劉晨凡

這幾年以來，高考試卷中對函數(shù)中特別是導(dǎo)數(shù)的同構(gòu)類型考得是越來越多，比如2020全國Ⅰ卷12題，2020全國Ⅱ卷11題，全國Ⅲ卷的12題，都考查了同構(gòu)式，2020山東卷21題也可以用指對同構(gòu)的方法解答。

并且，各個省份地市的各種模擬考試對同構(gòu)式也是多有偏愛。比如，2021年八省聯(lián)考第8題，湖北3月八市聯(lián)考第8題，都考查了同構(gòu)式。因此基于同構(gòu)式子的探討分析就尤為重要。探索同構(gòu)式子中的?？紗栴}——指數(shù)型函數(shù)與對數(shù)型函數(shù)的同構(gòu)，對解決指對型含參并且不可分離參數(shù)的不等式問題，以及不等式或等式或函數(shù)恒成立之類求參數(shù)取值范圍的，或證明不等式，都能帶來極大的便利。

不過現(xiàn)實(shí)的情況是：一些學(xué)生仍然覺得題目很陌生，好像從沒做過類似的題型，不知從何入手。因此在平常的復(fù)習(xí)備考中，要培養(yǎng)學(xué)生善于總結(jié)方法，體會問題的本質(zhì)，做到一題多角度解答，從一個題目靈活多變，生成其他題，多個題目殊途歸源用同一種解法，反復(fù)訓(xùn)練中提升學(xué)生創(chuàng)新思維的能力，轉(zhuǎn)化化歸的能力，突出邏輯推理，不斷與新高考進(jìn)行接軌，強(qiáng)化學(xué)生內(nèi)在數(shù)學(xué)素質(zhì)。如今高考命題對情境設(shè)計有很大的提升，傾向于在現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上對事實(shí)材料進(jìn)行加工，知識從生活中來，也要走入生活中去，不能脫離現(xiàn)實(shí)，強(qiáng)調(diào)不能死記硬背和盲目的“機(jī)械刷題”現(xiàn)象。并努力把創(chuàng)新思考的思維和個人自學(xué)的學(xué)習(xí)能力考查方方面面滲透進(jìn)命題的全過程，既要“重思維”，也要“重應(yīng)用”，更要“重創(chuàng)新”，這樣的指導(dǎo)理念才能使學(xué)生從單純的解答型應(yīng)試轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰π瓦x手。

高考數(shù)學(xué)不僅是十二年來從課本上學(xué)習(xí)的知識的較量，也是考生的心理素質(zhì)心理穩(wěn)定和考試技巧考試耐力的比拼。如果想要在緊張的高考中獲得良好的成績，不僅要取決于是否掌握了扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，是否掌握了熟練的基本技能以及是否擁有出色的解題能力，還可能取決于臨考前的身體健康狀況、心理健康狀況和考試臨場發(fā)揮。所以考前的充分復(fù)習(xí)準(zhǔn)備是相當(dāng)重要的，例如同構(gòu)題型的熟練程度，同時含有指數(shù)形式和對數(shù)形式并且含參的題型很有可能用到同構(gòu)形式，必須要對相關(guān)條件進(jìn)行進(jìn)一步變形，或配湊常數(shù)系數(shù)，或添加項(xiàng)。

一、 基礎(chǔ)部分

什么是同構(gòu)？簡單地說一個方程或不等式中出現(xiàn)兩個變量時，左右兩邊移項(xiàng)或左右兩邊增刪某些量，使得改變之后左右結(jié)構(gòu)一樣，進(jìn)而利用左右邊中明顯可以構(gòu)造出函數(shù)的特征去重建一個函數(shù)，再利用新建函數(shù)求出單調(diào)性，最后把方程或不等式變成能求解或能比較的形式。

(2020·新課標(biāo)卷Ⅱ文數(shù)·12)若2-2<3--3-，則

( )

Aln(-+1)>0 Bln(-+1)<0

Cln|-|>0 Dln|-|<0

將已知2-2<3--3-按照“左右兩邊移項(xiàng)或左右兩邊增刪某些量”的目標(biāo)變形，然后使用新建函數(shù)的單調(diào)性本題可解。

由2-2<3--3-移項(xiàng)變形為2-3-<2-3-。

設(shè)()=2-3-，

可知()是增函數(shù)，故由2-3-<2-3-，可得<，所以->0?-+1>1，從而ln(-+1)>0，故選A。

將含和含的各一邊放一起，觀察到其結(jié)構(gòu)是一致的，很明顯是同一個函數(shù)的兩個不同變量構(gòu)成的，借助構(gòu)造出來的函數(shù)單調(diào)性來求解。

(2020·新課標(biāo)Ⅰ理數(shù)·12)若2+log=4+2log，則

( )

A>2B<2

C>D<

∵4+2log=22+log=22+log=22+log2-1，

∴2+log=22+log2-1。

設(shè)()=2+log，利用作差法結(jié)合()的單調(diào)性即可得到答案。

∵4+2log=22+log=22+log=22+log2-1，

∴2+log=22+log2-1，故2+log<22+log2。

設(shè)()=2+log，則()為增函數(shù)，

所以()<(2)，所以<2。

()-()=2+log-(2+log)=22+log-(2+log)=22-2-log，

當(dāng)=1時，()-()=2>0，此時()>()，有>；

當(dāng)=2時，()-()=-1<0，此時()<()，有<，所以C、D錯誤。

故選B。

基本策略是：“左右形式相當(dāng)，對比明顯，容易新構(gòu)建一個函數(shù)”，最后再使用新的構(gòu)建函數(shù)判斷出單調(diào)性再解題。

若+ln=2+ln，則

( )

A<2B>2

C>D<

又由+ln=2+ln，必有()<(2)，即<2，

故選：A。

二、 進(jìn)階部分

二輪導(dǎo)數(shù)章節(jié)復(fù)習(xí)之后不一定要做到面面俱到，而是要把握重點(diǎn)、聚焦難點(diǎn)、力求突破難點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)章節(jié)中主要復(fù)習(xí)解決不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍、證明不等式的一種思路：指對函數(shù)同構(gòu)。通過對指對函數(shù)同構(gòu)問題的多級設(shè)計，實(shí)現(xiàn)知識的層層解析，思維的步步深入，方法的自然遷移。教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生面對新問題時主動聯(lián)想已解決問題運(yùn)用的各種策略，通過觀察、判斷、分析、比較尋得新問題的解決方法。在問題的逐級遞進(jìn)中，讓學(xué)生逐漸領(lǐng)悟解決該類問題常用的思想方法，并在此基礎(chǔ)上優(yōu)化方法，從而讓學(xué)生活用知識，升華思想，提高能力。通過習(xí)題的訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會識別題目的類型、聯(lián)想方法，在各種不一樣的函數(shù)情境中看破題目考查的本質(zhì)，尋找解題的規(guī)律，“以不變應(yīng)萬變”。

新高考數(shù)學(xué)不僅在題型上，也在試卷結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了創(chuàng)新性的改革，新加入了多選題型及結(jié)構(gòu)不良的試題。新增的多選題，絕對是改革的一個亮點(diǎn)，為不同學(xué)習(xí)能力水平的同學(xué)開了個新視界，按能力需求分配時間，也按能力水平高低考核到各個層次的同學(xué)。高考數(shù)學(xué)中引入了結(jié)構(gòu)不良試題，如果將指對同構(gòu)放入結(jié)構(gòu)不良問題中就能夠更有效地考查學(xué)生建構(gòu)解釋數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題能力。結(jié)構(gòu)不良問題中，學(xué)生處于絕對主體的地位，自己掌控要讓哪些成為條件哪些成為結(jié)論，對數(shù)學(xué)理解能力和數(shù)學(xué)探究能力的考查是十分積極并且深刻的。

所以在復(fù)習(xí)的過程中，要將新題型與同構(gòu)函數(shù)相結(jié)合，知識點(diǎn)的考查更靈活多變，按照新高考的要求，在復(fù)習(xí)備考中要指引學(xué)生將問題歸類，識別題目的類型、聯(lián)想方法，歸納方法，注重每個題目與其他題之間的關(guān)聯(lián)，在各種函數(shù)的不同設(shè)計情境中看破題目考查的本質(zhì)，從而在數(shù)不勝數(shù)、無窮無盡的數(shù)學(xué)題目中找到突破的方法，用恰當(dāng)?shù)?、最?yōu)的構(gòu)造函數(shù)的方法解決問題。

指對函數(shù)同構(gòu)式到底是什么？同構(gòu)式是來自指對超越不可解的問題，+與+ln的方程或不等式屬于超越方程超越不等式，而+ln更是屬于超過了一般高中的函數(shù)，所以正常處理這類函數(shù)問題，在高中課堂沒有解決它的通式通法，只能通過隱零點(diǎn)替換來化簡，就是利用、、ln三者之間相互變換，即=ln，=ln簡化了分析，最后才得以計算求解。

同構(gòu)式能解決什么問題？

同構(gòu)式是一種超越的復(fù)合函數(shù)，也就是復(fù)合函數(shù)如果能解決的，構(gòu)建了同構(gòu)形式也能解決。在高考中出現(xiàn)的參數(shù)范圍、零點(diǎn)個數(shù)或證明不等式，都能利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，來快速解題。

同構(gòu)式怎么構(gòu)造？如何選取函數(shù)？

同構(gòu)式需要先構(gòu)建一個從變形的左右邊形式一樣的函數(shù)，我們暫時稱為外函數(shù)，這個函數(shù)要做到：①指對數(shù)超越形式；②最值容易求得，函數(shù)單調(diào)性易證易得。

必須知道的前期知識：

常見同構(gòu)式：

ln與型：ln=lnln，=ln；+ln與+型：+ln=ln+ln，+=ln+。

( )

則()>()，

當(dāng)∈(0，1)時，″()<0，當(dāng)∈(1，+∞)時，″()<0，

∴′()=′(1)=2>0，所以()在(0，+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)∈(0，)時，′()>0，()單調(diào)增，

當(dāng)∈(，+∞)時，′()<0，()單調(diào)減，

故選：A。

三、 結(jié)構(gòu)不良新題型

已知函數(shù)()=-ln(+2)+ln-2，

(1)若()在=0處取得極值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

(2)請在下列兩問中選擇一問作答，答題前請標(biāo)好選擇。如果多寫按第一個計分。

①若()≥0恒成立，求的取值范圍；

②若()僅有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍。

(1)略

(2)若選①：

因?yàn)?)≥0恒成立，則-ln(+2)+ln-2≥0恒成立，

整理可得+ln++ln≥ln(+2)++2恒成立，

即+ln++ln≥ln(+2)+ln(+2)恒成立，

令()=+，

則(+ln)≥(ln(+2))恒成立，

因?yàn)椤?)=+1>0恒成立，

則()為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以+ln≥ln(+2)恒成立，即ln≥ln(+2)-恒成立，

令()=ln(+2)-，<-2，

當(dāng)-2<<-1時，′()>0，則()單調(diào)遞增，

當(dāng)>-1時，′()<0，則()單調(diào)遞減，

所以()在=-1處取得極大值，即最大值(-1)=1，

故ln≥-1，解得≥，

所以的取值范圍為[，+∞)；

若選②：

因?yàn)?)僅有兩個零點(diǎn)，即-ln(+2)+ln-2=0在(-2，+∞)上有兩個根，

整理可得+ln++ln=ln(+2)++2，

即+ln++ln=ln(+2)+ln(+2)，

令()=+，

則(+ln)=(ln(+2))，

因?yàn)椤?)=+1>0恒成立，

則()為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以+ln=ln(+2)，即ln=ln(+2)-在(-2，+∞)上有兩個根，

令()=ln(+2)-，<-2，

當(dāng)-2<<-1時，′()>0，則()單調(diào)遞增，

當(dāng)>-1時，′()<0，則()單調(diào)遞減，

所以()在=-1處取得極大值，即最大值(-1)=1，

要想ln=ln(+2)-在(-2，+∞)上有兩個根，

只需ln<1，解得0<<，

所以的取值范圍為(0，)。

和上面講的相吻合，引入了結(jié)構(gòu)不良試題，學(xué)生處于絕對主體的地位，自我掌控要解決問題的方向，因勢利導(dǎo)，順勢而動，這對數(shù)學(xué)理解能力和數(shù)學(xué)探究能力的考查是十分積極并且深刻的。

四、 高考真題再現(xiàn)

(2020年新高考山東卷21)已知函數(shù)()=-1-ln+ln。

(1)當(dāng)=時，求曲線=()在點(diǎn)(1，(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若()≥1，求的取值范圍。

解：(1)當(dāng)=時，()=-ln+1，

∴′(1)=-1，

∵(1)=+1，

∴曲線=()在點(diǎn)(1，(1))處的切線方程為-(+1)=(-1)(-1)，

(2)方法一：由()≥1，可得-1-ln+ln≥1，即-1+ln-ln+ln≥1，

即-1+ln+ln+-1≥ln+=ln+ln，

令()=+，則′()=+1>0，∴()在上單調(diào)遞增，

∵(ln+-1)≥(ln)，∴l(xiāng)n+-1≥ln，

即ln≥ln-+1，令()=ln-+1，

當(dāng)>1時，′()<0，函數(shù)()單調(diào)遞減，∴()≥(1)=0，

∴l(xiāng)n≥0，∴≥1，

故的范圍為[1，+∞)。

又因?yàn)楹瘮?shù)=ln在(1，+∞)單調(diào)遞增，

方法一用到了上文同構(gòu)中的和差型，方法二用到了上文同構(gòu)中的積型中=ln的形式。兩種解法對比下來，可以明顯地看到指對同構(gòu)在處理這類問題時的確有獨(dú)到的地方，另外，本題還有其他的解法，就不一一展示了。

構(gòu)建指數(shù)對數(shù)型函數(shù)解析式有靈活的技巧，對學(xué)生各種能力的考查要求都很高，比如觀察、變形，因此，在復(fù)習(xí)備考教學(xué)中，必須熟練掌握幾種常見的同構(gòu)函數(shù)式和三種常用模型，更要注重從本質(zhì)上讓學(xué)生領(lǐng)會，透過題目表面看出實(shí)質(zhì)，并能配湊系數(shù)常數(shù)。

新高考復(fù)習(xí)備考中要遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，一輪抓基礎(chǔ)，步步為營，穩(wěn)扎穩(wěn)打。落實(shí)各種基礎(chǔ)能力，在復(fù)習(xí)指對同構(gòu)題型的設(shè)計上，在基礎(chǔ)扎實(shí)的二輪復(fù)習(xí)上再去提高，做到學(xué)有余力，學(xué)而不亂體系清晰，不盲目的拔高學(xué)生的需求，在立德樹人中提升學(xué)生高考數(shù)學(xué)的素養(yǎng)。

高考改革后數(shù)學(xué)考試就統(tǒng)一文理不再分科，也關(guān)注高校對中學(xué)生人才的選拔的要求和數(shù)學(xué)在中學(xué)人才培養(yǎng)中的作用。依據(jù)《新高考過渡期數(shù)學(xué)科考試范圍說明》，科學(xué)的設(shè)計考試考查的內(nèi)容，并將這部分內(nèi)容確定為過渡時期的高考數(shù)學(xué)考查內(nèi)容。新高考Ⅰ卷的試題全面貫徹了新高考數(shù)學(xué)中的考試內(nèi)容要求。對高校而言，希望能招收到合作互助型的學(xué)生，這就強(qiáng)調(diào)了學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中也需要相互交流和合作探究，要鼓勵他們窮于探索，敢于探索，用自己的思維來思考觀察這個世界，培養(yǎng)他們果敢的毅力，合作交流的團(tuán)隊精神，歸納反思的良好習(xí)慣。