφ],[vφ]]T可以由位置估計的解區(qū)間和觀測基站的頻差關(guān)系得到。

2)使用二分法對區(qū)間時頻差線進行矩形離散化。以TDOA為例，將劃分的緯度線作為零點，通過在區(qū)間內(nèi)取經(jīng)度中點，使得TDOA逐步趨于緯度，從而得到近似解。如圖2所示，圖中淺灰色區(qū)域為位置初始區(qū)域，橫軸和縱軸分別表示為經(jīng)度和緯度，具有寬度的深灰線表示帶有有界誤差的TDOA。圖中虛線則表示對初始位置區(qū)間的緯度進行劃分，利用二分法可以得到對應(yīng)TDOA劃分的經(jīng)度。

圖2 TDOA在緯度方向進行矩形離散化

多次二分法求解可以得到TDOA的離散點集，對應(yīng)圖2中的黑點。區(qū)間逼近表現(xiàn)在圖2中則是由點集構(gòu)成的方框，從圖2中可以看出,方框集合完全覆蓋了TDOA。從初始區(qū)間到方框的區(qū)間逼近，方法大大實現(xiàn)了區(qū)間的收斂。根據(jù)積分原理，劃分越密集，其區(qū)間逼近越接近。利用矩形區(qū)間近似表示TDOA或FDOA，對初始區(qū)域進行了收斂。

圖3 區(qū)間交疊運算后外接矩形，確定新的先驗信息

對相交的區(qū)域外接矩形，將該外接區(qū)間作為新的初始區(qū)間重新進行劃分，通過二分法求解后進行區(qū)間逼近與初篩，重復(fù)此過程，運算至外接矩形的寬度恒定不變。最后得到一個極小的區(qū)間，該區(qū)間作為最后的結(jié)果，誤差極小且必定包含真實值。

2.2 速度的初始區(qū)間估計

雖然本文將TDOA與FDOA的定位測速區(qū)間分析合并討論，在實際算法中卻存在先后順序。輻射源速度的初始區(qū)間根據(jù)區(qū)間分析后的位置解區(qū)間和頻差方程可以得到，根據(jù)式(3)速度的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得

(9)

將上述轉(zhuǎn)換關(guān)系代入頻差方程(6)可得

(10)

其中

(11)

(12)

圖4給出了方法的流程。

圖4 區(qū)間化無源定位測速算法流程

本文從包含輻射源真實位置的初始區(qū)間開始，利用區(qū)間分析對輻射源的位置區(qū)間進行估計。根據(jù)頻差方程，由位置區(qū)間可以得到輻射源的初始速度區(qū)間，同樣利用區(qū)間分析法估計輻射源的速度區(qū)間。

3 仿真分析

為驗證本文利用區(qū)間分析實現(xiàn)對運動輻射源定位的可行性，獲取了衛(wèi)星星歷數(shù)據(jù)進行仿真分析。地球表面的運動輻射源位置為{20°N,120°E}，其高程為0 km，正北方向和正東方向速度分別為70 m/s和90 m/s，位置的初始區(qū)域為{0°N～40°N,90°E～140°E}。

在位置區(qū)間分析中，假定TDOA的量測誤差為有界誤差且在誤差內(nèi)服從均勻分布。實驗設(shè)置TDOA量測誤差界[Δτ]=[-500,500]ns，圖5給出了基于TDOA的區(qū)間分析算法的估計結(jié)果，并加以放大以顯示其細節(jié)。解區(qū)間的緯度寬度在0.10°左右，經(jīng)度寬度在0.17°左右。由圖的放大過程，可以看出區(qū)間迭代的效果。

圖5 離散化的TDOA線進行區(qū)間交疊和迭代估計的輻射源位置區(qū)間

將得到輻射源的位置區(qū)間代入頻差方程得到速度的初始區(qū)間。同樣假定FDOA的量測誤差為有界誤差且服從均勻分布，設(shè)置FDOA的量測誤差界[Δf]=[-2,2]Hz。圖6給出了基于FDOA的區(qū)間分析算法的速度估計結(jié)果，解區(qū)間的緯向速度寬度在5 m/s左右，經(jīng)向速度寬度在10 m/s左右。速度區(qū)間估計中輻射源的位置也是區(qū)間，所以速度結(jié)果的寬度較大。

圖6 離散化的FDOA線進行區(qū)間交疊和迭代后得到輻射源速度的估計結(jié)果

圖7描述了只考慮TDOA誤差的條件下，位置和速度的估計區(qū)間面積隨TDOA誤差界寬度的變化曲線。由圖可知，隨著TDOA誤差界寬度增大，輻射源的位置估計區(qū)間和速度估計區(qū)間同時增大。

圖7 TDOA誤差界寬度對估計區(qū)間外接矩形的面積影響

從TDOA/FDOA定位原理來講，輻射源的位置估計主要由TDOA觀測量得到，而輻射源的速度估計主要由FDOA觀測量得到。目前只存在TDOA誤差影響的情況下，輻射源的速度估計也受到了影響，其原因在于估計輻射源速度區(qū)間時，需要代入位置估計區(qū)間，速度估計受到位置估計的影響。

圖8描述了在輻射源位置確定，在只考慮FDOA誤差的情況下，其速度的估計區(qū)間面積隨FDOA誤差界寬度的變化曲線。由圖可見，隨FDOA誤差界寬度增大，輻射源的速度估計區(qū)間同時增大。

圖8 FDOA誤差界寬度對估計區(qū)間外接矩形的面積影響

根據(jù)區(qū)間分析原理，結(jié)果區(qū)間的大小反映了估計的可信度，隨著TDOA或FDOA誤差的增大，估計的輻射源位置與速度的區(qū)間面積也增大，符合區(qū)間分析原理。誤差較小時，估計的結(jié)果區(qū)間也較小，更加貼近真實值；誤差區(qū)間增大后，估計的結(jié)果區(qū)間也增大，雖然也包含真實值，但可信度相對不高。

4 結(jié) 論

在假設(shè)量測存在有界誤差的情況下，利用TDOA和FDOA的區(qū)間觀測量和衛(wèi)星星歷提出了一種基于區(qū)間分析的定位算法，用于對已知高程的運動輻射源進行定位和測速，并得出必定包含輻射源的真實位置和速度的區(qū)間解。

算法首先根據(jù)時差的觀測量確定輻射源初始的位置區(qū)間，根據(jù)區(qū)間分析原理，利用區(qū)間逼近和初篩縮小初始區(qū)間，并采用迭代的方式將區(qū)間收斂至極接近輻射源的真實位置。根據(jù)收斂后的位置區(qū)間，通過頻差方程求得輻射源的初始速度區(qū)間，同樣利用區(qū)間分析對其進行收斂。最后得到的輻射源位置和速度區(qū)間結(jié)果寬度較小，接近真實值。

基于區(qū)間計算的定位追蹤框架所獲得的確定包含真實值的區(qū)間結(jié)果將使得多系統(tǒng)(包括不同量測體制)間的定位追蹤協(xié)作變得方便且高效。多系統(tǒng)所獲得的區(qū)間結(jié)果之間通過區(qū)間交疊便可以縮小目標狀態(tài)變量范圍，而后縮小的區(qū)間結(jié)果又可以作為先驗信息，通過區(qū)間逆向收縮運算進行量測區(qū)間的縮小；如此往復(fù)收縮迭代即可實現(xiàn)多系統(tǒng)間的無縫協(xié)同追蹤。據(jù)此，未來我們將區(qū)間計算理論應(yīng)用在多系統(tǒng)協(xié)同領(lǐng)域展開深入研究。