成麗波，李昂臻，賈小寧，李 喆

（長春理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春 130022）

1 引 言

隨著衛(wèi)星遙感技術(shù)的發(fā)展及成熟，遙感圖像在車載GPS導(dǎo)航、手機(jī)地圖軟件的實時地圖中得到了大量的應(yīng)用。在資源分析［1-2］，河流水源研究［3］，地質(zhì)地貌勘探［4］以及氣象災(zāi)害［5-7］等領(lǐng)域也都需要衛(wèi)星遙感圖像的身影。隨著圖像傳感器功能的提升，目前遙感圖像的空間分辨率已經(jīng)到了米級［8-9］。然而，受傳感器的靈敏度及成像環(huán)境的影響，遙感圖像會被噪聲污染。噪聲會影響圖像的視覺效果，甚至?xí)谏w數(shù)字圖像的真實信息，因此去噪是衛(wèi)星遙感圖像預(yù)處理中的重要環(huán)節(jié)。

傳統(tǒng)去噪算法主要利用濾波分解，再通過濾波器進(jìn)行噪聲去除［10-15］。李輝［13］通過改進(jìn)的雙樹復(fù)小波進(jìn)行圖像去噪。Huang［14］采用基于核主成分分析（Kernel Principal Components，KPCA）希爾伯特-黃變換（Hilbert-Huang Transform，HHT）進(jìn)行去噪，該方法改進(jìn)了傳統(tǒng)的主成分分析只能處理線性信號的缺點，可以對非線性遙感圖像信號進(jìn)行處理。

常見的乘性噪聲去除方法利用全變差（Total Variation，TV）模型［16-17］或L0最小化決策樹［18］進(jìn)行去噪，這兩種方法旨在去除Gamma乘性噪聲及斑點噪聲。然而，遙感圖像中的乘性噪聲多為Gaussian噪聲，針對此類噪聲目前主流的去除方法有LEE濾波、BM 3D（Block-Matching and 3D Filtering）算法和多重分形算法。Zhong［19］等通過改進(jìn)LEE濾波對遙感圖像中的乘性噪聲進(jìn)行了去除。

遙感圖像去噪時除了要關(guān)注其噪聲的去除程度之外，還要避免圖像的細(xì)節(jié)與結(jié)構(gòu)遭到破壞。因此，在去噪的同時還要考慮邊緣保持。Zhang［20］利用Contorlet在進(jìn)行遙感圖像去噪的同時保留了邊緣細(xì)節(jié)。Pham等［21］對去噪算法進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)造邊緣保護(hù)模型。Deepa等［22］提出了一種最小二乘法加權(quán)正則化的去噪技術(shù)，旨在保護(hù)圖像邊緣。2020年，Suman等［23-24］通過多重分形理論，融合小波分析以及TV模型構(gòu)造出針對遙感圖像中乘性噪聲去除的算法，該算法可以有效去除遙感圖像中的乘性噪聲，并且可以高效保持圖像的邊緣細(xì)節(jié)和圖像結(jié)構(gòu)。

本文在此基礎(chǔ)上提出了一種衛(wèi)星遙感圖像混合噪聲去除算法，該算法利用小波半軟閾值指數(shù)衰減閾值法對低頻噪聲進(jìn)行平滑處理，之后采用多重分形算法進(jìn)行二次處理估計去噪圖像。該方法彌補(bǔ)了小波半軟閾值指數(shù)衰減法去噪能力薄弱，僅能進(jìn)行去噪預(yù)處理，而多重分形對于加性噪聲去噪效果不明顯的不足。

2 混合噪聲模型

在圖像處理中，混合噪聲圖像通常表示為：

其中：g為原始圖像，η為乘性噪聲，n為加性噪聲，f為被噪聲污染的圖像。

根據(jù)混合噪聲模型，混合噪聲可以分兩步進(jìn)行去除，首先對加性噪聲進(jìn)行去噪處理，之后再對乘性噪聲進(jìn)行去噪處理，同時還要保持圖像細(xì)節(jié)及結(jié)構(gòu)的完整。

3 小波多重分形去噪算法

本文在Suman構(gòu)造的多重分形去除乘性噪聲算法的基礎(chǔ)上，融合小波半軟閾值指數(shù)衰減模型［25］來去除低頻信號中的加性噪聲，并利用偏移算子O［26］去除剩余加性噪聲。具體流程如圖1所示。

圖1 小波多重分形去噪算法流程Fig.1 Flow chart of wavelet multifractal denoising algorithm

3.1 小波半軟閾值

首先對遙感圖像進(jìn)行小波變換：

其中：a為尺度因子，b為平移因子，（ft）為圖像信號。利用ψ(t)對圖像進(jìn)行分解，獲得小波系數(shù)集{ajk}。

常規(guī)的小波去噪采用小波硬閾值或小波軟閾值，這兩種方法對于信號的衰減太強(qiáng)，會使后續(xù)的圖像產(chǎn)生不可逆的細(xì)節(jié)損失。因此為了避免細(xì)節(jié)破壞，本文采用小波半軟閾值指數(shù)衰減閾值法。該方法可以有效去除小波分解后的低頻濾波中平滑且不可忽視的加性噪聲。選取兩個閾值λ1，λ2，λ1＜λ2。當(dāng)λ1＜|ajk|≤λ2時更接近軟閾值；當(dāng)|ajk|＞λ2時更接近硬閾值。因此半軟閾值函數(shù)如下：

指數(shù)衰減閾值法是將λ1＜|ajk|≤λ2的線性變換改為指數(shù)形式，即有：

該方法可以平緩信號改變量，防止細(xì)節(jié)信號丟失。

3.2 多重分形

自然系統(tǒng)存在自相似性，具有多重分形性質(zhì)。遙感圖像作為傳感器獲取的自然圖像，其中的觀測信號顯然也存在自相似性，因此遙感圖像也具有多重分形性質(zhì)。多重分形能夠定量地刻畫復(fù)雜幾何對象在不同層次的分形特征，并通過多重分形譜表達(dá)出來。

由于乘性噪聲是附加在信號上的，所以本文采用多重分形方法［21-22］進(jìn)行噪聲去除，該方法不同于傳統(tǒng)濾波法，其去噪主要依據(jù)圖像本身的信息特征進(jìn)行估計，即尋找g^?g。首先，根據(jù)多重分形理論從f中提取無噪信息，再從無噪信息重建去噪圖像。

3.2.1 信息提取

遙感圖像f(t)在像素點t處的奇異值指數(shù)h(t)為：

其中h(t)為Hausdorff指數(shù)。定義集合E(h)為具有相同h(t)值的所有點t構(gòu)成的集合，即：

為了分析退化的奇異過程，定義半徑ε的h鄰域局部奇異點集合為：

根據(jù)式（7），引入Hausdorff維度dimH E：

其中{E i}1＜i＜∞是E的r覆蓋，即：

最后可得：

多重分形測度μ的Hausdorff譜為(h，fh(h))，也稱為局部奇異譜。

3.2.2 圖像去噪與重構(gòu)

構(gòu)造偏移算子O：

通過變換多重分形譜，將含有加性噪聲的不規(guī)則信號f(h＜2)=2和f(h=2)＜2平滑處理，由多重分形理論可知，該變換不會改變譜的相對強(qiáng)度，因此不會影響圖像的細(xì)節(jié)。

設(shè)限制于(h)的標(biāo)準(zhǔn)密度測度為δEk，利用水平垂直兩方向的方向梯度?x，?y逐像素乘法得出稀疏梯度集：

采用歐拉-拉格朗日公式法簡化函數(shù)，得到：

其中“div”為發(fā)散運(yùn)算符。將式（13）投影到傅里葉基底上得到：

利用傅里葉逆變換獲得去噪圖像信號：

最后利用小波逆變換將信號(t)重構(gòu)為去噪圖像。

4 實驗與結(jié)果

4.1 小波多重分形算法

本 文 在 處 理 器 為Intel（R）Core（TM）i7-10750H CPU@2.60 GHz 2.59 GHz，運(yùn)行內(nèi)存為16 G的64位Win11操作系統(tǒng)上進(jìn)行實驗。使用的編程語言是2020版MATLAB。

遙感圖像取自武漢多時相場景變化檢測數(shù)據(jù)集（MtS-WH）。通過MATLAB進(jìn)行噪聲的隨機(jī)添加，以此模擬實際情況。其中，加性噪聲標(biāo)準(zhǔn)差δ+∈[0，40]，乘性噪聲標(biāo)準(zhǔn)差δ×∈[0，25]。MATLAB隨機(jī)取值如表1所示，填噪效果如圖2所示。針對6幅隨機(jī)噪聲圖像，采用小波多重分形去噪算法進(jìn)行去噪，具體流程如表2所示。

表1 隨機(jī)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差選取Tab.1 Selection of standard deviation for random noise

表2 小波多重分形去噪算法Tab.2 Wavelet multifractal denoising algorithm

圖2 混噪圖像Fig.2 Noisy images

4.2 對比實驗

圖像去噪效果的評價分為主觀定性分析與客觀定量分析兩種。定性分析主要由圖像視覺效果判斷圖像質(zhì)量，很難消除主觀因素的影響。定量分析通常采用數(shù)值分析，最常用的評價標(biāo)準(zhǔn)有均方誤差（Mean Squared Error，MSE）和峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR），其公式如下：

式中g(shù)max為圖像灰度最大值。

邊緣保持指數(shù)（Edge Protection Index，EPI）是一種定量的邊緣保持方法。在圖像噪聲抑制中，EPI定義為：

其中：為去除噪聲的SAR圖像，f為原始SAR圖像，n，m分別為SAR圖像的列數(shù)和行數(shù)。邊緣保持指數(shù)值越高，圖像邊緣的保存能力越好。較好的去噪SAR圖像通常具有合理的EPI值。

為了驗證本文構(gòu)造的小波多重分形去噪算法的有效性，本文利用自適應(yīng)維納濾波，傳統(tǒng)小波去噪算法，改進(jìn)LEE濾波，TV模型進(jìn)行對比實驗，實驗結(jié)果通過PSNR與EPI進(jìn)行數(shù)值表達(dá)。結(jié)果如圖3～圖8所示，數(shù)值解如表3和表4所示。

圖3 N1的去噪結(jié)果Fig.3 N1 denoising results

圖8 N6的去噪結(jié)果Fig.8 N6 denoising results

圖4 N2的去噪結(jié)果Fig.4 N2 denoising results

圖5 N3的去噪結(jié)果Fig.5 N3 denoising results

圖6 N4的去噪結(jié)果Fig.6 N4 denoising results

圖7 N5的去噪結(jié)果Fig.7 N5 denoising results

通過6組對比實驗?zāi)軌虬l(fā)現(xiàn)，在混合噪聲去除上，本文方法兼具去噪效果與視覺效果。

由于圖像被混合噪聲污染，去噪后的PSNR與EPI普遍較低。由表3和表4可知，小波多重分形算法對于含有混合噪聲的遙感圖像去噪效果最好，PSNR值普遍高于其他方法，EPI值有著明顯的提升，說明該方法在去噪的同時能夠極大程度地保留邊緣，有著較強(qiáng)的細(xì)節(jié)留存能力。

表3 不同算法去噪后遙感圖像的PSNR評價結(jié)果Tab.3 PSNR evaluation results of remote sensing images denoised by different algorithms

表4 不同算法去噪后遙感圖像的EPI評價結(jié)果T ab.4 EPI evaluation results of remote sensing images denoised by different algorithms

5 結(jié) 論

本文針對混合噪聲，利用小波半軟閾值指數(shù)衰減閾值法去除部分加性噪聲，通過帶有偏移算子O的多重分形進(jìn)行剩余加性噪聲的去除并保持圖像平滑，不丟失細(xì)節(jié)信息。最后，采用稀疏梯度集估計去噪圖像，該方法可以有效去除附加在信號上的乘性噪聲并保證細(xì)節(jié)完整。實驗結(jié)果表明：對6幅圖片進(jìn)行去噪，去噪圖像的PSNR值最高為26.700 d B，邊緣EPI值最高為0.449。該方法能夠有效去除遙感圖像的混合噪聲。