黃 吉，叢 爽，張 坤

(中國科學技術大學 信息科學技術學院，安徽 合肥 230026)

0 引言

量子狀態(tài)估計(Quantum State Estimation，QSE)是獲取和處理用于重構量子狀態(tài)的量子測量值的過程，狀態(tài)估計問題可以轉化為優(yōu)化問題，并通過數(shù)值方法解決[1]。QSE是量子態(tài)閉環(huán)反饋控制的基礎，旨在實現(xiàn)高精度的量子狀態(tài)控制。一個n量子位系統(tǒng)可以通過密度矩陣ρ∈Cd×d(d=2n)來完全描述，它是一個半正定且矩陣跡為1的厄米矩陣[2]。QSE最常用的方法是基于強測量(投影測量)[3]，但這會導致要估計的量子系統(tǒng)坍塌[4]，因此強測量被認為不適合實時地進行QSE。

弱測量為量子狀態(tài)估計提供了另一種選擇。當測量對被測系統(tǒng)影響不大時，這種測量被稱為弱測量，連續(xù)弱測量(Continuous Weak Measurements，CWM)最早由Silberfarb等人提出[5]。與QSE需要指數(shù)級數(shù)量的同一密度矩陣ρ的全同復本不同，由于弱測量具有的不完全破壞特性[6]，CWM可以應用于自由演化中的量子系統(tǒng)。因此，使用CWM在線測量不斷演化中的量子系統(tǒng)更加方便。

傳統(tǒng)的優(yōu)化算法是離線的，它們需要在每次迭代時遍歷整個數(shù)據(jù)集，因而不適合實時大量的數(shù)據(jù)處理。為此開發(fā)出了隨機優(yōu)化技術，每次迭代只需處理一小部分可用數(shù)據(jù)[7-8]。這些方法可以應用于在線學習，例如跟蹤動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。這也正是本文中采取的方法。

在線量子狀態(tài)估計方面，已有研究有用于估計不變量子系統(tǒng)的在線學習算法[9-10]，單量子比特系統(tǒng)的在線狀態(tài)估計方法[11]等，其中后者是通過CVX(即MATLAB的凸優(yōu)化工具箱)[12]來解決對于每一個弱測量的優(yōu)化問題。但是，CVX本質上是一種離線優(yōu)化工具包，它通常僅限于中小型數(shù)據(jù)量的優(yōu)化。

本文旨在解決從連續(xù)弱測量中在線估計不斷演化的量子系統(tǒng)狀態(tài)問題。通過結合交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)和在線鄰近梯度法(Online Proximal Gradient，OPG)，針對量子約束下演化中的量子狀態(tài)估計的優(yōu)化問題，提出一種新型在線量子態(tài)估計算法。ADMM是處理可分離目標函數(shù)和結構化正則項問題的有效工具，可以解決分布式和并行數(shù)值優(yōu)化問題[13]；OPG是一種典型的基于鄰近梯度法的在線優(yōu)化算法[14]，文獻[15]中介紹了結合這兩類方法的一種在線學習算法。本文提出的算法應用于估計演化中量子系統(tǒng)的密度矩陣，并在1、2、3和4量子位系統(tǒng)中進行了實驗。

1 開放量子系統(tǒng)連續(xù)弱測量模型

量子系統(tǒng)的在線估計過程如圖1所示，它由兩個步驟組成(符號q-1表示單位延遲運算符)。第一步為連續(xù)弱測量過程，其包括：(1)在探測系統(tǒng)P和目標系統(tǒng)S之間引入耦合關系，以形成一個耦合系統(tǒng)；(2)使用測量算符M在每個采樣時間進行弱測量，從而獲得具有隨機噪聲的測量值y，其中包含真實密度矩陣ρ的信息。在線估計的第二步為在每個瞬間k同時重建量子態(tài)和測量噪聲，同時使用先前估計的值，從而形成跟蹤狀態(tài)演變的自適應濾波器。本文提出的估計器的目標是有效地在線估計動態(tài)量子系統(tǒng)的狀態(tài)。

圖1 在線量子態(tài)估計過程

下面描述開放量子系統(tǒng)的演化模型。假設探測器P的初始狀態(tài)為，目標系統(tǒng)S的初始狀態(tài)為，因此，對于耦合系統(tǒng)S?P，n量子 位開 放 系 統(tǒng) 的 演 化 耦 合 態(tài)可 以 表 示 為：其中?代表張量積；Δt是 較 短 的 作 用 時 間 間 隔；U(Δt)=exp(-iξΔt H/?)是 聯(lián)合演化算子，ξ表示系統(tǒng)S和P之間的相互作用強度，是普朗克常數(shù)(設置為等于1，對應于時間標度[16])，H=H0+uxHx代表系統(tǒng)的總哈密頓量(H0是自由哈密頓量，Hx是受控哈密頓量，ux是外部調(diào)節(jié)值)。通過推導弱測量前后系統(tǒng)S狀態(tài)之間的關系[17]，可以得到間接作用于二級量子系統(tǒng)的弱測量算子為：其中L?表示L的共軛轉置，L=ξσ是Lindblad相互作用算 子，σ表 示 泡 利 矩 陣，可 以 選 擇 為{σx，σy，σz，I}之一，并且是2×2的單位陣。弱測量算子m0(Δt)包含系統(tǒng)的總哈密頓量，因此弱測量過程捕捉了系統(tǒng)的演變。所以，基于m0(Δt)和m1(Δt)，對n量子位開放系統(tǒng)S，其演化算子Ai(Δt)∈Cd×d(i=1，2，…，2n)可以構造為[18]：

由此得到n量子位開放系統(tǒng)S的離散演化方程：

其中k=1，2，…，N表示采樣時間。 方程(2)是量子系統(tǒng)連續(xù)微分方程[18]的一階近似形式其中符號∑代表量子系統(tǒng)與外部環(huán)境之間所有相互作用的總和。

通過觀察演化方程(2)，可以得到測量算子的離散演變方程如下[18]：

其中，對每個采樣時間k都有Mk∈Cd×d。

實際系統(tǒng)中的測量值是通過估計作用于量子態(tài)ρ的算子M獲得的，即y=tr(M?ρ)。為了直接估計最新的量子態(tài)ρk(文獻[5]中，要估計的狀態(tài)始終是初始狀態(tài)ρ0，而ρk是間接獲得的)，構造了與實際系統(tǒng)輸出一致的測量關系[17]，可得到其測量序列如下：

其中，vec(X)表示將矩陣X按列向量排列，ei表示隨機測量噪聲，k-l+1是當k≥1時測量窗口的起點，l為滑動窗口的大小，tr(·)表示矩陣的跡，它是矩陣對角線數(shù)值的總和。

在實時系統(tǒng)操作期間，整個數(shù)據(jù)集不是預先可用的，而是以流方式獲取測量。本文提出的在線估計算法使用第k個測量yk以及先前的估計值來獲得，可以將其視為狀態(tài)演化ρk的在線跟蹤濾波器。

2 基于OPG-ADMM的量子態(tài)演化在線估計算法

2.1 OPG-ADMM

具有線性約束的可分離目標函數(shù)優(yōu)化問題為：

其中x∈Rn和z∈Rm是優(yōu)化變量，A∈Rp×n，B∈Rp×m，c∈Rp，f(x)和g(z)均是凸函數(shù)，χ和■都是閉合的凸集。

出于在線估計的目的，本文利用OPG-ADMM計算框架來解決文獻[15]中提出的問題(5)。該算法包括兩個步驟：

(1)對式(5)引入增廣拉格朗日函數(shù)：

其中λ∈Rp是拉格朗日乘子，α＞0是懲罰參數(shù)，懲罰項用來松弛收斂條件，并且使用完全平方來獲得增廣拉格朗日函數(shù)的完備形式。這樣，原始的優(yōu)化問題就被分成兩個關于f(x)和g(z)的單獨子優(yōu)化問題。

(2)利用OPG方法作為f(x)和g(z)優(yōu)化問題的更新規(guī)則，即對兩個子函數(shù)分別進行線性化迭代并執(zhí)行鄰近梯度更新。

在第k個時刻，OPG-ADMM分別求解關于x和z上的兩個單獨子問題，然后更新拉格朗日乘子λ。迭代公式如下：

2.2 在線量子態(tài)估計

為了減輕在線處理的計算負擔，同時充分利用弱測量值，從而達到更高的估計精度，采用了包含多個測量值的滑動窗口。需要注意的是，測量值的滑動窗口是動態(tài)的，并且包含最新的測量值：

其中，參數(shù)l是滑動窗口的大小。當獲得的測量值小于l時，窗口的大小等于系統(tǒng)演變的瞬時數(shù)，否則，窗口的大小將固定為l?；瑒哟翱诘母虏呗允窍冗M先出(FIFO），它允許將在線測量流合并到模型中，同時逐步刪除舊的測量值。當滑動窗口測量值飽和(即具有長度l)時，該算法有望達到高估計精度，并隨后繼續(xù)跟蹤狀態(tài)演變。從測量序列式(4)可以直接看出，在給定窗口中測量值可以寫為bk=Akvec(ρk)+ek，其中：

在此設置中，bk用于估計ρk，特別地，當獲得的測量值數(shù)大于或等于l時，Ak保持不變。

在線量子態(tài)估計問題可以表述為一系列凸優(yōu)化問題：

通過調(diào)用OPG-ADMM作為問題(13)的數(shù)值求解器，在線量子態(tài)估計問題可以分為兩個子問題。也就是，使用采樣矩陣Ak、測量值bk以及先前獲得的與估計時間k-1相關的估計值，估計出時間k處的密度矩陣和對應于第k個測量窗口的噪聲。和的子問題分別按順序執(zhí)行，然后更新拉格朗日乘子參數(shù)。其中，參數(shù)k表示連續(xù)測量和算法估計更新的采樣時間，通過對式(13)執(zhí)行OPG-ADMM的單次迭代，來設計適合實現(xiàn)的在線迭代算法。對于采樣時刻k，算法的單次迭代如下：

其中ηk＞0是步長參數(shù)，Pk0是鄰近參數(shù)。

在下文中，明確提供了解決兩個優(yōu)化問題的有效方法，用于更新(14a)、(14b)中的原始變量和，而λk的更新只需要按照(14c)，不再贅述。

其中，λmax是Ak的最大特征值，c是一個大于0的常數(shù)，本文實驗中選取c=0.1。

根據(jù)式(9)來看，當k≥l時，Ak≡(vec(Ml)，…，vec(M1))?是一個固定矩陣，因此，用于ηk的最大特征值只需要計算l次，l為滑動窗口的大小。由于Pk使得(14a)中二次項抵消后，剩余的鄰近端項表示為觀 察 此 鄰 近 項 可 以 看 出，它要求新的估計值“接近”前一個估計值，使得本算法具有動態(tài)跟蹤效果，滿足了實時在線估計的能力。

定義中間變量：

可以得到簡化形式：

約束問題(18)是一個半正定規(guī)劃，可以使用內(nèi)點法解決，通過特征值分解，可以設計一個直接求解方法[19]。對厄米矩陣酉矩對角化其中U∈Cd×d是一個酉矩陣，是一個對角矩陣，其包含的所有特征值。此 時，問 題(18)的 最 優(yōu) 解其 中從 下式獲得[19]：

由于問題(19)的最優(yōu)解是對角矩陣，因此問題可以歸結為單純形約束的投影問題，可以在有限步長（最多d=2n個步長）內(nèi)有效計算。

在線量子態(tài)估計(OSEQ)的優(yōu)化算法總結如下(其中α、γ和τ是三個正常數(shù)，并由它們負責算法的參數(shù)調(diào)節(jié))：

① For k=0：N Do；

② Ak=Ak-1，ηk=ηk-1；

綜上所述，在方鉛礦磨礦浮選流程中，必須選擇合適的磨礦條件，確保適宜的礦漿電位，使礦物表面生成盡可能多的疏水性元素硫，同時，減少親水性物質的生成，這樣才能保證較高的浮選回收率。

⑧ 由式(14c)更新λk；

3 仿真實驗

本節(jié)通過仿真實驗驗證所提出算法的在線量子態(tài)估計性能。第一個實驗探討了狀態(tài)演化參數(shù)對在線算法的影響，第二個實驗評估了在線OSEQ算法在估計精度和計算效率方面的性能。

保真度用于衡量估計精度，定義如下：

3.1 系統(tǒng)參數(shù)對在線OSEQ算法的影響

在本實驗中，測試了在線OSEQ算法在不同系統(tǒng)參數(shù)下的準確性。對于單比特量子系統(tǒng)，其演化軌跡可以在Bloch球上畫出。

單比特系統(tǒng)的密度矩陣為ρk=[a11，a12；a21，a22]，其三維坐標變換公式為xk=2×real(a21)，yk=2×imag(a21)，zk=real(2×a11-1)，其 中real(·)和imag(·)分 別 代 表 虛數(shù)的實部和虛部。對于在線估計，自由演化的次數(shù)設置為N=100，測量噪聲的信噪比設置為60 dB，在線OSEQ算法的參數(shù)設置為α=2，γ=0.1，τ=10，c=0.1，滑動窗口的大小設置為l=13，這足以重構1量子位系統(tǒng)的密度矩陣。正如第1節(jié)所述，開放量子系統(tǒng)的參數(shù)包含：(1)L，Lindblad算符；(2)ξ，系統(tǒng)相互作用的強度；(3)ux，外部控制輸入。

圖2描繪了演化量子態(tài)和狀態(tài)估計的軌跡，Bloch球體中的實線和虛線分別是真實的量子態(tài)軌跡和在線OSEQ估計的狀態(tài)軌跡，圈圈和星星分別代表真實狀態(tài)和估計狀態(tài)的初始值，可以分為三種情況討論：

(1)當ξ設置為0，此時L=0，目標系統(tǒng)S是理想的沒有能量耗散的封閉量子系統(tǒng)，在這種情況下，系統(tǒng)S的演化軌跡是Bloch球表面上的一個圓，在線OSEQ算法僅僅經(jīng)過三次迭代，估計精度就超過了95%，如圖2(a)所示。當L≠0時，自由演化的量子態(tài)逐漸耗散到最大混合態(tài)，即Bloch球的球心，此時密度矩陣為[0.5，0；0，0.5]。

圖2 不同系統(tǒng)參數(shù)下量子態(tài)的在線估計

(2)固定ux=2和L=ξσz，當系統(tǒng)的相互作用強度ξ分別為0.5和0.7時，系統(tǒng)的演化軌跡分別如圖2(b)和圖2(c)所示?？梢宰⒁獾?，系統(tǒng)演化速度隨著相互作用強度的增加而增加，然而，對于這兩個相互作用強度，在線OSEQ算法在僅僅6次迭代之后就達到了99%以上的估計精度。

(3)對于ξ=0.5和L=ξσz，存在和不存在外部控制輸入的在線估計結果分別如圖2(b)和圖2(d)所示，可以發(fā)現(xiàn)當ux=0時無法實現(xiàn)在線估計，因為在這種情況下不可能獲得有效的測量值。

3.2 多比特演化量子系統(tǒng)的在線狀態(tài)估計

在本實驗中，通過在線量子態(tài)估計的精度和速度來驗證在線OSEQ算法的有效性。將本文中提出的算法與文獻[11]中提出的CVX-OQSE算法(使用CVX獲得了優(yōu)化問題(12)的解決方案)進行了比較。分別對1、2、3和4量子位系統(tǒng)進行仿真實驗。

系統(tǒng)參數(shù)設置為：ξ=0.7，ux=1，N=500，SNR=30 dB。在線OSEQ的參數(shù)選擇為：γ=0.1，τ=10，c=0.1。對于n=1，2，3，4，分別選擇α=2，10，12，15，并將滑動窗口的大小設置為l=13，16，30，100(對于1、2、3和4量子位系統(tǒng)，決策變量的數(shù)量分別為4、16、64和256，因此需要增加窗口大小)。

圖3顯示了不同量子位系統(tǒng)中在線OSEQ和CVX-OQSE的保真度fidelity(k)隨采樣時間的變化(由于CVX-OQSE無法在測量噪聲下估計4量子位系統(tǒng)的密度矩陣，因此在圖3(b)中沒有4量子位保真度曲線)，其中實線、長虛線、點虛線和短虛線分別代表1、2、3和4量子位系統(tǒng)的保真度時間序列。表1列出了在線OSEQ和CVX-OQSE所需的精度和時間，其中精度指的是最終的保真度。

圖3 不同比特量子系統(tǒng)中的量子態(tài)在線估計

表1 在線OSEQ和CVX-OQSE所需估計時間和精度比較

從圖3和表1中可以得出結論：在線OSEQ可以有效且穩(wěn)定地在線估計量子態(tài)。在1、2、3和4量子位系統(tǒng)中，在線OSEQ的估計精度逐漸提高并趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定的估計精度分別為100%、100%、99.99%和99.87%。CVX-OQSE只能在1量子位系統(tǒng)中實現(xiàn)穩(wěn)定地估計精度，而且需要高出三個數(shù)量級的運行時間(這可能會限制實際應用)。在線OSEQ在每個采樣時間僅采用一個更新步驟(對于原始變量和對偶變量)，而CVX-OQSE則通過內(nèi)點法來解決優(yōu)化問題，這需要更多的迭代次數(shù)，所以認為在線OSEQ是一種很有前途的實時量子態(tài)估計方法。

表2分別記錄了在線OSEQ在1、2、3和4量子位系統(tǒng)的在線估計過程中達到95%以上估計精度所需的樣本數(shù)和估計時間。從該表可以明顯看出，達到95%以上估計精度所需的采樣次數(shù)(即實現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤的延遲)也會增加，這是可以預見的，因為待估計的變量數(shù)量以指數(shù)4n形式增長，因此需要采樣更多信息來準確估計密度矩陣。

表2 在線OSEQ達到95%以上保真度所需的樣本數(shù)和估計時間

4 結論

本文設計了一種新的在線量子態(tài)估計方法，該方法可以利用在量子態(tài)演化同時獲得的含隨機噪聲的測量值，對量子態(tài)進行在線估計。為了獲得精確跟蹤狀態(tài)演化的自適應濾波器，本文中：(1)采用滑動重疊窗口的方法以流形式處理數(shù)據(jù)；(2)將狀態(tài)估計轉換為半正定規(guī)劃問題；(3)基于OPG-ADMM設計了一種具有可調(diào)節(jié)性、跟蹤性的高效迭代解決方案。隨后大量仿真實驗驗證了該方法為多量子比特系統(tǒng)的狀態(tài)估計提供了優(yōu)秀的解決方案，具有很大的研究價值與開發(fā)潛力。