鄒 堯，傅蘭英

（浙江省杭州市保俶塔實驗學校；浙江省杭州市西湖區(qū)教育發(fā)展研究院）

一、學習模型：以核心素養(yǎng)發(fā)展為中心

1.以數學建模突破項目難點

函數模型是一種重要的工具與數學語言，它從數學的角度分析變量與變量之間的關系、建立函數表達式.通過建立“體重與無氧閾心率”的函數模型，使學生經歷選擇模型、收集數據、求解模型、檢驗優(yōu)化、應用模型的數學建模過程，學習數學建模的方法與步驟.選取以數學建模為主要環(huán)節(jié)，引導學生經歷數學建模的過程，使學生掌握數學建模的基本要領后，再讓學生獨立開展項目學習，以數學的方法解決實際問題，提升數學核心素養(yǎng).

2.以跨學科創(chuàng)造新的理解

跨學科項目學習是指學生對兩個或兩個以上學科的知識體系和認知方法在理解基礎上的整合，從而創(chuàng)造出新的理解的學習過程.本項目為跨學科研究項目，在整個研究過程中，數學的角度就是分析變量與變量之間的關系、建立表達式，現實的角度就是研究引發(fā)心率變化的主要要素是什么，這些要素的影響程度如何.其中，運用體育、數學、生物等多學科的知識，研究體育運動與心率問題，提升學生的跨學科核心素養(yǎng).

3.以項目學習激發(fā)自我實現

本項目以跨學科項目學習的教學形式、評價體系，開展研究性學習，形成可遷移的實踐模型.從生活中發(fā)現問題——體育運動時心率會發(fā)生變化；從小組討論聚焦問題的提出——影響心率變化的要素有哪些；從數學建模中分析問題——找到變量之間的關系；從團隊協作中解決問題——怎樣運動更健康、更有效.融合數學建模思想，借助信息技術工具的支持，運用生物學知識儲備，進行體育運動數據的收集處理等，從課內到課外，讓學生以全域視野獲取相關信息，開展合作探究，在成果的形成過程中，提升學生的創(chuàng)新能力與團隊協作素養(yǎng).具體開展路徑與其中蘊含的核心素養(yǎng)如圖1所示.

圖1 “體育運動與心率”項目開展路徑與核心素養(yǎng)

二、學習背景：以問題驅動推進項目學習

1.項目背景與教學重、難點

本項目的實施對象為九年級學生，他們已經學習了一次函數、反比例函數、二次函數這三種模型，具備實施本項目的知識基礎，也具有一定的數據分析、邏輯推理、團結協作等能力，并且經歷過拓展性課程、STEAM課程，接觸過項目化學習.但對于數學建模學習，相對較為陌生，學習具有一定的難度.

由此，確定了本節(jié)課的教學重點和教學難點.

教學重點：掌握數學建模的一般方法與步驟，會用數學模型解決實際問題；經歷思考發(fā)現、提出問題、協作分析、解決問題的學習過程.

教學難點：建立數學模型，借助數據分析和信息技術求解模型、檢驗與優(yōu)化模型.

2.驅動型問題與項目概念

本項目從體育運動的諸方面提出與健康或者安全有關的問題.例如，怎樣運動才能達到鍛煉身體的目的？怎樣健康、安全地進行體育鍛煉？于是確定了本項目的驅動性問題：怎樣科學地進行運動？

本項目需要學生具備的數學核心概念為模型思想、數據分析觀念、應用意識與創(chuàng)新意識；跨學科概念為心率與運動的聯系、運動對健康的促進、合理運動的認識.

3.項目化學習目標

（1）通過運動中心率的變化發(fā)現問題，根據影響心率變化的要素提出問題；

（2）經歷選擇模型、收集數據、求解模型、檢驗優(yōu)化、應用模型的數學建模全過程；

（3）掌握數學建模的一般方法，會用數學模型解決實際問題；

（4）通過查閱文獻提出問題，設計、實施方案，合作學習解決問題.

三、學習實踐：以數學建模構建項目學習

環(huán)節(jié)1：分析現狀，發(fā)現問題

運動時，我們會感覺到心臟跳動得更快.

問題1：運動時影響心率的要素有哪些？

追問1：這些要素的影響程度如何？

追問2：怎樣運動更健康、更有效？

學生查閱生物、體育學科的相關資料，對體育運動與心率的關系有一定的知識儲備.

環(huán)節(jié)2：思考討論，提出問題

在學生查閱資料、了解問題后，進行分組，在小組內交流自己的思考，最終整理分析，提出想要深入研究的問題.在課堂上，學生進行小組分工，制作PPT，匯總大家收集到的資料與觀點；課后尋找更多的資料，完善自己的PPT，準備匯報；在下一節(jié)課中，提出小組要研究的問題，并分析理由.

各小組分別提出了“運動時間與心率的關系”“運動強度與心率的關系”“體育運動與無氧閾心率”“跑步速度與心率的關系”等問題.研究“體育運動與無氧閾心率”的小組采訪了某醫(yī)院康復醫(yī)學科的一名醫(yī)生，具體采訪內容如圖2所示.

圖2 醫(yī)學專家采訪內容

從以上采訪中，我們可以得出結論：平時運動時，控制心率在無氧閾心率附近，既安全、健康，又能達到更好的鍛煉效果.

在聽取各組匯報后，學生在思維碰撞中得出：如果能獲得一個人的無氧閾心率值，又能找到運動速度、運動強度、運動時間與心率對應的關系，那么，當這個人運動時心率為無氧閾心率值時，就可以得出對應的運動速度、運動強度、運動時間的值，而這就是這個人適宜鍛煉的速度、強度與時間.

綜上，建立了本項目的四個子項目：“無氧閾心率”“運動速度與心率”“運動強度與心率”“運動時間與心率”，確定了內容與目標.若要得出適宜的運動速度、強度與時間等，需要先從子項目1“無氧閾心率”開始研究.

【設計意圖】由本項目驅動性問題引導學生分析問題，學生在課后通過查閱資料、走訪專家、小組討論，提出了很多可供研究的切入點.項目中涉及一些跨學科知識，由于學生的知識儲備不同，學生在處理跨學科問題時會遇到一定的挑戰(zhàn).經歷充足時間的資料查閱、專家采訪等，學生對生物與體育學科的知識儲備有所提升.在研究過程中，學生從情境中發(fā)現并提出問題，培養(yǎng)了學生獨立思考、提出問題的能力；再由小組協作討論交流，明確本項目的研究對象與任務，培養(yǎng)學生分析問題的能力.

環(huán)節(jié)3：數學建模，分析問題

1.定性分析，選擇模型

問題2：如何獲得無氧閾心率呢？

師生活動：教師布置任務，學生自己查閱文獻資料，查找獲得無氧閾心率的方法.課堂上，學生分小組分享交流，最后由小組長總結分析.各組學生提出的方法如圖3所示.

圖3 學生查找的四種獲得無氧閾心率的方法

通過大家的總結、分析，發(fā)現“個體無氧閾心率推算值計算公式法”最為簡便，由公式“無氧閾心率=k1+k2×年齡+k3×身高+k4×基礎心率+k5×體表面積”（其中k1，k2，k3，k4，k5為已知常數），代入年齡、身高、基礎心率、體表面積即可獲得無氧閾心率.

師生活動：學生發(fā)現公式中的“體表面積”“基礎心率”不易測得，提出疑問，再次查閱資料、小組討論后，發(fā)現基礎心率與體重的負三分之一次方成正比，體表面積常用S=0.007 1×身高+0.013 3×體重-0.197 1來計算，即體表面積和基礎心率都可以用含身高、體重的關系式來計算、估計.

將年齡記為15，推導出僅用身高、體重來估計無氧閾心率的表達式：（H代表身高，W代表體重）.

師生活動：有學生發(fā)現基礎心率與身高可以僅用體重來估計.學生經過思維碰撞，提出問題——無氧閾心率是否也可以由體重來估計？于是，需要先找到身高和體重的關系.

課堂中，學生用平板電腦上網查閱得出H=k6W+k7，整理后得到無氧閾心率關于體重的函數模型無氧閾心率=，整個推導過程如圖4所示.

圖4

【設計意圖】學生通過分析研究對象，思考解決“建立無氧閾心率與體重關系”的核心問題.從無氧閾心率的獲得方法中發(fā)現，可以通過函數模型估計出無氧閾心率的值，這種方法較其他實驗測量法更方便.同時，在數學表達式推導的過程中，由學生自己發(fā)現問題并解決問題，運用平板電腦在課堂上補充需查閱的資料，結合信息技術提高學習效率.

2.數據收集，求解模型

問題3：能否運用模型，代入自己的體重求出無氧閾心率的值？

追問1：為什么這個函數模型不能直接應用？

追問2：用怎樣的方法獲得a，b，c的值？

師生活動：通過代入數據計算，可算出系數a，b，c的值.

追問3：我們要收集數據，那么要收集誰的數據？

師生活動：如果要研究我國15歲的學生，網上有數據可以采用；如果要研究特定的人群，如本校九年級學生，就可以選擇采用學生的數據.數學模型中a，b，c的意義非常重要，這里用到統計的方法獲得時，要注意強調其意義.

學生討論商議，選擇“簡易無氧閾測定法”，通過帶上心率測量手環(huán)，全力跑1000米，跑步過程中最大心率值記為無氧閾心率，多測幾次，取平均值.學生來到操場佩戴好手環(huán)開始跑步測試，并記錄最高心率.體重的收集在課前一周，要求學生早上起床時記錄，并計算出一周中的平均體重.

追問4：在得到數據后，我們通過幾組數據得出系數a，b，c的值？

追問5：三組數據就能求出系數a，b，c的值，可是這樣求出的a，b，c的值合理嗎？

追問6：我們能求出多少組a，b，c的值？應該如何處理這么多組系數呢？

師生活動：教師在學生收集數據后，引導學生用數據去完善之前的數學模型.在求解a，b，c的過程中，“取平均”是統計學中常用的方法，可引導學生采用這種方法求解a，b，c的值，可得無氧閾心率=.

而除此之外，還有很多估算系數的方法，如用MATLAB軟件計算系數.教師用MATLAB軟件將數據代入后，得出數學表達式.

【設計意圖】計算對于部分學生來說本就是薄弱環(huán)節(jié)，對于這個新的函數關系式，體重的負三分之一次方的運算就先難住了他們.采用計算器、iPad中的計算軟件，都可以化繁為簡，解決學生計算困難的問題.同時，加強信息技術的使用指導，對未來學生自行開展研究做好鋪墊.

3.檢驗優(yōu)化，應用模型

問題4：如何檢驗所求數學模型的合理性？

師生活動：先讓學生獨立思考，提出檢驗方法.例如，通過對比用關系式計算出來的無氧閾心率與實際測得的心率，研究它們之間的關系；學生在GeoGebra軟件上繪制數學模型的函數圖象（如圖5），再將數據描點進行對比，通過擬合程度來驗證；收集九年級其他班級學生的數據，將數據描點，觀察其擬合程度等.

圖5 GeoGebra軟件中繪制的函數圖象

追問1：有什么優(yōu)化模型的方法？

師生活動：學生思考后回答，計算時將“取平均”改用“取方差最小”的方法等，同時數據的獲得要控制誤差，還可以去掉一些有明顯誤差的數據.

追問2：在檢驗優(yōu)化模型后，模型可以怎樣應用？

師生活動：學生回答：我們九年級的學生只要知道自己的體重，代入公式后，就可以計算出自己的無氧閾心率，平時跑步保持在這個心率既安全、健康，又能達到最好的鍛煉效果.

【設計意圖】在初步得出模型后，模型是否符合實際意義？模型是否能夠廣泛應用？而模型的檢驗、優(yōu)化是必不可少的一個重要環(huán)節(jié).模型檢驗的方法不唯一，可代數運算，也可幾何直觀.學生通過小組討論得出檢驗與優(yōu)化方案，在此過程中培養(yǎng)學生全面分析問題的能力.

4.歸納總結，反思凝練

問題5：探索以上數學建模的全過程，我們經歷了哪些步驟？

師生活動：與學生一起梳理，并利用如圖6所示的框圖表示數學建模的一般過程.

圖6 數學建模的一般過程

【設計意圖】本環(huán)節(jié)的重點是梳理與歸納數學建模的全過程，帶領學生回顧從選擇模型開始到模型的應用，總結經歷的數學建模步驟與方法，為學生構建數學建模的概念.本環(huán)節(jié)既完成了子項目1的研究任務，又為學生小組合作開展子項目2～4的研究提供了方法.

環(huán)節(jié)4：團隊協作，解決問題

類比子項目1的研究方法，小組合作開展后續(xù)的研究.

1.子項目1：無氧閾心率的進一步研究

經歷了數學建模的全過程，研究“無氧閾心率”小組進一步對無氧閾心率的函數模型進行研究.通過推理運算，得出無氧閾心率關于基礎心率、身高、體表面積的函數模型.具體推理和運算過程如圖7所示.在這三個模型中，該小組選擇較為簡潔的關于基礎心率的模型進行計算.在收集了數據后，計算得出的數據差異很大，通過分析、總結，小組學生繼續(xù)優(yōu)化數據的收集，若最終計算出的模型不符合實際情況，將重新選擇模型.

圖7 無氧閾心率關于基礎心率、身高、體表面積的函數模型推導過程

【設計意圖】本環(huán)節(jié)是對課堂中僅選擇“無氧閾心率與體重”模型的拓展，在課后小組學生選擇了其余三個模型“無氧閾心率與基礎心率”“無氧閾心率與身高”“無氧閾心率與體表面積”進行函數的推導與計算檢驗.這是學生在類比數學建模過程的嘗試，是學生對于“選擇模型”的全面理解.同時，在得出模型與實際不符時，培養(yǎng)了學生分析與判斷問題的能力.

2.子項目2：運動速度與心率

研究“運動速度與心率”的小組通過查閱資料，發(fā)現跑步時攝氧量與速度之間存在一定關系.在《ACSM運動測試與運動處方指南》中得到：攝氧量=0.2×速度+3.5；在《健身走和跑能量消耗評價模型的構建》中得到：在最大攝氧量范圍內，心率y（次/min）與攝氧量VO2呈線性相關.所以該小組推導出心率與跑步速度的函數關系式y=kv+b（k，b為參數，且k≠0），呈一次函數的關系.推導過程與公式如圖8所示.

圖8 跑步時心率關于跑步速度的函數模型推導過程

為了計算出函數中的系數，該小組學生抽取九年級一個班級的40名學生，讓其佩戴上能測量心率的手環(huán)，測得不同跑步速度時所對應的心率.在測得實驗數據后，取平均值，并將其表示在平面直角坐標系中，通過Excel擬合函數，繪制出了函數圖象，如圖9所示.我們可以得到，本校九年級學生心率與跑步速度之間的關系為y=10.4x+80.3.

圖9 跑步時心率關于跑步速度的擬合函數圖象

為了檢驗函數模型的準確性，該組學生抽取九年級另外一個班級的40名學生，測得在相應速度下心率的平均值，在計算與繪圖之后，繪制的點在得出的函數圖象附近，即求得的數學模型符合實際情況.

得出結論：結合課堂上得出的無氧閾心率與體重的模型，我們可以將體重代入，計算出其無氧閾心率，此為運動時的適宜心率，再將心率代入心率與速度的函數模型，計算出適宜的跑步速度，大幅提高運動效率.

3.作業(yè)與任務設計

類比數學建模的方法，開展子項目3（運動強度與心率）、子項目4（運動時間與心率關系）的研究，并將得出的結論應用于生活，解決生活中的實際問題.

四、學習成果：以項目學習解決實際問題

在建立數學模型后，模型的應用為項目學習的意義所在.學生整合所有小組得出的模型等結論，并進行拓展，提出運動指南.

1.健身房里的運動處方

學生為健身房里的健身教練與運動愛好者提供運動數據與模型的支持，可通過模型計算等方法，得出運動參考與指南.以某位15歲的青少年為例，他的運動方案如圖10所示.

圖10 某位15歲青少年的運動方案

同時，針對不同年齡的運動愛好者，重新收集數據建立模型，為更多的人群提供更健康、更有效的運動方案.健身教練能更精準地掌握學員情況，為不同的學員制訂個性化運動計劃.例如，學生為健身房設計了運動建議海報，如圖11所示.

圖11 為健身房設計的運動建議海報

2.研發(fā)app“我的運動規(guī)劃師”

app在生活中的應用十分廣泛，“我的運動規(guī)劃師”為運動愛好者開啟健康、有效的運動指南.app圖標如圖12所示.

圖12 app“我的運動規(guī)劃師”圖標

大部分人因工作忙沒時間去健身房健身，沒有私教指導，不知道如何安全、正確地健身；網絡上攻略太多，不知道采取哪種方式更健康、有效，鍛煉效果不佳.

運動數學建模得出的模型，在app中輸入個人相關信息的數據，能產生精準的個性化評估與運動計劃.

五、學習評價：以評價量規(guī)把握學習方向

1.數學建模學習評價

通過經歷完整的數學建?；顒?，歸納與掌握數學建模的一般方法與步驟，并且會用數學模型解決實際問題，是本節(jié)課的教學目標.學生在課后能獨立開展數學建?；顒樱\用在課堂中經歷的數學建模步驟，以及歸納掌握的方法，能用自己建立的數學模型解決實際問題，從這樣的學習反饋中可以分析學生本節(jié)課的學習情況.

2.項目化學習評價

（1）項目化學習過程性評價.

項目化學習過程性評價關注的是學生在學習過程中的狀況.在學生完成每個項目后，可對照項目化學習過程中的學習評價表對學生的水平進行量化的考核.“數學建模過程”的評價量規(guī)如表1所示.

表1 數學建模過程評價量規(guī)

（2）項目化學習總結性評價.

為了更好地促進學生個性化發(fā)展，在項目結束時，每名學生都會收到一張個性評價單，個性評價單由兩個部分組成：分項等級評價單和綜合評價單.綜合評價部分會根據學生的各項目得分情況形成一張雷達圖，如圖13所示.整個學習過程是一個迭代的層進式的過程.

圖13 學生項目化學習綜合評價部分形成的雷達圖

六、學習反思：以跨學科走向意義整合

1.項目成效

在本次項目的成效中，通過分析研究對象，在數學表達式推導過程中，培養(yǎng)學生邏輯推理的能力；收集數據，計算模型，培養(yǎng)學生的運算能力；對模型的檢驗與優(yōu)化過程中，培養(yǎng)學生數據分析的能力；整個數學建模的過程，培養(yǎng)學生的模型思想，提升數學核心素養(yǎng).經歷此次項目化學習，發(fā)展學生的“四能”，達到“三會”的目的.

2.項目收獲

項目化學習是一個不斷迭代的過程，學生在各個研究環(huán)節(jié)中都會遇到問題與挑戰(zhàn).項目化學習的意義就在于每名學生都是一個“心智自由的學習者”，而發(fā)現問題與解決問題的過程，就是幫助學生成長的腳手架.我們要引導學生從失敗中總結經驗，利用好“失敗資源”，為項目學習奠基，讓高階學習發(fā)生.

項目化學習有別于傳統的教學，打破了教師固有的學科本位，改變了由教師設計到實施的教學模式.項目化學習應給予學生可選擇的空間，同時更具有包容性，盡可能提供多元的學習實踐，以滿足學生的多元需求.教師在項目設計過程中可通過支架與工具的搭建，支持各項目的完成，如資源型支架、交流型支架、活動型支架等.

3.項目反思

在數學課堂中，開展項目化學習雖然有困難，但我們可以去做一些有意義的嘗試，讓學生在項目化學習中領略數學學習的意義，在以項目化為載體的教學活動中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性、靈動性，形成可遷移的思維方式，使學生能用數學眼光觀察現實世界，用數學方法解決實際問題，讓每個孩子成為心智自由的學習者.

七、課例點評

“體育運動與心率”是一節(jié)綜合與實踐領域的項目學習課題，極具挑戰(zhàn)性與研究價值.本課例結構設計合理，有完整的實施過程，清晰的探求思路，體現了項目學習的基本樣態(tài)與跨學科研究新視角.

1.基于生活情境，建立項目研究方向

本項目以“怎樣運動更健康、有效”為驅動性問題，啟發(fā)學生關注民生健康問題，并從現實的角度思考和提出問題：體育運動與心率存在什么關系？以此為總項目，分化出幾個子項目，以目標任務驅動的方式引領學生綜合運用數學和其他學科的知識與方法，經歷制訂問題解決方案并解決問題的過程，從而解釋核心問題.

2.基于學生綜合素養(yǎng)，借助所學探究未知

本課例充分體現了項目學習與傳統教學存在不同，即過程的體驗性和探究的復雜性.學生已具備函數知識、統計知識，具有一定的邏輯推理能力，以及STEAM項目學習活動經驗.在項目實施過程中，教師挖掘學生潛力，鼓勵學生合作探究、大膽質疑、勇于創(chuàng)新，合理利用現代信息技術，通過豐富的學習資源探尋不同視角，多維度思考，進而探究得到體育運動與無氧閾心率的關系，真正體會用數學的方法發(fā)現生活規(guī)律的樂趣，培養(yǎng)創(chuàng)新思維與實踐能力.

3.基于未來發(fā)展需求，完善科學認知結構

傳統函數教學中，學生能夠自主完成簡單實際問題的建模，應用較為簡單，這并未凸顯出函數的強大功能.本項目抓住了體育運動與心率的復雜情境、多變量之間的依賴關系，將“定性分析，選擇模型”“數據收集，求解模型”“檢驗優(yōu)化，應用模型”“歸納總結，反思凝練”等標準化項目實施流程有機地嵌入其中，體現了“函數”主題項目學習的一般路徑和基本方法.通過對問題的系統探究，科學構建數學模型，檢驗優(yōu)化應用模型，開發(fā)的項目產品服務于生活，凸顯了項目研究的系統思維.

項目學習對教師的“專業(yè)知識是否可以駕馭引領科學探究”提出了新挑戰(zhàn).而優(yōu)質項目的開發(fā)，項目學習路徑的優(yōu)化，激勵著教師在專業(yè)領域不斷學習，只有教師做到“知行合一”“高位審視”，才能引領學生行穩(wěn)致遠.