潘 碩，曾 坤，范鑫源，曹澤乾*

(1.中車唐山機(jī)車車輛有限公司，河北 唐山 063035；2.北京交通大學(xué)國家能源主動(dòng)配電網(wǎng)研究中心，北京 100044)

1 引言

在電動(dòng)汽車、儲(chǔ)能技術(shù)以及越來越多電力和能源需求的當(dāng)下,電池得到了廣泛的應(yīng)用。但是隨著電池應(yīng)用的場景變得越來越多樣化，復(fù)雜的應(yīng)用場景給電池的性能也提出了更高要求。為了提高電池的容量水平，滿足日益增長的功率和能量需求，電池不可避免的需要采用并聯(lián)的連接方式。整體模型(Bulk Module)是目前最常用的電池組仿真模型，將單個(gè)電池的仿真結(jié)果放大幾倍來表示一個(gè)電池組。但整體模型忽略了電池之間的不一致性，比如在快速充電等電流過大的情況下，這種忽略不能反映電池組內(nèi)部的電流分布，并且會(huì)導(dǎo)致誤差增大。但是由于電池制造過程中的技術(shù)問題，出廠時(shí)電池的內(nèi)阻和容量都存在著一定程度的不一致性[1,2]，并且在單體成組后，會(huì)在運(yùn)行過程中進(jìn)一步對單體電池的性能產(chǎn)生不同的影響，從而加速成組電池不一致性的發(fā)展[3]。

這種不一致性會(huì)影響對電池的可用功率和可用能量的判斷，比如日常生活中降低駕駛性能。隨著電動(dòng)汽車快速充電技術(shù)的發(fā)展，電動(dòng)汽車所使用的電池將承受越來越大的電流，此時(shí)不一致性的影響將會(huì)越來越明顯。同時(shí)不一致的電流分布參數(shù)對電池SOC和SOH有較大的影響，建模時(shí)應(yīng)考慮不一致的影響[4]。

為了實(shí)現(xiàn)快速仿真，本文提出了一種適用于非均勻參數(shù)并聯(lián)電池組仿真的等效電路模型的簡化方法，利用該方法可以簡化任意并聯(lián)數(shù)的電路，實(shí)現(xiàn)快速仿真。為了得到更一般性的結(jié)論，基于本文提出的方法對電流分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，通過蒙特卡羅仿真研究了電路并聯(lián)電阻數(shù)和電阻不一致性對電池組電流分布的影響；通過改變并聯(lián)電阻數(shù)和電阻不一致性，進(jìn)行了一系列仿真。結(jié)果表明：隨著并聯(lián)數(shù)的增加，峰值呈近似對數(shù)趨勢增加；隨著電池正態(tài)分布電阻相對標(biāo)準(zhǔn)差的增大，其峰值呈線性趨勢增加。

2 方法與實(shí)驗(yàn)

2.1 模型選擇

針對不同電池材料和應(yīng)用場景，學(xué)者們提出各種電池建模方法，應(yīng)用最廣泛的是等效電路模型[5]。對于電池組的建模，通常采用整體模型。在整體模型中，所有電池參數(shù)完全一致，使用等效電流模型的放大輸出來表示電池組模型。整體模型能很好地反映電池組的整體特性，但不能模擬電池組內(nèi)部的不一致性。

以往的研究中已經(jīng)注意到參數(shù)分布與電池模組不一致兩者相關(guān)的重要性。姜等人[6]證明了將串聯(lián)電池組作為單個(gè)電池的建模方法比單獨(dú)建模的方法誤差更大。Miyatake等[7]建立了并聯(lián)電池模型，但只考慮了數(shù)量較少的情況。如果電池?cái)?shù)量較少，一般可以使用Simulink進(jìn)行并聯(lián)建模。但是隨著電池?cái)?shù)量的增加，基于Simulink方法的建模速度和仿真速度都明顯下降。

2.2 并聯(lián)電池模型簡化

仿真軟件大多采用數(shù)值方法求解微分方程。Gong等人[8]利用Simulink建模研究了電池參數(shù)不一致對分布的影響，但是電池并聯(lián)數(shù)目的上升增加整個(gè)系統(tǒng)聯(lián)立方程的數(shù)量，將會(huì)提升模型運(yùn)算的存儲(chǔ)消耗和時(shí)間成本。

為了準(zhǔn)確地模擬電池組模型并且研究電池組中電流分布的問題，本文以Thevenin模型為例，提出一種簡化電池組模型的方法。雖然簡化和推導(dǎo)過程是基于Thevenin模型的，但該方法可以擴(kuò)展到等效電路模型和基于等效電路模型的改進(jìn)模型，例如考慮溫度，考慮當(dāng)前充電倍率，甚至考慮老化效應(yīng)。

Thevenin電池模型如圖1中所示，正方向如圖中標(biāo)注，電阻Ro是歐姆電阻，采用RC電路來描述電池充放電過程中的極化現(xiàn)象。開路電壓(UOCV)由SOC控制。I是通過電池的電流，Uo表示端子電壓。

圖1 Thevenin電池模型Fig.1 Thevenin battery model.

為簡化運(yùn)算，本文假設(shè)電池模型參數(shù)僅僅受SOC影響。如果模型比較復(fù)雜，這些參數(shù)也可能受到溫度和充電倍率的影響。這些影響可以體現(xiàn)在查找關(guān)系表的工作量或簡化電化學(xué)方程得到的擬合公式中。本文以最常見的Thevenin模型為例進(jìn)行簡化。溫度和充電倍率的影響忽略不計(jì)。雖然這些假設(shè)忽略了許多電池的影響因素，但是在大多數(shù)情況下，這些假設(shè)都是合理的。更重要的是，這些因素可以在后期添加到該模型中，使模型更完整，更接近真實(shí)的工作狀態(tài)。

首先對并聯(lián)拓?fù)溥M(jìn)行研究，如圖2所示。該電路共并聯(lián)n個(gè)電池，編號(hào)為1至n。k支路電流為Ik，k支路端電壓為Uok。歐姆內(nèi)阻、極化電阻、極化電容分別為R0k、Rpk、Cpk。并聯(lián)電池組的總電流為Imerge，端電壓為Uomerge。

圖2 單體電池并聯(lián)成組方式與簡化Fig.2 Single battery parallel mode and simplification.

本文中僅考慮SOC對電池參數(shù)的影響，忽略溫度、充電倍率和老化的影響，沒有考慮電池之間的連接電阻。假設(shè)電池處于長時(shí)間靜置狀態(tài)，電池之間沒有平衡電流，極化電壓均為零。在給定的電路中，根據(jù)基爾霍夫電流定律，總電流等于每個(gè)分支的電流之和，進(jìn)一步可以得到公式(1)。因?yàn)樗须姵氐恼?fù)兩極相連，每個(gè)電池的終端電壓是相同的，之后可以推出公式(2)。

(1)

Uomerge=Uok(k=1,2,…,n)

(2)

將基爾霍夫電壓定律應(yīng)用于每個(gè)電池，可得公式(3)。同時(shí)本文將充電方向定義為正方向。

Uok=UOCVk+Upk+Ik×R0k(k=1,2,…,n)

(3)

將公式(2)帶入公式(3)，將支路電流帶入公式(1)，可以得到公式(4)，公式(4)直接反映了并聯(lián)支路總電流與電壓的關(guān)系。通過對公式(4)排序,可以得到公式(5)。

(4)

(5)

與約束公式(3)相比，公式(5)具有相似的結(jié)構(gòu)。可以把一個(gè)并聯(lián)的電池組看成一個(gè)等效電池。等效電池參數(shù)與電池組參數(shù)的關(guān)系如下：

(6)

(7)

這里不考慮等效電池SOC與原支路電池SOC之間的關(guān)系。由于使用這種方法可以單獨(dú)計(jì)算每個(gè)電池的SOC，在這種情況下,不需要計(jì)算整個(gè)電池組的SOC。將公式(6)(7)代入公式(5)得到簡化形式為公式(8)。

UOmerge=UOCVmerge+UPmerge+Imerge×R0merge

(8)

通過上述簡化,一個(gè)平行電池組可以等價(jià)于一個(gè)電池。首先計(jì)算等效電池參數(shù),然后引入方程計(jì)算總端電壓。根據(jù)公式(9)用總端電壓來推斷每個(gè)電池的電流。

Ik=-(UOCVk-UPk+UOmerge)/R0k(k=1,2,…,n)

(9)

而SOC和極化電壓是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，具有時(shí)間的累積效應(yīng)。為了便于計(jì)算，在時(shí)域采用歐拉法對電池狀態(tài)變量進(jìn)行離散化。以固定的步驟更新電池狀態(tài)，通過迭代法計(jì)算下一步的SOC值和極化電壓。大多數(shù)電池實(shí)驗(yàn)開始于一個(gè)已知的SOC點(diǎn),經(jīng)過長時(shí)間的靜置，電池可以完全去極化。因此在仿真開始時(shí)，假設(shè)每個(gè)電池的SOC已知，每個(gè)電池的極化電壓為0。SOC的計(jì)算方法為公式(10)極化電壓的計(jì)算方法為公式(11),其中t和t+1表示時(shí)間點(diǎn)，t表示離散過程中的步長。

(10)

(11)

如果Thevenin模型中的參數(shù)不隨SOC的變化而變化，進(jìn)而可以直接更新OCV。對于更一般的情況,電池參數(shù)與SOC相關(guān)，需要使用公式(12)更新參數(shù)。該函數(shù)通常是一張關(guān)系表或一個(gè)多項(xiàng)式擬合函數(shù)。如果考慮溫度，f函數(shù)的輸入應(yīng)該是SOC和溫度兩個(gè)變量。如果電池模型比較完整，其他因素也可以作為f函數(shù)的輸入變量。更新完電池參數(shù)后，可以使用公式(6)(7)再次簡化，迭代計(jì)算下一個(gè)時(shí)間步長的端電壓和支路電流。

(12)

在每個(gè)步驟中計(jì)算端電壓并使用端電壓推斷支路電流，然后使用公式(10)、公式(11)和公式(12)更新電池狀態(tài)變量和參數(shù)，并帶入下一次迭代。以上推導(dǎo)使用了Thevenin模型，它也適用于其他基于等效電路的模型，如考慮速率的影響和考慮OCV的遲滯效應(yīng)。只要電池模型的基本結(jié)構(gòu)是等效電路模型，就可以使用上述簡化方法。甚至可以結(jié)合產(chǎn)熱模型和散熱模型實(shí)時(shí)更新電池溫度信息，并考慮溫度對電池參數(shù)的影響。

本文通過簡化，使得整個(gè)系統(tǒng)沒有耦合變量。原并聯(lián)電池組的Thevenin模型有多個(gè)微分方程，需要同時(shí)求解，但是通過簡化和解耦方程組，大大減少了計(jì)算量。如果用矩陣的形式描述系統(tǒng)變量，計(jì)算速度可以進(jìn)一步加快。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

3.1 基于電流分布的蒙特卡羅仿真

在電動(dòng)汽車、儲(chǔ)能等大型應(yīng)用場合，為了滿足應(yīng)用要求，需要大量電池串聯(lián)或并聯(lián)使用。通常電池的數(shù)量會(huì)達(dá)到數(shù)千個(gè)，對每個(gè)電池的參數(shù)進(jìn)行測量顯然是不現(xiàn)實(shí)的。在這種情況下，統(tǒng)計(jì)電流分布更為重要。如果通過仿真可以預(yù)測電流分布的統(tǒng)計(jì)特性，可以為預(yù)測電池參數(shù)的變化提供參考。

蒙特卡羅仿真是一種依靠重復(fù)隨機(jī)抽樣得到數(shù)值結(jié)果的計(jì)算算法。其基本概念是使用隨機(jī)性來解決原則上可能是確定性的問題。由于電池生產(chǎn)、工藝、人工等方面的錯(cuò)誤,在電池出廠時(shí)，會(huì)產(chǎn)生特性上的差異。單體電池的參數(shù)在一定范圍內(nèi)是隨機(jī)的。通過不同初始值的模擬，可以統(tǒng)計(jì)、計(jì)算出結(jié)果的分布。蒙特卡羅仿真的前提是單次模擬時(shí)間足夠快，可以在短時(shí)間內(nèi)執(zhí)行多次。本文提出的簡化計(jì)算方法可以快速模擬復(fù)雜拓?fù)潆娐?為分析電池參數(shù)對電流分布的影響提供依據(jù)。為了獲得不同并聯(lián)數(shù)和不同電池參數(shù)分布對電流的影響,本文設(shè)計(jì)了蒙特卡羅仿真。用于蒙特卡羅仿真的電池組拓?fù)淠Ｐ腿鐖D3所示。電池并聯(lián)數(shù)量從2—20，即圖中的n從2—20。

圖3 用于蒙特卡羅仿真的電池組拓?fù)淠Ｐ虵ig.3 Battery pack topology model for Monte Carlo simulation.

電池的內(nèi)部參數(shù)受許多小的因素影響。中心極限定理指出,大量獨(dú)立且均勻的隨機(jī)變量相加,即使原始變量本身不是正態(tài)分布,其分布也將近似于正態(tài)分布。Rumpf等人[9]研究了1 100個(gè)商用電池的容量和內(nèi)阻分布,認(rèn)為其基本符合正態(tài)分布。許多文獻(xiàn)對電池參數(shù)分布規(guī)律進(jìn)行了計(jì)算,得到了相似的結(jié)論。下面的分析將基于正態(tài)分布電池參數(shù),研究正態(tài)分布的并聯(lián)數(shù)和相對標(biāo)準(zhǔn)差對電流分布的影響。

在接下來的蒙特卡羅仿真中，本文對Thevenin模型做進(jìn)一步的假設(shè)。

(1)電池在充放電過程中參數(shù)保持不變，不受SOC等因素的影響；

(2)SOC與OCV之間的呈現(xiàn)線性關(guān)系。

通過上述假設(shè)，可以排除SOC不一致和不同SOC點(diǎn)斜率不一致造成的影響。首先假設(shè)電池具有相同的容量，只考慮電阻參數(shù)的正態(tài)分布。正態(tài)分布的期望μR為0.1，相對標(biāo)準(zhǔn)差σR/μR用d表示，σR/μR在1%～4.5%每隔0.5%變化一次，共8個(gè)點(diǎn)。并聯(lián)的數(shù)目用n表示，在2—20。將電池組的總電流Ipack設(shè)定為恒定的1 C，每個(gè)電池平均電流值為Iaverage。

仿真結(jié)果如圖4所示，內(nèi)阻不一致的三塊電池并聯(lián)時(shí)，先以30 A放電足夠長的時(shí)間，再以30 A充電足夠長的時(shí)間。初始時(shí)總電流一定，各個(gè)單體電池的SOC也一定，電阻值低于平均的支路電流較大。隨著電池組放電的繼續(xù)，電阻較小的支路SOC增加快于其他支路進(jìn)而使該支路OCV也更高。此時(shí)各支路的極化電壓Upk都在增加，其中電阻值低于平均的支路極化電壓較小。

圖4 內(nèi)阻不一致并聯(lián)電池單元充放電電流曲線Fig.4 Inconsistent internal resistance Charge-discharge current curves of parallel battery units.

通過對電路參數(shù)的設(shè)置，可以使得電阻值低于平均的支路極化電壓Upk在時(shí)間間隔內(nèi)的變化值小于OCV的變化值，電阻更高的支路則與之相反。根據(jù)公式(8)可以分析得出時(shí)間間隔內(nèi)電阻值低于平均的支路即電流值高于平均的支路電流會(huì)隨著放電的繼續(xù)使電流值減小，反之電流值低于平均的支路電流會(huì)增大，這種趨勢直到各支路電流相等后結(jié)束。上圖反映了電池組中各單體電池SOC和支路電流趨于一致的趨勢，與實(shí)際中電池組一致。電池的放電方向定義為正方向的電流。總放電電流為30 A，三塊電池除了內(nèi)阻外其他參數(shù)非常接近，所以每節(jié)電池的放電電流在10 A左右。

本文中仿真使用64位MATLAB 2020a軟件，計(jì)算機(jī)的處理器配置為Intel i5-6300，內(nèi)存配置為8 GB，計(jì)算機(jī)系統(tǒng)是Windows 10。本文以3個(gè)單體電池并聯(lián)為例進(jìn)行仿真結(jié)果對比。第一次仿真運(yùn)用相等關(guān)系聯(lián)立方程的方法，將三條支路電流設(shè)定為待求量，以三個(gè)單體電池的端電壓相同以及三條支路電流之和等于充放電總電流為相等關(guān)系列出聯(lián)立方程，在MATLAB中進(jìn)行循環(huán)求解，得到上圖4的電流曲線。第二次使用上文提出的簡化算法，兩者仿真結(jié)果相同，但是仿真需要的時(shí)間差異非常大。第一種求解算法需要的時(shí)間超過40 min，而第二種簡化算法只需要0.1 s左右。值得注意的是，如上仿真是建立在模型簡化假設(shè)下的，當(dāng)運(yùn)用非簡化電路模型時(shí)仿真計(jì)算所需時(shí)間差距將繼續(xù)增大，由以上結(jié)論可知本文提出的簡化算法在電池并聯(lián)時(shí)支路電流求解運(yùn)算中優(yōu)勢明顯。

對于n,d的特定組合，為了更好地描述電池電流偏離平均電流的程度，本文定義以下變量：

(12)

(13)

其中：Imax和Imin如圖5中所示，即支路中電流差異最大的兩個(gè)點(diǎn)。取10次相同d情況下Imax和Imin兩點(diǎn)電流的平均值。

圖5 放電階段Imax和Imin示意Fig.5 Schematic diagram of Imax and Imin during discharge.

3.2 仿真結(jié)果分析

電池單元并聯(lián)數(shù)增加電流分布擬合曲線如圖6所示，當(dāng)固定相對標(biāo)準(zhǔn)差d而并聯(lián)數(shù)n由2增加到20時(shí)，電流分布系數(shù)λr呈現(xiàn)增加的態(tài)勢，即隨著電池組中并聯(lián)數(shù)目的增加電流分布的偏差增大。

圖6 電池單元并聯(lián)數(shù)增加電流分布擬合曲線Fig.6 The number of cell parallel connections increases the fitting curve of current distribution.

根據(jù)擬合的結(jié)果來看，初始時(shí)隨著并聯(lián)數(shù)的增加電流分布的偏差變化較大，但到一定程度后隨著并聯(lián)數(shù)的增加電流分布的偏差變化趨緩，分析得知兩者的關(guān)系接近于y=alog(x)+b。

并聯(lián)電池單元內(nèi)阻不一致性增加電流分布擬合曲線如圖7所示，當(dāng)固定并聯(lián)數(shù)n而相對標(biāo)準(zhǔn)差d由1%增加到4.5%時(shí)，每隔0.5%為間隔共8個(gè)點(diǎn)，電流分布系數(shù)λr也呈現(xiàn)增加的態(tài)勢，即隨著電池組中并聯(lián)數(shù)目的增加電流分布的偏差增大。不同的是，當(dāng)相對標(biāo)準(zhǔn)差有序增加時(shí)，電流分布的偏差成正比例增加，分析得知兩者的關(guān)系接近于y=ax+b。

圖7 并聯(lián)電池單元內(nèi)阻不一致性增加電流分布擬合曲線Fig.7 Inconsistencies in the internal resistance of parallel cells increase the fitting curve of current distribution.

4 結(jié)論

電池在不同溫度狀態(tài)下的老化速率是不同的，單體電池溫度過高還可能導(dǎo)致整個(gè)模組電池?fù)p壞。如果無法維持溫度一致性，一段時(shí)間后電池間的差異就會(huì)顯現(xiàn)出來，并且這種差異是無法通過均衡技術(shù)來修復(fù)的。單體電池電流的不一致性是導(dǎo)致溫度不一致性的重要因素。

本文提出了一種適用于并聯(lián)數(shù)目較多的電路拓?fù)涞暮喕椒āＭㄟ^這個(gè)方法運(yùn)用基爾霍夫定律簡化復(fù)雜電路，避免計(jì)算過程許多偏微分方程，它可以極大地提高仿真速度?；诖朔椒?，假設(shè)電池內(nèi)阻服從正態(tài)分布，改變并聯(lián)電路數(shù)量和參數(shù)的正態(tài)分布對電流采用蒙特卡羅模擬方法研究了相關(guān)分布情況。本文得出的結(jié)論是：在只考慮正常情況下單個(gè)電池參數(shù)分布時(shí)，如果內(nèi)阻在服從正態(tài)分布的情況下，隨著并聯(lián)數(shù)的增加，電流分布偏差將會(huì)增大，兩者的關(guān)系接近于y=alog(x)+b；而隨著正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差的增大，電流分布偏差也會(huì)增大，兩者的關(guān)系接近于y=ax+b。這些關(guān)系可為電池組的設(shè)計(jì)提供參考，以控制電流偏差,減小電流梯度和溫度梯度，使電池在安全狀態(tài)下工作。