林東方，姚宜斌，鄭敦勇，李朝奎

1. 湖南科技大學(xué)測(cè)繪遙感信息工程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411201； 2. 武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢 430079； 3. 湖南科技大學(xué)地理空間信息技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411201； 4. 武漢大學(xué)地球空間環(huán)境與大地測(cè)量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430079

受觀測(cè)條件限制，在地球重力場(chǎng)反演、GNSS空間環(huán)境測(cè)量及InSAR地表形變測(cè)量等大地測(cè)量應(yīng)用領(lǐng)域常會(huì)出現(xiàn)病態(tài)問(wèn)題[1-7]。病態(tài)問(wèn)題導(dǎo)致模型解算穩(wěn)定性較差，難以得到準(zhǔn)確可靠的模型參數(shù)估值，如何處理與解算病態(tài)問(wèn)題成為大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理的重要研究?jī)?nèi)容[8-9]。

病態(tài)問(wèn)題具體表現(xiàn)于函數(shù)模型的奇異性及模型參數(shù)估計(jì)的擾動(dòng)性上[10]。病態(tài)函數(shù)模型設(shè)計(jì)矩陣往往包含較小的甚至接近于零的奇異值，該奇異值導(dǎo)致參數(shù)估值方差較大，觀測(cè)數(shù)據(jù)中的微小誤差即引起參數(shù)估值的劇烈擾動(dòng)，這種情況下，常規(guī)最小二乘估計(jì)難以得到模型參數(shù)的準(zhǔn)確估值[11]。為了提高估值的穩(wěn)定性和可靠性，文獻(xiàn)[12—15]在最小二乘估計(jì)基礎(chǔ)上提出了正則化法、嶺估計(jì)法、截?cái)嗥娈愔捣?truncated singular value decomposition，TSVD)等有偏估計(jì)方法。在均方誤差意義下，3種方法均通過(guò)增加偏差、減少方差的形式降低模型參數(shù)估值均方誤差，然而如何確定偏差與方差平衡點(diǎn)，以最大程度降低均方誤差，仍是3種方法尚未解決的難題[16-17]。TSVD通過(guò)截掉小奇異值來(lái)降低方差，是一種較為簡(jiǎn)捷高效的病態(tài)問(wèn)題解算策略，在諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[18-19]。影響TSVD模型參數(shù)估值均方誤差的關(guān)鍵因素是截?cái)鄥?shù)，目前，常用的截?cái)鄥?shù)確定方法主要有L曲線法、均方誤差最小法等，L曲線法通過(guò)計(jì)算模型參數(shù)估值二范數(shù)與觀測(cè)值殘差二范數(shù)變化曲線的拐點(diǎn)來(lái)確定截?cái)鄥?shù)。L曲線法確定的截?cái)鄥?shù)沒(méi)有明確的理論依據(jù)，曲線拐點(diǎn)處的參數(shù)估值并不代表最優(yōu)的參數(shù)估值[20-21]。均方誤差最小法通過(guò)計(jì)算各截?cái)鄥?shù)下的模型參數(shù)估值均方誤差最小值確定截?cái)鄥?shù)[22]，該方法理論依據(jù)明確，但均方誤差的計(jì)算需要利用模型參數(shù)真值，而真值是未知的，以估值代替真值計(jì)算的均方誤差與真實(shí)均方誤差存在一定差異，限制了TSVD解算效果。

均方誤差反映了模型參數(shù)的估計(jì)質(zhì)量，對(duì)于有偏估計(jì)，均方誤差由方差與偏差兩部分組成，TSVD截掉小奇異值引起參數(shù)估值方差與偏差的變化(方差減小，偏差增大)，該變化將反映在模型參數(shù)估值的變化上。鑒于此，本文利用參數(shù)估值變化分析奇異值截掉后的偏差變化，結(jié)合奇異值截掉后的方差變化確定最優(yōu)截?cái)鄥?shù)，克服參數(shù)真值未知偏差難以計(jì)算問(wèn)題，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證本文方法的可行性與有效性。

1 病態(tài)問(wèn)題解算的TSVD方法

1.1 TSVD解算方法

TSVD方法是在最小二乘估計(jì)算法基礎(chǔ)上發(fā)展的病態(tài)問(wèn)題解算方法，最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則表示為[23-25]

Φ=VTPV=min

(1)

式中，V=AX-L，表示觀測(cè)值殘差向量；A表示設(shè)計(jì)矩陣；L為觀測(cè)向量；X表示未知模型參數(shù)；P為權(quán)重矩陣；由最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則可得模型參數(shù)估值為

(2)

若函數(shù)模型病態(tài)，則設(shè)計(jì)矩陣A存在較小的奇異值，對(duì)A進(jìn)行奇異值分解可得

A=USGT

(3)

(4)

式中，U表示左奇異向量矩陣；S表示奇異值矩陣；G表示右奇異向量矩陣；γ表示奇異值，γ1>γ2>…>γn>0。由此可得模型參數(shù)估值方差

(5)

由式(5)可知，小奇異值導(dǎo)致參數(shù)估值方差較大，嚴(yán)重降低了模型參數(shù)估計(jì)精度[11，22]，TSVD算法通過(guò)截掉部分小奇異值來(lái)降低方差，提高模型參數(shù)估計(jì)穩(wěn)定性，具體表示為

(6)

式中，G與U均取前t列向量。

(7)

式中，t表示由截?cái)鄥?shù)確定的需保留的t個(gè)較大奇異值。

1.2 常用TSVD截?cái)鄥?shù)確定方法

影響TSVD解算效果的關(guān)鍵因素是截?cái)鄥?shù)，最優(yōu)截?cái)鄥?shù)可最大程度提高模型參數(shù)的估計(jì)精度。目前，最為常用的截?cái)鄥?shù)確定方法有L曲線法、均方誤差最小法等。

1.2.1L曲線法

(8)

式中，ρ′、η′為一階導(dǎo)數(shù)，ρ″、η″為二階導(dǎo)數(shù)，以不同截?cái)鄥?shù)計(jì)算L曲線曲率，曲率最大點(diǎn)km對(duì)應(yīng)的截?cái)鄥?shù)即為最優(yōu)截?cái)鄥?shù)。L曲線法缺乏合理的理論依據(jù)，所確定的截?cái)鄥?shù)穩(wěn)定性較好，但難以給出最優(yōu)的截?cái)鄥?shù)。

1.2.2 均方誤差最小法[22]

均方誤差是模型參數(shù)估值與真值之間差值的數(shù)學(xué)期望，反映了參數(shù)估值相對(duì)于真值的離散程度。TSVD模型參數(shù)估值均方誤差可表示為

(9)

由式(9)可見(jiàn)，均方誤差的計(jì)算需要模型參數(shù)的真值，但實(shí)際應(yīng)用中，參數(shù)真值是未知的。鑒于此，均方誤差最小法以模型參數(shù)估值代替真值計(jì)算均方誤差。第1步，利用TSVD方法截掉1個(gè)最小奇異值獲得模型參數(shù)初步估計(jì)值；第2步，以初步估值代替真值計(jì)算不同截?cái)鄥?shù)下的均方誤差，由最小均方誤差確定最優(yōu)截?cái)鄥?shù)，再次估計(jì)模型參數(shù)，得到該截?cái)鄥?shù)下的模型參數(shù)估值；第3步，將模型參數(shù)第2步估值替代真值重新計(jì)算不同截?cái)鄥?shù)下的均方誤差，確定最優(yōu)截?cái)鄥?shù)，如此迭代計(jì)算，直至兩次模型參數(shù)估值二范數(shù)收斂到某一較小值[22]

(10)

然而，以估值代替真值計(jì)算的均方誤差并非實(shí)際的均方誤差，由此確定的截?cái)鄥?shù)受初值影響較大，常導(dǎo)致迭代過(guò)程不收斂或收斂于初值，限制了截?cái)鄥?shù)確定可靠性。

1.3 改進(jìn)TSVD截?cái)鄥?shù)確定方法

1.3.1 截?cái)鄥?shù)確定方法

有偏估計(jì)均方誤差由方差與偏差兩部分組成，TSVD通過(guò)截掉小奇異值來(lái)降低方差，但截掉小奇異值導(dǎo)致模型偏離，引起模型參數(shù)估計(jì)偏差。TSVD模型參數(shù)估計(jì)均方誤差可擴(kuò)展為[22]

(11)

式中，Tt為T(mén)SVD模型參數(shù)估值方差總和；bt為估值偏差。通過(guò)奇異值分解，方差與偏差可表示為

(12)

(13)

式中，gi表示右奇異向量矩陣的第i列向量。

由式(12)和式(13)可知，TSVD每截掉1個(gè)小奇異值后，方差的減少量和偏差的增加量不盡相同。在截掉小奇異值后，方差的減少大于偏差的增加，則均方誤差會(huì)降低，參數(shù)估值精度得到提高，估值更接近于真值。因此，判斷某小奇異值是否需要截掉的關(guān)鍵在于該奇異值截掉后，方差減少量和偏差增加量的大小關(guān)系，即

(14)

分析方差與偏差對(duì)模型參數(shù)估值影響可知，TSVD每截掉一個(gè)小奇異值，模型參數(shù)估計(jì)方差與偏差會(huì)產(chǎn)生不同變化，這種變化將直接體現(xiàn)在參數(shù)估值變化上。由此，可計(jì)算出相鄰奇異值截掉后的方差變化量與模型參數(shù)估值變化量，其中，模型參數(shù)估值變化量應(yīng)包含截掉后一奇異值所引起的方差變化影響及偏差影響。在方差變化已知的情況下，參數(shù)估值變化量應(yīng)可有效反映出偏差的變化。

(15)

由此，可建立奇異值截?cái)喾椒?/p>

(16)

本文方法利用去除方差影響的TSVD模型參數(shù)估值變化近似描述奇異值截掉后的偏差變化，有效避免利用參數(shù)真值計(jì)算偏差，不受參數(shù)真值未知情形影響，與實(shí)際應(yīng)用相符，具備較好的可行性與實(shí)用性。

1.3.2 標(biāo)準(zhǔn)差與參數(shù)估值變化確定方法

1.3.2.1 參數(shù)估值標(biāo)準(zhǔn)差變化量

標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，在無(wú)偏估計(jì)的情況下，標(biāo)準(zhǔn)差即是均方根誤差，反映了參數(shù)估值與真值之間的差異。由式(12)可知，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算需要單位權(quán)方差，單位權(quán)方差反映了觀測(cè)數(shù)據(jù)的觀測(cè)精度，在儀器觀測(cè)精度已知的情況下，可由儀器精度計(jì)算得到。在儀器觀測(cè)精度未知時(shí)，可利用多余觀測(cè)，通過(guò)無(wú)偏估計(jì)計(jì)算得到。

由最小二乘估計(jì)可得觀測(cè)值殘差向量

V=A(ATPA)-1ATPL-L

(17)

對(duì)設(shè)計(jì)矩陣A進(jìn)行奇異值分解化簡(jiǎn)可得

(18)

式中，Um表示對(duì)應(yīng)于奇異值的m×n階左奇異向量矩陣，則單位權(quán)方差可通過(guò)式(19)估計(jì)為

(19)

由式(19)可知，單位權(quán)方差的估計(jì)與多余觀測(cè)數(shù)有關(guān)，與奇異值大小無(wú)關(guān)，因此，在包含多余觀測(cè)的情況下，可實(shí)現(xiàn)單位權(quán)方差的估計(jì)，利用單位權(quán)方差估值即可得到截掉奇異值后的標(biāo)準(zhǔn)差變化量

(20)

1.3.2.2 參數(shù)估值變化量

病態(tài)性對(duì)最小二乘估計(jì)的影響主要體現(xiàn)在小奇異值對(duì)參數(shù)估值方差的嚴(yán)重?cái)U(kuò)大。TSVD通過(guò)截掉小奇異值來(lái)消除其對(duì)方差的影響。截掉小奇異值降低了參數(shù)估值方差，但同時(shí)向參數(shù)估值中引入了偏差。因此，截掉某小奇異值后，方差和偏差的變化共同引起參數(shù)估值的變化。依次截掉相鄰兩個(gè)奇異值后的參數(shù)估值變化可計(jì)算為

(21)

從參數(shù)估值變化量中除去標(biāo)準(zhǔn)差變化影響即可估計(jì)出偏差變化影響

(22)

由式(20)和式(22)可知，截掉奇異值后的標(biāo)準(zhǔn)差變化量和偏差影響量均可通過(guò)式(22)計(jì)算得到。因而，該截?cái)鄥?shù)確定方法的理論依據(jù)更為明確客觀，容易實(shí)現(xiàn)。但是，該方法依然存在缺陷，即在觀測(cè)精度未知情況下，單位權(quán)方差的估計(jì)需利用多余觀測(cè)來(lái)實(shí)現(xiàn)，多余觀測(cè)的質(zhì)量和數(shù)量決定了單位權(quán)方差估計(jì)的可靠性，進(jìn)而影響到標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算的準(zhǔn)確性。因此，該方法更適用于包含豐富多余觀測(cè)的情形。

2 試驗(yàn)分析

2.1 空間測(cè)量試驗(yàn)

采用空間測(cè)邊網(wǎng)算例進(jìn)行試驗(yàn)分析，算例中包含2個(gè)未知點(diǎn)，9個(gè)已知點(diǎn)，通過(guò)19個(gè)等精度觀測(cè)確定未知點(diǎn)坐標(biāo)，觀測(cè)中誤差0.01 m。未知點(diǎn)坐標(biāo)真值為A(0，0，0)與B(7，10，-5)，兩未知點(diǎn)之間的約束觀測(cè)值為13.185 9 m，已知點(diǎn)坐標(biāo)及其他觀測(cè)值情況見(jiàn)表1。

表1 空間測(cè)邊網(wǎng)觀測(cè)信息Tab.1 Spatial ranging information m

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，針對(duì)上述測(cè)量問(wèn)題，制定了兩種解算方案：方案1利用18個(gè)觀測(cè)值對(duì)兩個(gè)未知點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)合解算；方案2引入A、B約束觀測(cè)，利用19個(gè)觀測(cè)值聯(lián)合解算兩個(gè)未知點(diǎn)。

(1) 方案1。在A、B點(diǎn)聯(lián)合解算時(shí)，設(shè)計(jì)矩陣的奇異值情況見(jiàn)表2，奇異值中包含較小接近于0的奇異值，設(shè)計(jì)矩陣存在病態(tài)問(wèn)題。由圖1可見(jiàn)，在截掉奇異值數(shù)為1時(shí)，參數(shù)估值相對(duì)于最小二乘估計(jì)變化量為2.55 m，標(biāo)準(zhǔn)差減少量為1.84 m?？梢?jiàn)參數(shù)估值變化近70%是由標(biāo)準(zhǔn)差變化引起的，剩余30%則可認(rèn)為是由偏差引起。因此，截掉最后1個(gè)奇異值，有利于降低參數(shù)估值均方誤差。在截掉奇異值數(shù)為2時(shí)，參數(shù)估值變化量為0.22 m，標(biāo)準(zhǔn)差變化量為0.04 m，可見(jiàn)參數(shù)估值變化20%是由標(biāo)準(zhǔn)差變化引起，而剩余80%可認(rèn)為由偏差引起，截掉該奇異值不利于降低均方誤差。由此，本文方法確定的截?cái)鄥?shù)為1。L曲線法、均方誤差最小法確定的截?cái)鄥?shù)見(jiàn)表3。

表2 A、B點(diǎn)聯(lián)合解算設(shè)計(jì)矩陣奇異值Tab.2 Design matrix singular value of joint estimation

表3 不同方法模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.3 Model parameter estimation results of different methods m

由表3可知，病態(tài)問(wèn)題影響了最小二乘估計(jì)的參數(shù)估值精度。TSVD通過(guò)截掉小奇異值可有效改善最小二乘方法參數(shù)估計(jì)結(jié)果，降低參數(shù)估計(jì)誤差。但L曲線法截掉3個(gè)小奇異值的坐標(biāo)參數(shù)估計(jì)誤差要大于均方誤差最小法與本文方法截掉一個(gè)最小奇異值，可見(jiàn)均方誤差最小法與本文方法確定的截?cái)鄥?shù)優(yōu)于L曲線法，由此表明，兩種方法均可得到較優(yōu)的截?cái)鄥?shù)。

(2) 方案2。引入聯(lián)測(cè)約束的設(shè)計(jì)矩陣奇異值見(jiàn)表4。由表4可知，引入聯(lián)測(cè)約束后，觀測(cè)方程設(shè)計(jì)矩陣病態(tài)性得到改善，對(duì)比表2，各奇異值均有所增大，病態(tài)性影響減弱。繼續(xù)采用最小二乘與TSVD方法解算參數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析。本文截?cái)鄥?shù)確定方法參數(shù)估值及標(biāo)準(zhǔn)差變化情況如圖2所示，截掉任一奇異值后的參數(shù)估值變化量均要遠(yuǎn)大于標(biāo)準(zhǔn)差變化量，即截掉奇異值后的偏差影響要大于方差影響，因此，不應(yīng)截掉奇異值，本文方法確定截?cái)鄥?shù)為0。L曲線與均方誤差最小法確定截?cái)鄥?shù)見(jiàn)表5。

表4 引入聯(lián)測(cè)約束的設(shè)計(jì)矩陣奇異值Tab.4 Singular values of design matrix with constraint

圖2 截掉奇異值后的參數(shù)估值及標(biāo)準(zhǔn)差變化Fig.2 Parameter estimates and standard deviation changes after truncating singular values

表5 不同方法模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.5 Model parameter estimation results of different methods m

由表5可知，引入聯(lián)測(cè)約束后，病態(tài)問(wèn)題對(duì)最小二乘估計(jì)的影響減弱，最小二乘方法可得到參數(shù)的可靠估值。采用TSVD方法進(jìn)行解算，通過(guò)L曲線法、均方誤差最小法確定的截?cái)鄥?shù)，TSVD分別需要截掉3個(gè)和1個(gè)奇異值，但截掉奇異值引入偏差對(duì)參數(shù)估值的影響要大于降低方差，從而降低了參數(shù)估值精度。采用本文方法確定的截?cái)鄥?shù)為0，無(wú)須截掉奇異值，則TSVD與最小二乘估計(jì)結(jié)果相同，參數(shù)估值精度最優(yōu)。

TSVD是在最小二乘估計(jì)基礎(chǔ)上建立的病態(tài)問(wèn)題解算方法，其解算效果取決于截?cái)鄥?shù)的選擇。綜合分析兩種方案的解算結(jié)果可知，L曲線法確定截?cái)鄥?shù)依賴(lài)于奇異值大小差異，差異較大時(shí)，則容易出現(xiàn)拐點(diǎn)，但該拐點(diǎn)不能保證模型參數(shù)估計(jì)質(zhì)量；均方誤差最小法易受最小奇異值截掉后模型參數(shù)估計(jì)質(zhì)量的影響，初步估計(jì)結(jié)果往往決定了截?cái)鄥?shù)的選擇；本文方法綜合考慮了奇異值截掉后的方差變化及參數(shù)估值變化(即方差與偏差影響)，截?cái)鄥?shù)確定依據(jù)充分，兩種方案下均給出了合理的截?cái)鄥?shù)，有效提高了TSVD模型參數(shù)估計(jì)精度。

2.2 PolInSAR植被高反演試驗(yàn)

PolInSAR是大地測(cè)量中具備穿透測(cè)量能力的新興熱門(mén)測(cè)量技術(shù)，已在大范圍植被高度與林下地形測(cè)量中得到了廣泛應(yīng)用。PolInSAR通過(guò)多極化穿透觀測(cè)，能夠有效地獲取植被覆蓋區(qū)地表及植被體散射信息，為植被高度及林下地形測(cè)繪提供了可能。然而，PolInSAR多極化觀測(cè)模型參數(shù)之間存在一定的相關(guān)性，導(dǎo)致利用多極化數(shù)據(jù)進(jìn)行植被高反演時(shí)常出現(xiàn)病態(tài)問(wèn)題[27-29]，限制了植被高度的反演精度。為了驗(yàn)證本文方法的可行性與有效性，選取了德國(guó)宇航局BioSAR2008項(xiàng)目的E-SAR P波段多極化數(shù)據(jù)進(jìn)行植被高反演試驗(yàn)，觀測(cè)數(shù)據(jù)信息見(jiàn)表6。此外，試驗(yàn)區(qū)擁有高精度LiDAR植被高測(cè)量數(shù)據(jù)，可用于對(duì)比分析PolInSAR植被高反演結(jié)果。

表6 觀測(cè)數(shù)據(jù)參數(shù)信息Tab.6 Information of multi-polarization observation

散射模型是刻畫(huà)雷達(dá)波在植被覆蓋區(qū)穿透?jìng)鞑ミ^(guò)程的物理模型，是利用PolInSAR多極化觀測(cè)信息反演植被高度的基礎(chǔ)，隨機(jī)地體二層散射(RVoG)模型是目前應(yīng)用最為廣泛的散射模型，該模型有效建立了極化觀測(cè)量與植被參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。具體表達(dá)為

(23)

式中，ω表示極化散射狀態(tài)；γ(ω)為對(duì)應(yīng)于極化狀態(tài)ω的復(fù)相干系數(shù)，為已知觀測(cè)值；φ0表示地表相位，為未知參數(shù)；μ(ω)表示地體幅度比，為未知參數(shù)；γv表示純體相干性，與植被高參數(shù)相關(guān)聯(lián)。γv具體表達(dá)為

(24)

式中，σ表示消光系數(shù)，為未知參數(shù)；θ表示雷達(dá)入射角，為已知值；hv表示植被高參數(shù)，為未知參數(shù)；kz表示垂直向有效波數(shù)，為已知值。極化觀測(cè)γ(ω)及純體相干性γv為復(fù)數(shù)值。由散射模型可構(gòu)建函數(shù)模型

γ(ω)=f(φ0,σ,hv,μ(ω))

(25)

由式(25)結(jié)合復(fù)數(shù)最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則，可構(gòu)建高斯-馬爾可夫(Gauss-Markov，G-M)模型[28-29]

Vγ=AγXγ-Lγ

(26)

式中，Vγ表示殘差向量；Aγ為系數(shù)矩陣；Xγ為模型參數(shù)改正數(shù)向量；Lγ表示實(shí)部與虛部殘余常數(shù)向量。利用式(26)實(shí)現(xiàn)植被高參數(shù)平差估計(jì)。

本次試驗(yàn)利用HH、HV、VV、HHpVV、HHmVV、opt1、opt2、opt3、PDHigh、PDLow這10種極化方式觀測(cè)數(shù)據(jù)，進(jìn)行植被高參數(shù)估計(jì)。誤差方程共包含植被高、地體幅度比等13個(gè)未知模型參數(shù)，設(shè)計(jì)矩陣奇異值情況見(jiàn)表7。

由表7中的奇異值情況可知，設(shè)計(jì)矩陣存在嚴(yán)重的病態(tài)性。圖3為奇異值截掉后的TSVD參數(shù)估值及標(biāo)準(zhǔn)差變化情況。由于最小奇異值過(guò)小，截掉后標(biāo)準(zhǔn)差變化過(guò)大，參數(shù)估值及標(biāo)準(zhǔn)差變化趨勢(shì)拆分為圖3(a)、圖3(b)兩部分展示。由圖3可知，前2次截掉小奇異值，方差減少影響均要大于偏差增加影響，有利于降低模型參數(shù)估值均方誤差。在第3次截掉奇異值后(截掉奇異值數(shù)為3)，方差減少對(duì)參數(shù)估值的影響要小于偏差增加對(duì)其影響，第3次截掉奇異值不利于均方誤差的降低。因此，本文方法確定截?cái)鄥?shù)為2。為了對(duì)比分析，分別采用L曲線法、均方誤差最小法確定截?cái)鄥?shù)，解算觀測(cè)方程，獲得植被高、地體幅度比等模型參數(shù)的TSVD估值。表8為不同方法模型參數(shù)估計(jì)的結(jié)果。

表7 觀測(cè)方程設(shè)計(jì)矩陣奇異值Tab.7 Design matrix singular values of observation equation

圖3 截掉奇異值后的參數(shù)估值及標(biāo)準(zhǔn)差變化Fig.3 Parameter estimates and standard deviation changes after truncating singular values

表8 不同方法模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.8 Model parameter estimation results of different methods

由于函數(shù)模型中包含一些過(guò)程參數(shù)無(wú)參數(shù)真值進(jìn)行對(duì)比分析，因此表8僅給出了植被高及影響植被高反演的地體幅度比參數(shù)的估計(jì)結(jié)果。由式(23)可知，地體幅度比參數(shù)影響了純體相干性的相位高度，相位高度越接近于植被冠層，則植被高反演越準(zhǔn)確。由表8中兩類(lèi)參數(shù)的反演結(jié)果可知，3種TSVD解算方法有效改善了最小二乘方法參數(shù)估計(jì)結(jié)果。相較于LiDAR植被高測(cè)量結(jié)果(20.02 m)，L曲線法確定截?cái)鄥?shù)時(shí)，TSVD植被高估值偏低，這與地體幅度比的估值結(jié)果相符，因?yàn)榈伢w幅度比估值相較于其他兩種方法也偏低，則純體相干性相位高度位于植被冠層以下，從而造成植被高參數(shù)低估。由均方誤差最小法確定截?cái)鄥?shù)時(shí)，植被高與地體幅度比估值均偏高，這與L曲線法相反，過(guò)高的地體幅度比導(dǎo)致純體相干性相位高度位于植被冠層以上，造成植被高參數(shù)高估。采用本文方法確定截?cái)鄥?shù)時(shí)，盡管植被高與地體幅度比估值仍偏高，但相較于其他兩種方法有明顯改善，植被高估計(jì)結(jié)果最接近于LiDAR結(jié)果，精度最高。便于直觀對(duì)比分析，整幅數(shù)據(jù)的植被高估計(jì)結(jié)果如圖4所示。

由圖4可以看出，受模型病態(tài)性影響，最小二乘估計(jì)已無(wú)法獲得植被高參數(shù)的可靠估值。采用TSVD方法進(jìn)行解算，不同截?cái)鄥?shù)下的植被高反演結(jié)果存在較大差異。由L曲線法確定截?cái)鄥?shù)，TSVD方法反演的植被高結(jié)果相較于三階段初值未有明顯改善，這主要由于L曲線法截掉的奇異值過(guò)多，出現(xiàn)過(guò)度平滑，解算結(jié)果未能得到改善。均方誤差最小法確定截?cái)鄥?shù)，植被高反演結(jié)果相較于初值有明顯改善，但與LiDAR結(jié)果相比，存在一定高估。這是由于均方誤差最小法僅截掉一個(gè)最小奇異值，雖然病態(tài)性得到了較大改善，但剩余小奇異值病態(tài)性仍較為嚴(yán)重，植被高反演均方誤差仍較大，導(dǎo)致存在高估。由本文方法確定截?cái)鄥?shù)，TSVD表現(xiàn)最優(yōu)，植被高反演結(jié)果最接近于LiDAR植被高結(jié)果，表明新截?cái)鄥?shù)確定方法可有效改善TSVD解算效果，提高模型參數(shù)估計(jì)精度。為了量化分析，由圖中均勻選取1377塊樣地，統(tǒng)計(jì)分析植被高反演誤差情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖5所示。

圖4 各方法植被高反演結(jié)果Fig.4 Vegetation height inversion results of each method

由圖5可知，最小二乘估計(jì)均方根誤差較大且離散程度較高，估計(jì)精度較差，無(wú)法獲得植被高可靠估值。由L曲線法確定截?cái)鄥?shù)的TSVD方法，植被高估計(jì)結(jié)果離散度有較大改善，均方根誤差相較于最小二乘估計(jì)有顯著降低；但相較于其他方法仍較大。均方誤差最小法確定截?cái)鄥?shù)，TSVD植被高估值均方根誤差優(yōu)于L曲線法，但差于本文方法。由本文方法確定截?cái)鄥?shù)，TSVD植被高估值均方根誤差均低于其他方法，與LiDAR樣地植被高符合程度最高，表明本文方法確定截?cái)鄥?shù)的TSVD植被高估計(jì)結(jié)果最佳，驗(yàn)證了本文方法在改善TSVD解算效果上的可行性與有效性。

圖5 各方法樣地植被高反演誤差Fig.5 Standards vegetation height inversion errors of each method

3 結(jié) 論

TSVD方法是處理病態(tài)問(wèn)題的常用有效方法，在大地測(cè)量各領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。截?cái)鄥?shù)的選擇決定了TSVD方法的解算效果，常用的截?cái)鄥?shù)確定方法從不同角度給出了有效的截?cái)鄥?shù)，但仍難以確定最優(yōu)截?cái)鄥?shù)。均方誤差最小法考慮了TSVD模型參數(shù)估值均方誤差的變化，可在均方誤差理論下保證模型參數(shù)估值精度，是一種理論依據(jù)較為完備的截?cái)鄥?shù)確定方法，但均方誤差的計(jì)算需要模型參數(shù)真值，在實(shí)際應(yīng)用中無(wú)法滿足，導(dǎo)致該方法難以確定出理論上的最優(yōu)截?cái)鄥?shù)。鑒于此，本文提出了考慮均方誤差視角下參數(shù)估值變化差異的TSVD截?cái)鄥?shù)確定方法，利用奇異值截掉后的方差與參數(shù)估值變化關(guān)系分析確定偏差影響，綜合方差與偏差影響，最終實(shí)現(xiàn)基于均方誤差最小準(zhǔn)則的截?cái)鄥?shù)確定。模擬與實(shí)際應(yīng)用的試驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法確定的截?cái)鄥?shù)可有效改善TSVD解算效果，提高模型參數(shù)估值的精度與可靠性。