馬少才

(上海儒競智控技術(shù)有限公司，上海 200438)

0 引 言

單相感應(yīng)電機(jī)(SPIM)具有成本低廉、使用方便、結(jié)構(gòu)簡單、維修方便的優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于家電和小功率工業(yè)應(yīng)用領(lǐng)域中，如電風(fēng)扇、洗衣機(jī)、抽油煙機(jī)、家用水泵及小型風(fēng)機(jī)等。單相電機(jī)一般直接接入電網(wǎng)，在這種情況下單相電機(jī)的能耗較高，如果不能進(jìn)行調(diào)速會(huì)造成能量的大量損失[1-2],而且無法滿足高精度驅(qū)動(dòng)要求[3]；電機(jī)功率因數(shù)較低，會(huì)導(dǎo)致電網(wǎng)電能質(zhì)量的降低[4]；電網(wǎng)電壓和頻率的波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致電機(jī)偏離其額定工作點(diǎn)，導(dǎo)致電流產(chǎn)生較大波動(dòng)，隨之導(dǎo)致電機(jī)轉(zhuǎn)矩出現(xiàn)較大波動(dòng)；此外，單相電機(jī)起動(dòng)時(shí)，起動(dòng)電流較大，會(huì)對電網(wǎng)造成較大的沖擊電流[5]。

隨著變頻技術(shù)的發(fā)展，將變頻技術(shù)應(yīng)用于SPIM能解決其存在的上述問題。變頻控制可以實(shí)現(xiàn)軟起動(dòng)，能夠很好地解決SPIM直接起動(dòng)對電網(wǎng)造成的沖擊；矢量控制可改善SPIM橢圓形磁場，實(shí)現(xiàn)圓形磁場控制，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩穩(wěn)定；矢量控制可同時(shí)調(diào)節(jié)感應(yīng)電機(jī)的勵(lì)磁和轉(zhuǎn)矩，可根據(jù)負(fù)載需求調(diào)整感應(yīng)電機(jī)的電流，能夠?qū)崿F(xiàn)電機(jī)效率最優(yōu)；矢量控制的調(diào)速精度高，調(diào)速性能優(yōu)良；采用變頻控制后單相電機(jī)不再會(huì)受到電網(wǎng)電壓和頻率波動(dòng)的影響，極大提高了SPIM運(yùn)行的穩(wěn)定性；綜上因素，矢量控制將極大改善SPIM的運(yùn)行性能，降低SPIM不同工況下的損耗，對節(jié)能減排、實(shí)現(xiàn)雙碳目標(biāo)十分有意義。

SPIM增加速度傳感器將大幅增加電機(jī)的成本，加大了安裝難度，加大了電機(jī)的尺寸和體積，增加了相關(guān)的接線和接口電路，降低系統(tǒng)可靠性、可維護(hù)性[6]。因此采用無速度傳感器控制成為電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的發(fā)展趨勢，也有利于目前大量SPIM存量產(chǎn)品的升級(jí)改造工作。

在SPIM無位置變頻控制方面：文獻(xiàn)[1-7]均采用了基于模型參考自適應(yīng)觀測轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)子磁鏈定向的矢量控制方案；文獻(xiàn)[2]介紹了基于電流模型磁鏈觀測的轉(zhuǎn)子磁鏈定向矢量控制，介紹了基于定子電壓模型計(jì)算定子磁鏈的直接轉(zhuǎn)矩控制；文獻(xiàn)[8]介紹了采用基于定子磁鏈定向的矢量控制；文獻(xiàn)[9]介紹了基于定子磁鏈計(jì)算的轉(zhuǎn)子磁鏈定向矢量控制系統(tǒng)；文獻(xiàn)[10]介紹了基于擴(kuò)展卡爾曼濾波器計(jì)算轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)子磁場定向的矢量控制系統(tǒng)；文獻(xiàn)[11-12]介紹了基于狀態(tài)觀測器計(jì)算轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)子磁場定向的矢量控制系統(tǒng)；文獻(xiàn)[13]介紹了直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)。

本文結(jié)合SPIM的數(shù)學(xué)模型，通過混合磁鏈觀測器對轉(zhuǎn)子磁鏈進(jìn)行觀測，并進(jìn)一步計(jì)算出轉(zhuǎn)子磁鏈和轉(zhuǎn)速用于進(jìn)行基于轉(zhuǎn)子磁鏈定向的矢量控制，經(jīng)過仿真驗(yàn)證控制系統(tǒng)的可行性和有效性。

1 SPIM數(shù)學(xué)模型

1.1 靜止坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型

相對于三相感應(yīng)電機(jī)，SPIM只有兩相垂直繞組，分別為主繞組和輔助繞組，這在控制過程中避免了Clarke變換；絕大多SPIM定子繞組是不對稱的，使得其數(shù)學(xué)模型更為復(fù)雜。

SPIM在兩相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為[1,4]

(4)

φsm=Lsm·ism+Msrm·irm

(5)

φsa=Lsa·isa+Msra·ira

(6)

φrm=Lrm·irm+Msrm·ism

(7)

φra=Lra·ira+Msra·isa

(8)

Te=p(Msrm·ism·ira-Msra·isa·irm)

(9)

(10)

式中:下標(biāo)m、a分別代表電機(jī)主繞組和輔助繞組；下標(biāo)s、r分別代表電機(jī)的定子和轉(zhuǎn)子；V、i、R分別代表電機(jī)電壓、電流和電阻；L、M和φ分別代表電機(jī)電感、互感和磁鏈；p、Te、TL、ωr分別代表電機(jī)的極對數(shù)、電磁轉(zhuǎn)矩、負(fù)載轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)子角速度；J和f代表轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和摩擦系數(shù)。

在數(shù)學(xué)模型上為了降低SPIM的不對稱性，將電機(jī)所有參數(shù)折算到定子主繞組的匝數(shù)，其中定義：

n=Nsm/Nsa≤1

(11)

Vsaref=Vsa·n

(12)

isaref=isa/n

(13)

φsaref=φsa·n

(14)

Lsaref=Lsa·n2

(15)

Rsaref=Rsa·n2

(16)

Msraref=Msra·n=Msrm=M

(17)

式中:Nsm、Nsa分別代表電機(jī)主繞組匝數(shù)和輔助繞組匝數(shù)；n表示主繞組和輔助繞組的匝數(shù)比；下標(biāo)ref表示輔助繞組經(jīng)過匝數(shù)折算后的變量。

經(jīng)過匝數(shù)折算后，SPIM數(shù)學(xué)模型式(1)～式(8)變更為如下：

(21)

φsm=Lsm·ism+M·irm

(22)

φsaref=Lsaref·isaref+M·ira

(23)

φrm=Lr·irm+M·ism

(24)

φra=Lr·ira+M·isaref

(25)

Te=P·M(ism·ira-isaref·irm)

(26)

經(jīng)過匝數(shù)折算后，忽略Lsm與Lsaref之間的小誤差，可以近似的認(rèn)為Lsm=Lsaref=Ls。并進(jìn)一步定義SPIM漏磁系數(shù)如下：

(27)

對式(22)、式(23)進(jìn)一步進(jìn)行推導(dǎo)，并將式(27)代入，可得：

(28)

(29)

至此，不對稱單相電機(jī)數(shù)學(xué)模型經(jīng)過一系列變換后其定轉(zhuǎn)子磁鏈關(guān)系與傳統(tǒng)三相感應(yīng)電機(jī)保持一致，可視為對稱磁鏈電機(jī)數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)采用傳統(tǒng)三相感應(yīng)電機(jī)控制方法打下基礎(chǔ)。

1.2 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型

在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)子電壓方程如下所示[4]：

(31)

其中τr為轉(zhuǎn)子時(shí)間常數(shù)，其定義為

(32)

將矢量控制定向坐標(biāo)軸固定在轉(zhuǎn)子磁鏈上，則轉(zhuǎn)子磁鏈在dq軸的分量可表達(dá)為

φrd=φr

(33)

φrq=0

(34)

(35)

將式(33)和式(34)代入式(30)，并化簡可得：

(36)

將公式(33)、式(34)和式(35)代入式(31)，并化簡可得在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下感應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)差角速度公式如下：

(37)

進(jìn)一步可得感應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速方程：

ωr=ωe-ωsl

(38)

式中:ωe為電機(jī)同步速。

1.3 定子電壓數(shù)學(xué)模型

將不對稱SPIM定子繞組電阻進(jìn)行如下分解：

(40)

將式(39)和式(40)代入式(18)和式(19)，進(jìn)行推導(dǎo)可得：

(42)

進(jìn)一步定義：

(43)

Vsm_sym=Rd·ism

(44)

(45)

Vsa_asy=-Rd·isaref

(46)

則定子電壓方程可進(jìn)一步表達(dá)為

Vsm=Vsm_sym+Vsm_sym

(47)

Vsa_ref=Vsa_sym+Vsa_asy

(48)

式中：下標(biāo)sym代表對稱分量；下標(biāo)asy代表非對稱分量。

當(dāng)定子電壓方程從靜止向旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系進(jìn)行變換時(shí)，只進(jìn)行對稱分量的轉(zhuǎn)換。當(dāng)從旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系向靜止坐標(biāo)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換后，再進(jìn)行非對稱電壓分量的補(bǔ)償。由此SPIM在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的對稱參數(shù)模型定子電壓方程可表達(dá)為

(50)

式(49)、式(50)與三相感應(yīng)電機(jī)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的表達(dá)式一致。

2 轉(zhuǎn)子磁鏈觀測和速度估算

2.1 電壓模型轉(zhuǎn)子磁鏈觀測

結(jié)合式(18)、式(19)、式(28)和式(29)可得到電壓模型的轉(zhuǎn)子磁鏈觀測器表達(dá)式如下：

(52)

從式(51)、式(52)中可知轉(zhuǎn)子磁鏈主要是對定子反電動(dòng)勢進(jìn)行積分并轉(zhuǎn)換得到，低速時(shí)，受定子電阻測量誤差及電機(jī)在制造過程中定子線包參數(shù)差異影響，電壓模型計(jì)算轉(zhuǎn)子磁鏈計(jì)算結(jié)果會(huì)有誤差；中高速時(shí)，定子電阻電壓降較小，定子反電動(dòng)勢較高，電壓磁鏈模型可以準(zhǔn)確觀測到轉(zhuǎn)子磁鏈。

2.2 電流模型轉(zhuǎn)子磁鏈觀測

將電機(jī)定子兩相電流經(jīng)過同步旋轉(zhuǎn)變換并按照轉(zhuǎn)子磁場定向，得到dq坐標(biāo)上的電流isd和isq，結(jié)合式(36)可以得到轉(zhuǎn)子磁場定向下的轉(zhuǎn)子磁場φr，再經(jīng)過iPark變換到靜止坐標(biāo)系，就可以得到電流模型在靜止坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)子磁鏈，其實(shí)現(xiàn)過程如下圖1所示。

圖1 電流型磁鏈觀測器框圖

2.3 混合模型轉(zhuǎn)子磁鏈觀測

從上述分析可見，電壓模型與電流模型有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，將電流模型和電壓模型進(jìn)行級(jí)聯(lián)，構(gòu)建基于Gopinath型混合磁鏈觀測器[14-16]，其具體結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 電壓電流混合模型的轉(zhuǎn)子磁鏈觀測結(jié)構(gòu)框圖

圖2中，ωφr代表轉(zhuǎn)子磁鏈角速度，其數(shù)值等于同步速ωe；θφr代表轉(zhuǎn)子磁鏈角度。此閉環(huán)轉(zhuǎn)子磁鏈觀測器能實(shí)現(xiàn)在電流模型和電壓模型之間自動(dòng)平滑切換：低速時(shí)以電流模型結(jié)果為主；高速時(shí)以電壓模型結(jié)果為主。低速到高速的過渡過程由圖中PI控制器參數(shù)決定。其具體設(shè)計(jì)在文獻(xiàn)[15-16]中有詳細(xì)說明，此處不再贅述。PLL為鎖相環(huán)，用于計(jì)算靜止坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)子磁鏈的速度和角度，PLL設(shè)計(jì)在文獻(xiàn)[17]中有詳細(xì)說明，此處不再贅述。

3 矢量控制仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證新方法的有效性，利用軟件MATLAB按照SPIM轉(zhuǎn)子磁鏈定向建立了基于雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)的電機(jī)矢量控制系統(tǒng)的仿真模型,逆變器為三相橋式逆變電路，該逆變電路產(chǎn)生和實(shí)現(xiàn)與傳統(tǒng)三相空間矢量脈寬調(diào)制不同，對于單相電機(jī)產(chǎn)生方式在參考文獻(xiàn)[18-19] 中均有詳細(xì)介紹，此處不再贅述；觀測器為前述混合模型轉(zhuǎn)子磁鏈觀測器；基于MATLAB的仿真框圖如圖3所示。

圖3 SPIM轉(zhuǎn)子磁場定向矢量控制系統(tǒng)仿真框圖

仿真模型中PWM逆變器的載波頻率為6 000 Hz，雙閉環(huán)控制和磁鏈控制計(jì)算頻率也均為6 000 Hz，仿真用SPIM參數(shù)為MATLAB默認(rèn)參數(shù)，具體如下表1所示。

表1 SPIM參數(shù)

圖4是基于轉(zhuǎn)子磁鏈定向的非對稱SPIM無傳感器矢量控制轉(zhuǎn)速突變時(shí)的仿真結(jié)果。負(fù)載為0.5 N·m，在8.5 s時(shí)，將轉(zhuǎn)速由2 r/s提升為30 r/s；圖4從上到下的波形依次為,轉(zhuǎn)子磁鏈幅值誤差、轉(zhuǎn)子磁鏈角度誤差、給定/實(shí)際轉(zhuǎn)速和定子dq軸電流。

圖4 SPIM轉(zhuǎn)速突變仿真圖

從圖4中可以看到估算的磁鏈幅值與實(shí)際磁鏈幅值之間的誤差極小，磁鏈角度誤差在穩(wěn)態(tài)條件下接近于零，動(dòng)態(tài)過程會(huì)稍微大一些，說明該磁鏈計(jì)算方法的有效性；圖4中實(shí)際轉(zhuǎn)速與給定轉(zhuǎn)速不重合的部分為轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)過程。

圖5是該系統(tǒng)在負(fù)載轉(zhuǎn)矩突變時(shí)的仿真結(jié)果，在t=14.5 s時(shí)，將負(fù)載轉(zhuǎn)矩由0.5 N·m提升為1.0 N·m。從上到下的波形依次為，轉(zhuǎn)子磁鏈幅值誤差、轉(zhuǎn)子磁鏈角度誤差、給定/實(shí)際轉(zhuǎn)速、負(fù)載轉(zhuǎn)矩和定子dq軸電流。

從圖5中可以看到該算法具有較好的動(dòng)靜態(tài)控制性能，轉(zhuǎn)子磁鏈幅值誤差、相角誤差、速度穩(wěn)定誤差和波動(dòng)都非常小。更進(jìn)一步說明了該磁鏈計(jì)算方法的有效性和可靠性，同時(shí)驗(yàn)證了仿真系統(tǒng)設(shè)計(jì)的合理性。

圖5 SPIM負(fù)載轉(zhuǎn)矩突變仿真圖

4 結(jié) 語

本文從非對稱SPIM的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，對電機(jī)在不同坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了推導(dǎo)，并針對電機(jī)的非對稱性進(jìn)行了對稱化處理使單相非對稱電機(jī)能夠像三相感應(yīng)電機(jī)一樣進(jìn)行矢量控制；采用混合模型轉(zhuǎn)子磁鏈觀測器進(jìn)行了轉(zhuǎn)子磁鏈觀測；在上述內(nèi)容基礎(chǔ)上進(jìn)行了非對稱SPIM基于轉(zhuǎn)子磁場的矢量控制研究，并建立了基于MATLAB的仿真模型，通過仿真驗(yàn)證了方案的正確性以及矢量控制在SPIM控制中的可行性和有效性。