吳傳花，王自強(qiáng)

(貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

經(jīng)過多年來的研究，人們發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分能夠更好地描述反常擴(kuò)散的冪律結(jié)構(gòu)，分?jǐn)?shù)階微分方程因此受到了人們的高度重視，從而被應(yīng)用于各個(gè)科學(xué)與工程領(lǐng)域[1-2]。而生活中發(fā)生的大多現(xiàn)象都是隨機(jī)的，人們逐漸認(rèn)識(shí)到隨機(jī)擾動(dòng)是不可忽略、不可避免的，需要在研究的確定性控制方程的基礎(chǔ)上加入相應(yīng)的隨機(jī)項(xiàng)，因此隨機(jī)微分方程逐漸發(fā)展成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要分支，為了更有效地刻畫具有記憶和噪聲擾動(dòng)的自然現(xiàn)象，分?jǐn)?shù)階隨機(jī)微積分方程開始被人們所關(guān)注。

近年來，許多學(xué)者為求解分?jǐn)?shù)階隨機(jī)積分微分方程提供許多的數(shù)值方法，比如在文獻(xiàn)[3]中運(yùn)用了簡(jiǎn)單的歐拉方法，通過對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)B(t)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造了數(shù)值格式，分析了格式的適定性，并進(jìn)行了數(shù)值實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[4]針對(duì)求解一類隨機(jī)微分方程，提供了Milstein方法和Euler-Maruyama方法。還有譜配置方法、Tau方法、三次B-樣條函數(shù)逼近方法等[5-10]。

本文首先基于[0，1]上的正交函數(shù)移位勒讓德函數(shù)，利用高斯-勒讓德求積公式與譜配置方法相結(jié)合的思想構(gòu)造求解一類分?jǐn)?shù)階隨機(jī)積分微分方程的新的譜配置方法。然后針對(duì)構(gòu)造的數(shù)值方法進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn)，以驗(yàn)證算法的有效性。

1 數(shù)值算法的構(gòu)造

我們考慮如下的微分積分形式的分?jǐn)?shù)階隨機(jī)積分微分方程：

(1)

其中，Γ(·)表示Gamma函數(shù)，y，f，ki，i=1，2是定義在概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的隨機(jī)過程，y是未知的，B(s)為眾所周知的布朗運(yùn)動(dòng)，并且(1)式中右端的第三項(xiàng)帶有布朗運(yùn)動(dòng)的積分稱為伊藤積分，y0為已知常數(shù)。

下面我們給出伊藤積分的一些性質(zhì)，先給出布朗運(yùn)動(dòng)的定義：

定義1[4-5](布朗運(yùn)動(dòng)過程)

一個(gè)實(shí)值隨機(jī)過程B(t)，t∈[0，1]，如果滿足如下性質(zhì)，則稱為布朗運(yùn)動(dòng)。

(1)(獨(dú)立增量)對(duì)于t>s，B(t)-B(s)與過去無關(guān)，即與B(u)，0≤u≤s無關(guān)，或者與B(u)，u≤s生成的σ-域Fs無關(guān)；

(2)(正態(tài)分布)對(duì)任意的0≤u

(3)(路徑的連續(xù)性)當(dāng)t≥0時(shí)，B(t)是一個(gè)與t有關(guān)的連續(xù)函數(shù)。

注意，B(0)=0(概率為1)。

定義2[5](伊藤積分)

設(shè)v(S，T)是函數(shù)類，f∈v(S，T)，那么在空間L2(P)中f的伊藤積分形式為：

其中，φn是一個(gè)初等函數(shù)的序列，使得當(dāng)n→∞時(shí)，有如下的逼近關(guān)系：

性質(zhì)1[5](分部積分)

設(shè)f(s，w)=f(s)僅依賴于變量s，f在[0，t]上是連續(xù)的且有界變化的。那么

性質(zhì)2[5](伊藤引理)

設(shè)f∈v(S，T)，則

接下來，基于移位勒讓德多項(xiàng)式，引進(jìn)高斯-勒讓德求積公式和譜配置方法相結(jié)合的思想，對(duì)給出的一類隨機(jī)分?jǐn)?shù)階積分微分方程進(jìn)行求解?；谖墨I(xiàn)[5]，給出區(qū)間[0，1]上的i次移位勒讓德多項(xiàng)式：

φi(t)=Li(2t-1)，i=0，1，…，

其中Li是區(qū)間[-1，1]的i次勒讓德多項(xiàng)式。移位勒讓德多項(xiàng)式相鄰三項(xiàng)有如下關(guān)系：

φ0(t)=1，φ1(t)=2t-1，

i=1，2，…

當(dāng)權(quán)函數(shù)w=1時(shí)，Φ(t)的正交性如下：

其中δi，j是克羅內(nèi)克符號(hào)。

下面，將運(yùn)用移位勒讓德多項(xiàng)式的前N+1項(xiàng)展開(1)式中的y(t)和k(s，t)：

(2)

(3)

(4)

將(1)式中右端含有隨機(jī)過程的第三項(xiàng)按性質(zhì)1展開

(5)

接下來，將(2)式和(3)式代入(5)式中，用移位勒讓德多項(xiàng)式的前N+1項(xiàng)逼近y(t)，ki(s，t)可得

(6)

簡(jiǎn)化(6)式如下，

(7)

其中

CT=[c0，c1，…，cN]，

Φ(t)=(φ0(t)，φ1(t)，…，φN(t))T。

對(duì)(7)式中的積分項(xiàng)運(yùn)用高斯-勒讓德求積公式，首先進(jìn)行積分區(qū)間的變換：

s：=tθ，θ∈[0，1]，s∈[0，t]，

(8)

再次對(duì)積分區(qū)間[0，1]作變換：

(9)

用M點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式，則(9)式為：

(10)

其中，wm和τm是求積公式的權(quán)和節(jié)點(diǎn)。將(10)式中含有CT項(xiàng)都整理到等式左端：

=f(t)

(11)

在N個(gè)配置點(diǎn)處配置(11)式，我們給出一組合適的配置點(diǎn)，即切比雪夫-高斯點(diǎn)：

那么，(11)式變?yōu)椋?/p>

=f(tr)

(12)

Bj=Bj-1+dBj，j=0，1，…，P

則(12)式簡(jiǎn)化為：

(13)

現(xiàn)在結(jié)合初始條件和(13)式，有

CT(A，Φ(0))=(F，y0)

(14)

其中，A=Air，F(xiàn)=(f0，…，fN-1)。

(15)

因此，就可以得到y(tǒng)N(t)=CTΦ(t)。

綜上所述，我們可以通過構(gòu)造的數(shù)值算法計(jì)算方程在任意點(diǎn)t的值。

2 數(shù)值實(shí)現(xiàn)

例1 考慮如下分?jǐn)?shù)階隨機(jī)積分微分方程[5-6]

其中，y0=0，t∈[0，1]，當(dāng)σ=0時(shí)，該方程的解析解為y(t)=t3。

由于分?jǐn)?shù)階隨機(jī)積分微分方程的精確解是很難找到的，所以我們使用最簡(jiǎn)單的Euler-Maruyama法求解方程的解作為該方程的精確解，也就是圖1中的虛線部分作為本次數(shù)值實(shí)現(xiàn)的參考解，其中P=104。接下來，利用構(gòu)造的新的譜配置方法求出的解作為數(shù)值解，即圖1中的實(shí)線。

圖1是σ=1時(shí)數(shù)值解與參考解的逼近圖。在進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)N=17時(shí)，逼近效果是比較好的。通過圖1右上角的局部放大圖，我們發(fā)現(xiàn)，即使從整體上看，數(shù)值解逼近參考解的逼近效果還是可以的，但從局部上看，參考解和數(shù)值解之間還是有一定的誤差的。所以，要使得分?jǐn)?shù)階隨機(jī)積分微分方程的參考解與數(shù)值解之間的誤差盡可能的小，仍然是一個(gè)漫長(zhǎng)的研究過程，尤其是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有的特殊的性質(zhì)，使得高效的數(shù)值算法的構(gòu)造存在一定的困難。