張 程，徐小宇

（1.中國(guó)科學(xué)院微電子研究所，北京 100029；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

在集成電路（IC）設(shè)計(jì)過程中，寄生參數(shù)提取的精度問題是一個(gè)非常重要的議題，它取決于基于麥克斯韋方程組的電磁場(chǎng)求解器，通過求解器進(jìn)行參數(shù)提取往往會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間與資源，不符合當(dāng)前集成電路設(shè)計(jì)中快速簽核的目標(biāo)。宏模型通常是原始物理系統(tǒng)的簡(jiǎn)化等效模型，它保留了原系統(tǒng)的基本物理屬性，能夠提高系統(tǒng)分析的速度、節(jié)省計(jì)算時(shí)間。近幾年來，宏模型還被用來保護(hù)設(shè)計(jì)中的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，作為黑盒子來模糊處理敏感的設(shè)計(jì)或者工藝，達(dá)到加密的效果[1-4]；另一方面，集成電路制造技術(shù)的特征尺寸如今已發(fā)展至納米級(jí)，工藝波動(dòng)也是一個(gè)關(guān)鍵問題[5-9]。

在有限元法的基礎(chǔ)上，文中提出一種敏感度模型，以擴(kuò)大宏模型的應(yīng)用范圍。將該敏感度模型與宏模型進(jìn)行結(jié)合，能夠用來分析集成電路寄生參數(shù)的敏感度，從而為半導(dǎo)體廠商提供評(píng)估宏模型可靠性的方法，為電路設(shè)計(jì)者提供優(yōu)化電路布局、提升整體電路設(shè)計(jì)效率的手段。

1 宏敏感度模型

1.1 宏模型

對(duì)集成電路電阻、電容等參數(shù)的提取需要通過麥克斯韋方程組求解電路的場(chǎng)分布，可以采用多種電磁場(chǎng)數(shù)值求解方法，如有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、邊界元法（BEM）、浮動(dòng)隨機(jī)行走法（FRW）、矩量法（MoM）、多層快速多極子法等，這些方法各有利弊[1-15]。

電磁場(chǎng)數(shù)值求解方法都可用來生成宏模型，相應(yīng)地，宏模型也可被上述方法進(jìn)行調(diào)用[1]。需要注意的是，對(duì)于不同方法生成的宏模型，其構(gòu)成元素的含義并不完全一致，因此在使用不同方法交叉調(diào)用宏模型時(shí)需要根據(jù)不同的含義在界面的節(jié)點(diǎn)或者面元上進(jìn)行電勢(shì)或者電通量的耦合。

在使用宏模型對(duì)相應(yīng)電路進(jìn)行參數(shù)提取時(shí)，為了保證精度和可靠性，需要對(duì)網(wǎng)格充分細(xì)化，必要時(shí)還可使用二階基函數(shù)描述網(wǎng)格單元[3]。

下面以二維情形為例說明宏模型的構(gòu)成。如圖1所示，在多導(dǎo)體靜電系統(tǒng)之中，兩個(gè)導(dǎo)體結(jié)構(gòu)位于接地襯底之上，其中，虛線標(biāo)識(shí)的區(qū)域（導(dǎo)體#1 周圍）為宏模型區(qū)域，導(dǎo)體#1 與導(dǎo)體#2 位于接地襯底（導(dǎo)體#0）上方。宏模型區(qū)域可以由任意形狀的封閉曲面圍成，也可以包含多個(gè)導(dǎo)體、多層介質(zhì)。

圖1 多個(gè)導(dǎo)體的二維靜電系統(tǒng)示意圖

根據(jù)有限元法的基本求解過程，首先對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行空間體網(wǎng)格離散。對(duì)于電介質(zhì)區(qū)域內(nèi)的各個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，設(shè)定電勢(shì)Vi；對(duì)于導(dǎo)體表面的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，設(shè)定電勢(shì)Vc，注意這里不包括導(dǎo)體的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，導(dǎo)體內(nèi)部區(qū)域可以從計(jì)算區(qū)域之中去掉；對(duì)于宏模型表面上的節(jié)點(diǎn)，設(shè)定電勢(shì)Vp，表面節(jié)點(diǎn)可以類比電路的端口（port）。上述的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)分別稱為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)、導(dǎo)體節(jié)點(diǎn)、端口節(jié)點(diǎn)。對(duì)于集成電路結(jié)構(gòu)中的浮導(dǎo)體，可以視為介電常數(shù)較大的介質(zhì)類比處理。對(duì)于宏模型邊界包含導(dǎo)體面的特殊情況，即部分端口節(jié)點(diǎn)是導(dǎo)體節(jié)點(diǎn)，其大致流程沒有顯著變化，文中僅就一般情況進(jìn)行討論。

通過有限元法構(gòu)建的宏模型采用矩陣形式表達(dá)，記為矩陣KM，如式（1）所示[1]：

其中，K為有限元法生成的總體剛度矩陣，子矩陣Kii描述了內(nèi)部節(jié)點(diǎn)間的相關(guān)關(guān)系，Kpp描述了端口節(jié)點(diǎn)間的相關(guān)關(guān)系，而子矩陣Kip和Kpi互為轉(zhuǎn)置，描述了端口節(jié)點(diǎn)和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)間的相互聯(lián)系。

向量Vi和宏模型矩陣KM之間的關(guān)系通過式（1）變換導(dǎo)出：

由此，可得到宏模型的組成，主要包括：

1）端口節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)以及節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系；

2）宏模型矩陣KM。

生成該宏模型后，半導(dǎo)體制造廠商可以只將宏模型提供給設(shè)計(jì)者，由于宏模型區(qū)域只包含表面節(jié)點(diǎn)信息，不包含宏模型內(nèi)部區(qū)域的細(xì)致結(jié)構(gòu)信息，因此保護(hù)了重要敏感目標(biāo)和相應(yīng)的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，如關(guān)鍵的工藝信息不會(huì)被競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手輕易獲得。對(duì)于大量重復(fù)出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，宏模型可簡(jiǎn)化計(jì)算，不用對(duì)此類結(jié)構(gòu)內(nèi)部進(jìn)行反復(fù)建模分析。

1.2 宏敏感度模型的推導(dǎo)

當(dāng)前，最先進(jìn)的集成電路工藝特征尺寸處于納米量級(jí)，并且繼續(xù)向極限發(fā)展。制造過程中的工藝波動(dòng)（也可稱為變異或漲落）相對(duì)于電路線寬等尺寸的比例越來越顯著，成為可制造性設(shè)計(jì)中不可回避的問題。敏感度分析是處理此類工藝變異問題的有效工具[6-7]。當(dāng)集成電路的幾何參數(shù)或材料參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，它能夠有效預(yù)測(cè)在標(biāo)稱尺寸下的參數(shù)提取結(jié)果。

基于有限元法，結(jié)合宏模型以及敏感度分析，文中提出了宏模型的敏感度模型，為方便起見，可稱為宏敏感度模型。

給定一個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)p，該參數(shù)可以是幾何參數(shù)（如導(dǎo)體寬度、厚度尺寸或者導(dǎo)體之間的距離）或材料參數(shù)（如絕緣介質(zhì)層的介電常數(shù)）。將式（1）中的表達(dá)式分別對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)p求偏導(dǎo)，可得到：

將式（2）代入式（4），可獲得Vi關(guān)于p的偏導(dǎo)數(shù)：

將式（2）、（3）和式（6）代入式（5），KM對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)p的偏導(dǎo)數(shù)可以寫為：

通常，由有限元法生成的矩陣KM和Kii是對(duì)稱矩陣，從式（7）也可以看出，同樣是對(duì)稱矩陣。

根據(jù)上述推導(dǎo)，完整的一階宏敏感度模型由如下三部分組成：

1）端口節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)以及節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系；

2）宏模型KM；

2 應(yīng)用

2.1 宏模型的應(yīng)用

在結(jié)合有限元法使用宏模型時(shí)，除了宏模型所處的子區(qū)域，計(jì)算區(qū)域其余部分都需要進(jìn)行網(wǎng)格離散。設(shè)基于有限元法所形成的總體剛度矩陣為M，根據(jù)節(jié)點(diǎn)所處的位置，其可分解為：

其中，Moo表示宏模型區(qū)域之外電介質(zhì)內(nèi)節(jié)點(diǎn)之間的本構(gòu)系數(shù)，Mop表示內(nèi)節(jié)點(diǎn)與宏模型端口節(jié)點(diǎn)之間的本構(gòu)系數(shù)，Mpp表示宏模型端口節(jié)點(diǎn)之間的本構(gòu)系數(shù)，KM表示宏模型，Noc表示內(nèi)節(jié)點(diǎn)與導(dǎo)體面上節(jié)點(diǎn)之間的本構(gòu)系數(shù)，Npc表示端口節(jié)點(diǎn)與導(dǎo)體面上節(jié)點(diǎn)之間的本構(gòu)關(guān)系，Lcc表示導(dǎo)體面上節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系。

對(duì)于n個(gè)導(dǎo)體系統(tǒng)的電容參數(shù)矩陣提取來說，設(shè)定其中一個(gè)導(dǎo)體為主導(dǎo)體（施加1 V 電勢(shì)），其他導(dǎo)體為環(huán)境導(dǎo)體（施加0 V 電勢(shì)），可以得到：

其中，Vo是施加在除宏模型區(qū)域之外的區(qū)域中電介質(zhì)內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的電勢(shì)，Vp是施加在宏模型端口節(jié)點(diǎn)上的電勢(shì)，vo0i和vp0i表示在提取參數(shù)時(shí)施加在導(dǎo)體上的電勢(shì)矢量，下標(biāo)i表示第i個(gè)導(dǎo)體，導(dǎo)體i上施加1 V 電勢(shì)，其他導(dǎo)體為0 V 電勢(shì)。

求解方程式（10）可以得到電勢(shì)分布ve。

需要注意的是，宏模型區(qū)域邊界上的節(jié)點(diǎn)信息是既有存在的，在對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格剖分時(shí)，需要適應(yīng)這些節(jié)點(diǎn)信息。如果計(jì)算區(qū)域不按照這些既定網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)進(jìn)行剖分，就會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)不匹配，這時(shí)需要在界面上進(jìn)行插值和映射處理[16]。

2.2 宏敏感度模型的應(yīng)用

采用同樣的方式，將式（10）兩邊對(duì)參數(shù)p求偏導(dǎo)數(shù)，得到：

3 數(shù)值算例

分析上述推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)，處理二維和三維參數(shù)提取問題的方法是一致的，并且與常規(guī)的有限元法形成的線性代數(shù)矩陣相比，在宏模型之外的區(qū)域沒有差異，因此，為方便起見，可以只采用二維問題進(jìn)行數(shù)值分析與驗(yàn)證。

如圖1 所示算例，各標(biāo)稱尺寸分別為導(dǎo)體#1 寬度W為0.1 μm，厚度T為0.22 μm，導(dǎo)體#1 與導(dǎo)體#2的間距S12為0.24 μm，導(dǎo)體#1 與導(dǎo)體#0 的間距D10為0.50 μm。導(dǎo)體所處空間電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為εr=4.2。假設(shè)W和T分別有10%的變異程度，分別使用直接有限元法和靈敏度模型計(jì)算變異之后的電容，計(jì)算結(jié)果如表1 所示。

表1 采用不同方法獲得的電容提取結(jié)果（單位長(zhǎng)度電容的單位：×105 fF）

由于宏模型的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和材料信息被隱藏，在使用宏模型時(shí)，半導(dǎo)體制造商可以計(jì)算宏模型內(nèi)所有導(dǎo)體的全電容矩陣，而設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)只能將宏模型視為等效導(dǎo)體，并得到宏模型邊界上的表面電荷。因?yàn)槊舾卸饶Ｐ偷木仁芫W(wǎng)格精度的影響較大，所以需要嚴(yán)格控制離散網(wǎng)格的密度以達(dá)到最優(yōu)的求解性能。敏感度分析是在局部范圍內(nèi)進(jìn)行的，因此只考慮宏模型內(nèi)部（如圖1中的T、W和ε1）和邊界上（如圖1中的S12和D10）的變化。

4 結(jié)論

文中提出了一種宏模型的敏感度模型用于集成電路寄生參數(shù)提取，并給出詳細(xì)的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用流程。與宏模型相比，該模型能夠提供更多的局部場(chǎng)信息，可以用來預(yù)測(cè)工藝變異對(duì)寄生參數(shù)的影響。半導(dǎo)體制造廠商提供宏模型以加密電路結(jié)構(gòu)時(shí)，能夠通過它來評(píng)估宏模型的可靠性，而電路設(shè)計(jì)者則可以在僅掌握宏模型的信息基礎(chǔ)上，以此來分析工藝變化對(duì)電路性能的潛在影響。