任曉明 李盛舉

(上海電機(jī)學(xué)院 電氣學(xué)院， 上海 200000)

在“高電壓技術(shù)”課程教學(xué)中，電纜波過程是公認(rèn)的教師不易教，學(xué)生學(xué)習(xí)效率低的章節(jié)之一[1-2]。學(xué)生普遍反映該章節(jié)涉及理論多樣抽象，公式復(fù)雜晦澀難懂，理解起來較為困難，對學(xué)生的考查也僅停留在概念的生記硬背上，使學(xué)生在面對實際應(yīng)用時往往束手無策。因此有必要針對目前理論教學(xué)設(shè)計相對應(yīng)的輔助試驗，有助于學(xué)生加深對電纜波過程本質(zhì)的理解。

針對電纜波過程教學(xué)，以方波發(fā)生器作為信號源，兩根150 m長電纜作為實驗研究對象，結(jié)合有限元仿真計算相關(guān)特性參數(shù)，搭建電纜波過程教學(xué)實驗平臺。

根據(jù)教學(xué)需要設(shè)計波過程中行波折反射、波穿過電感及旁過電容等實驗，有效揭示電纜波過程的本質(zhì)，可用于學(xué)生課程的輔助教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，便于學(xué)生在從事電力系統(tǒng)行業(yè)前對電纜的波過程有針對性的理解。

1 理論分析

電力系統(tǒng)中的電纜往往采用三相交流輸電或雙極直流輸電的多導(dǎo)線輸電方式[3-4]。為清晰表示電纜波過程的本質(zhì)和規(guī)律，研究人員通常由簡入繁，先從理想的均勻無損單導(dǎo)線入手[5]。忽略電阻的影響，其單元等值電路如圖1所示。其中L0和C0分別為單位長度下理想的均勻無損單導(dǎo)線電感和電容。

圖1 理想的無損均勻單導(dǎo)線單元等值電路

由基爾霍夫定律可得方程：

(1)

對式(1)求解可得通解為：

(2)

1.1 波速和波阻抗

波速和波阻抗是波過程分析中兩個重要的基本概念[6]。均勻單導(dǎo)線波速和波阻抗分別為：

(3)

(4)

一般的，對于同軸電纜而言

(5)

(6)

式中：hc為導(dǎo)線的平均對地高度；r為導(dǎo)線的半徑；ε0為真空或氣體的介電常數(shù)；εr為相對介電常數(shù)；μ0為真空的磁導(dǎo)率；μr為相對磁導(dǎo)率。

將式(5)和(6)代入(3)和(4)中得

(7)

(8)

1.2 波的折射和反射

在電力電纜故障導(dǎo)致均勻性受到破壞時就會出現(xiàn)阻抗不匹配情況，波投射到該破壞點后會發(fā)生折反射現(xiàn)象[7-9]。如圖2所示，波阻抗分別為Z1和Z2的兩條電纜在故障點A處相連，當(dāng)入射波投射到A點時，會形成反射波和折射波。

圖2 波的折反射示意圖

此時對于線路1，總電壓和電流為

(9)

對于線路2

(10)

又根據(jù)節(jié)點A處只存在一個電壓和電流可得

(11)

經(jīng)求解可得

(12)

表1 電壓折反射系數(shù)與Z1和Z2變化關(guān)系表

2 有限元參數(shù)計算及仿真

2.1 波阻抗參數(shù)計算

對電纜波過程實驗平臺進(jìn)行設(shè)計時，首先需要分析所用同軸電纜波阻抗。通過計算波阻抗進(jìn)而選用合適的匹配電阻[10-11]。本實驗設(shè)計借用有限元軟件COMSOL Multiphysics中電磁場耦合對波阻抗計算。在有限元建模中，假設(shè)理想導(dǎo)體和相對介電常數(shù)εr=2.4的無損介質(zhì)，建模如圖3所示。COMSOL中電磁場模型不涉及計算電勢和電流，但波在傳輸過程的電壓可以用導(dǎo)體之間電場的線積分計算：

(13)

其中r0為內(nèi)徑，ri為外徑。類似地，電流可以由磁場沿導(dǎo)體或任何閉合輪廓的邊界的線積分得到：

(14)

仿真設(shè)置網(wǎng)格最小單元2.06E-4 cm，最大單元0.046 cm，最大單元增長率1.3，采用中間分布密且向四周逐漸擴(kuò)散的網(wǎng)格劃分方式。圖4為最終得到的電場強(qiáng)度和磁場組合圖，通過全局參數(shù)計算可得波阻抗為74.64 Ω。

圖3 同軸電纜橫截面示意圖

圖4 內(nèi)部電場強(qiáng)度和磁場分布圖

2.2 不同終端類型下有限元仿真

由電纜波過程理論可知，波在傳輸過程中終端可分為終端短路，終端開路，終端匹配三種類型[12-14]。為保證波阻抗計算的準(zhǔn)確性以及對實驗平臺的搭建提供參考，首先對三種終端類型進(jìn)行有限元仿真。圖5(a)為同軸電纜三維模型示意圖。網(wǎng)格劃分采用手動劃分方式，網(wǎng)格最小單元1.79E-2 cm，最大單元0.599 cm，最大單元增長率1.45，選用COMSOL中AC/DC模塊實現(xiàn)電纜與電路連接功能，電纜一端通過集總端口連接電壓源和源阻抗，另一端連接匹配負(fù)載，等效電路圖如圖5(b)所示。

(a)同軸電纜三維模型圖

(b)等效電路示意圖圖5 同軸電纜三維模型仿真圖

將負(fù)載值設(shè)為74.64 Ω以模擬終端匹配，設(shè)置邊界條件為完美電導(dǎo)體(PEC)以模擬終端短路，設(shè)置邊界條件為完美磁導(dǎo)體(PMC)以模擬終端開路。最終運算結(jié)果的電磁場矢量分布圖如圖6所示，其中紅色箭頭為電場方向，綠色箭頭為磁場方向，藍(lán)色箭頭為功率流動方向，這三種矢量分布完整體現(xiàn)了電磁波在同軸電纜內(nèi)的傳輸過程。圖7顯示三種不同終端類型時負(fù)載處仿真計算得到的電壓波，由圖中可以清晰看到在終端短路情況下電壓波出現(xiàn)全負(fù)極性反射，在終端開路情況下電壓波出現(xiàn)全正極性反射，在終端匹配情況下電壓波未出現(xiàn)反射現(xiàn)象，這與理論保持一致。

圖6 電纜三維模型有限元仿真結(jié)果

圖7 不同終端條件下的輸出波形

3 實驗設(shè)計與驗證

3.1 實驗設(shè)計

根據(jù)有限元仿真計算的結(jié)果以及現(xiàn)有的實驗條件，選取固定幅值和頻率的方波發(fā)生器作為信號源，選用兩段150 m長的同軸電纜作為研究對象。在兩段電纜連接處引出兩個端口，首末兩端串聯(lián)可調(diào)檔位電阻，每一檔阻值Z=75 Ω，具體原理圖如圖8所示，其中U0為信號源，R1和R2為兩段電纜首末兩端可調(diào)電阻。針對電纜波過程教學(xué)理論，本實驗平臺設(shè)計行波折反射、波穿過電感及旁過電容兩個實驗。

1) 行波折、反射實驗

通過調(diào)節(jié)兩端電阻的不同檔位以模擬電纜阻抗不匹配情況進(jìn)而理解電纜中行波傳遞規(guī)律。實驗規(guī)劃如表2所示。

圖8 電纜波過程試驗原理圖

表2 試驗規(guī)劃表

2)波穿過電感及旁過電容實驗

在電纜實際應(yīng)用中，一些電感和電容不可忽略，經(jīng)常會遇到過電壓波穿過電感L和旁過電容C的情況[15-16]。電纜波過程教學(xué)理論也對此類現(xiàn)象有相關(guān)理論介紹，因此本實驗平臺針對這兩種情況也做了實驗設(shè)計。在兩段電纜連接處引出兩個端口，通過在兩端口間串聯(lián)電感以模擬波串聯(lián)電感現(xiàn)象，實驗原理圖如圖9所示；通過在兩端口間并聯(lián)電容以模擬波旁過電容現(xiàn)象，實驗原理圖如圖10所示。

圖9 電纜中點串電感原理圖

圖10 電纜中點并聯(lián)電容原理圖

3.2 實驗驗證

1)行波折、反射實驗驗證

固定R1，不斷倍增R2以模擬正極性電壓反射波情況。隨著R2電阻逐漸增加，根據(jù)公式(12)可知，電壓反射系數(shù)β隨之增大使得疊加后線路中總電壓變大。值得注意的是，當(dāng)R2電阻值趨向于正無窮大，即相當(dāng)于終端開路狀態(tài)時，線路發(fā)生全反射，疊加后總電壓加倍，結(jié)果如圖11(a)所示。

固定R1，不斷倍減R2以模擬反極性電壓反射波情況。隨著R2電阻逐漸減小，根據(jù)公式(12)可知，電壓反射系數(shù)β隨之遞減使得疊加后線路中總電壓變小。同樣，當(dāng)R2電阻值趨向于0時，即相當(dāng)于終端短路狀態(tài)時，線路發(fā)生全負(fù)反射，疊加后總電壓無限接近于0，結(jié)果如圖11(b)所示。

根據(jù)公式(12)可計算理想情況下隨著電阻R2調(diào)節(jié)線路中的電壓值，將其與測量值進(jìn)行比較，如表3所示。由表3可以看出，測量值與理論值存在相對誤差，且誤差隨著兩端電阻的差值增大而增大，這可能是因為實驗并非理想狀態(tài)，可調(diào)電阻可能存在誤差造成一定的額外電阻。

(a) 正反射

(b) 負(fù)反射圖11 不同匹配電阻下輸出端波形圖

表3 實測值與計算值的比較

2) 波穿過電感及旁過電容實驗驗證

實驗中選用L=50 uH、100 uH、150 uH三個值不同的電感(電感值由阻抗儀測得)，分別測量輸出端R2的電壓波，如圖12所示。

(a) L=0 uH

(b) L=50 uH

(c) L=100 uH

(d) L=150 uH圖12 不同電感值下輸出端波形圖

由圖12輸出端波形可以看出，在阻值相同的情況下，較無電感情況而言，波經(jīng)過電感后電壓幅值無明顯變換，電壓波波前有可視的拉平變化，且隨著電感值越大波頭時間越長。

選用C=479.5 pF、2.071 nF、210 nF三個值不同的電容(電容值由阻抗儀測得)，分別測量輸出端的電壓波，如圖13所示。由輸出端波形可以看出，在阻值相同的情況下，較無電容情況而言，波旁過電容后電壓幅值無明顯變換，電壓波波前有可視的拉平變化，且隨著電容值越大波頭時間越長。

(a) C=0 pF

(b) C=479.5 pF

(c) C=2.071 nF

(d) C=210 nF圖13 不同電容值下輸出端波形圖

從圖12和圖13可知，當(dāng)波穿過電感或旁過電容時，波前均被拉平，波前陡度變小，電感或電容值越大，陡度越小。串聯(lián)電感和并聯(lián)電容對輸出端電壓的最終穩(wěn)態(tài)值都沒有影響。試驗過程中發(fā)現(xiàn)：從折射波的角度來看，串聯(lián)電感與并聯(lián)電容的作用相同，但從反射波的角度來看，二者的作用相反：當(dāng)波剛到達(dá)節(jié)點時，串聯(lián)電感時出現(xiàn)電壓的全反射，而并聯(lián)電容時則出現(xiàn)電壓的負(fù)全反射。這與電纜波過程教學(xué)理論具有一致性。

4 結(jié)語

針對電纜波過程在教學(xué)中理論晦澀難懂，無對應(yīng)的實驗教學(xué)設(shè)計這一不足，參考理論教學(xué)內(nèi)容搭建電纜波過程教學(xué)實驗平臺。

(1)根據(jù)教學(xué)需要設(shè)計波過程中行波折反射、波穿過電感及旁過電容實驗，將課本上較為抽象的理論通過實驗和仿真進(jìn)行整個過程體現(xiàn)及驗證。

(2)實驗結(jié)果表明：設(shè)計的實驗與課本中的教學(xué)理論有較好的對應(yīng)，可以結(jié)合理論知識作為電纜波過程的實驗教學(xué)，從而使學(xué)生能更好地理解課本相關(guān)知識并可以增強(qiáng)學(xué)生實踐操作能力，以達(dá)到更好的教學(xué)效果。