孫玉芹，王亞文，朱威，李彥

(上海電力大學數理學院，上海市 200090)

0 引 言

電力負荷預測是電力公司進行能源管理的關鍵。作為電力領域研究的重要問題，電力負荷預測既能為電力系統(tǒng)的安全運行提供保障，又可以為制定供電計劃提供有效的理論支持[1]。所以，具有較高預測精度的負荷預測方法，是理論研究的重點。由于電力負荷往往會受到多種因素的影響，電力負荷常表現為非線性、非平穩(wěn)和周期性[2-3]，導致其精確預測的難度也隨之提高。

目前，常用的短期電力負荷預測的方法主要有：統(tǒng)計學方法[4-10]、傳統(tǒng)機器學習方法[11-16]和深度學習方法[17-20]。其中，統(tǒng)計學方法分為兩類，一類是時間序列建模方法。文獻[4]針對電力負荷序列的波動性，使用區(qū)間時間序列向量自回歸模型提高了負荷預測精度。文獻[5]結合Java的多線程技術，基于自回歸差分移動平均(autoregressive integrated moving average，ARIMA)模型實現了R語言在電力負荷預測中的高效并行運算。文獻[6]考慮溫度對夏季電力負荷的影響，利用帶有協(xié)變量的ARIMA模型提高了負荷的預測精度。文獻[7]首次采用自激門限自回歸(self-excitation threshold autoregressive，SETAR)模型對日負荷進行預測，解釋了負荷序列的非線性特征。雖然上述方法相對簡單易行、計算速度較快，但是只將氣溫和負荷非線性特性兩個因素中的一種作為研究內容。另一類是以時間序列模型為基礎的組合模型方法。文獻[8]構建了季節(jié)自回歸差分移動平均、廣義回歸神經網絡和支持向量機三者結合的組合模型；文獻[9]提出了ARIMA和在線循環(huán)神經網絡的組合模型；文獻[10]采用集合經驗模式分解的方法，并結合長短期記憶網絡和ARIMA模型對負荷進行短期預測。這些文獻使用的方法與單一模型相比，在負荷預測精度上提高不少，但模型機理和內置參數復雜，對硬件配置要求較高，需要大量的數據訓練模型才能發(fā)揮機器學習的優(yōu)勢，在小容量數據下的預測效果較差；當處理不同的數據時，通常需要反復地調整超參數，建模所需時間成本較高[21]。

本文在考慮氣溫對負荷影響的同時，兼顧負荷的非線性特征，利用氣溫與居民用電負荷的關系，以氣溫突變點為門限，將居民用電負荷時間序列分為兩段，每段為一個機制。根據負荷時間序列的非線性特征，建立以氣溫為協(xié)變量的門限自回歸移動平均(threshold autoregressive moving average with exogenous variable，TARMAX)模型。利用氣象預報30天的氣溫預報功能，對不同氣溫影響下的浙江省西南某地級市居民日用電負荷進行預測。實例結果表明：該方法在居民用電負荷預測方面表現更優(yōu)。

1 居民用電負荷的非線性特征

1.1 氣溫與居民用電負荷的相關性分析

許多研究表明：影響居民用電負荷的主要因素有各種氣象因素、節(jié)假日、重大事件等，其中氣溫的影響最大[22-23]。隨著生活水平的提高，用戶對生活舒適度的追求也相應提高，在溫度較高或較低時，都采用風扇、空調或取暖設備等保持適宜的溫度環(huán)境。特別是在極端氣溫情況下，長時間且大量地使用設備更容易增大負荷的峰谷差，影響全網的供電質量。而且居民用電負荷和氣溫的時間序列都具有非線性特征，如圖1所示，給負荷分析和預測造成不便。

圖1 某居民用電負荷與最高氣溫的時間序列圖

通常采集到的氣溫數據有最高氣溫、最低氣溫和平均氣溫，三者與負荷的相關度大小由相關系數判斷。

Pearson相關系數計算如式(1)所示：

(1)

以浙江省西南某地級市2017年8月份氣溫與負荷數據為例，表1給出了氣溫與居民用電負荷的Pearson相關系數。通過分析表明：最高氣溫對居民用電負荷的影響最大，故將最高氣溫作為負荷協(xié)變量的最佳選擇。

表1 氣溫與居民用電負荷的相關度

1.2 居民用電負荷的門限效應

圖2為浙江省西南某地級市2017年居民用電負荷和日最高氣溫的散點圖。最高氣溫存在“拐點”，又稱為突變點，將負荷序列分為兩個集群。若以該突變點為門限，門限左側的負荷序列與最高氣溫表現為負相關，右側表現為正相關。

圖2 居民日用電負荷-日最高氣溫散點圖

如圖3所示，大于30 ℃?zhèn)群托∮?0 ℃?zhèn)鹊呢摵蓴祿c均不連續(xù)，所以不能分別對兩個負荷群建立時間序列模型。針對此類負荷時間序列，本文建立以氣溫為協(xié)變量、氣溫突變點為門限的雙體制TARMAX模型?；赥ARMAX模型，從整體負荷序列出發(fā)，通過比較日最高氣溫與氣溫突變點的大小，居民負荷時間序列被分配到2個機制中。

圖3 兩側負荷序列圖

2 TARMAX負荷預測模型

給定電力負荷時間序列，TARMAX模型[24]結構如下：

(2)

基于TARMAX模型的負荷預測流程如圖4所示，隨機搜索變量算法得到的最優(yōu)模型結構中只包含影響顯著的滯后項。

圖4 負荷預測流程圖

2.1 氣溫突變點搜尋

利用以貝葉斯定理為核心的馬爾科夫鏈蒙特卡洛(Markov chain Monte Carlo，MCMC)算法搜尋氣溫突變點，需要求得氣溫突變點的條件后驗分布。

2.1.1 氣溫突變點的條件后驗分布

模型式(2)似然函數的矩陣形式近似如下所示：

(3)

式中：n1、n2分別是兩個機制中負荷序列的數量；Θk是系數的列向量；Yk是第k個機制中負荷的列向量；Xk是由往期負荷時間序列構成的矩陣。

根據模型參數的先驗信息[24]，參數的條件后驗分布如式(4)—(7)所示。

參數1：服從多元正態(tài)分布：

(4)

參數2：服從逆伽馬分布：

(5)

參數3：氣溫突變點的條件后驗分布是非標準分布，近似形式如下：

(6)

參數4：d的條件后驗概率函數如下：

(7)

式中：d0是d的超參數。

2.1.2 氣溫突變點采樣

基于條件后驗分布的MCMC采樣步驟如下：

f=min{1,p(r*)/p[r(m-1)]}

(8)

步驟4：記錄每次的迭代值，再重復步驟2—3。

2.2 負荷預測模型的確立

負荷模型的結構取決于時間序列模型的滯后項。本文應用隨機搜索變量方法[25]選擇影響顯著的模型系數，以確定模型結構，避免了從龐大的模型群(數量級為107)中篩選最佳模型的困擾。

對于每個可能影響顯著的系數，存在與否分別以取值1或0的潛變量s表示，其概率滿足：P(s=1)=P(s=0)=0.5。此時，模型系數(以自回歸系數為例)的先驗分布如下：

φ|s～(1-s)N(0,τ2)+sN(0,c2τ2)

(9)

式中：τ和c是超參數。

潛變量的條件后驗分布具有伯努利分布形式，s=1的條件概率為：

(10)

式中：聯合概率A=p(φ|s=1)P；Ψ是未知參數的集合；下標-s代表不包括s；聯合概率B=p(φ|s=0)(1-P)；P=0.5；p是模型系數在s取不同值時的條件概率。

2.3 預測評價標準

本文選取平均絕對百分比誤差(mean absolute percentage error, MAPE)、均方根誤差(root mean squared error, RMSE)、平均絕對誤差(mean absolute error,MAE)、平均百分比誤差(mean percentage error，MPE)和平均誤差(mean error, ME)判斷模型的預測效果，部分誤差的計算式分別為：

(11)

(12)

(13)

3 算例分析

3.1 數據來源及預處理

實驗選取浙江省西南某地級市2017年5月1日到2020年3月31日的居民日平均用電負荷數據。數據取自然對數，使用遞歸時間窗口預測。為了驗證模型在不同氣溫下的有效性，將2017年5月1日到預測月份前一日的數據作為訓練集，分別對2019年6月、9月、12月以及2020年3月等4個不同季節(jié)的居民用電負荷進行預測。

3.2 超參數的設置

Vk取值為對角矩陣diag(0.1,0.1,0.1)；門限的超參數可以根據負荷-溫度散點圖確定，圖2中氣溫的突變點在30 ℃左右，故先驗分布U(a,b)中的a與b分別取氣溫的20%和80%分位數；αk=1，βk=0.5；d0取為4；用于模型選擇的超參數的取值應滿足：(τ,c)=(σ/4,20)，其中，σ是系數φ的標準差；將不同階數的模型殘差帶入赤池信息準則(akaike information criterion, AIC)中，當 AIC最小時，模型最大的滯后階數取5。整個MCMC過程執(zhí)行5 000次，將前1 000次作為燃燒期，為了降低初始值的影響，獲得近似獨立的樣本，本文在剩余樣本中每隔10個抽取一個用于統(tǒng)計計算，將樣本的均值作為參數的估計值。

3.3 模型確立結果

如圖5所示，氣溫突變點(取對數)的采樣值集中在3.45附近，累計均值表明樣本最終收斂。該采樣值對應的實際氣溫為31.5 ℃，與預期的氣溫突變點相近。

圖5 氣溫突變點的采樣結果

在上述氣溫突變點的基礎上，對模型系數進行選擇。如圖6所示，以每個系數的潛變量的后驗概率大于0.5作為系數選擇的標準[25]，模型的形式最終確定為：

圖6 負荷預測模型的選擇結果

(14)

3.4 預測結果分析與對比

圖7為不同模型對2019年6月居民用電負荷的預測負荷曲線。從圖7中可以看出，TARMAX模型的預測值(紅色折線)接近負荷的真實值(黑色折線)，預測效果較好；同時，TARMAX模型在峰谷處的預測具有一定優(yōu)勢。而帶協(xié)變量的自回歸移動平均(autoregressive moving average with exogenous variable, ARIMAX)和ARIMA模型的負荷曲線表現為：以真實負荷曲線為中心上下變化，且變化幅度較大。

圖7 2019年6月居民用電負荷預測結果

表2給出了不同模型的預測誤差結果。其中，TARMAX模型的MAPE值為4.167%，與ARIMAX模型相比提高了3.762%；RMSE值為6.833%，相比ARIMAX模型降低了3.753%。表明TARMAX模型的預測精度高于線性時間序列模型。同時，TARMAX模型在小數據量下的預測效果明顯優(yōu)于LSTM和MLP。

表2 2019.6居民用電負荷預測精度

3.5 不同季節(jié)負荷預測效果對比

為了進一步驗證所提方法的有效性，本文對浙江省西南某地級市2019年9月和12月、2020年3月的居民用電負荷進行預測。不同模型的預測結果如圖8至10所示，相比其他模型，TARMAX模型的預測精度更高，且在不同季節(jié)的預測表現都較平穩(wěn)。

圖8 2019年9月居民用電負荷預測結果

圖9 2019年12月居民用電負荷預測結果

圖10 2020年3月居民用電負荷預測結果

表3給出了不同月份的預測誤差指標的對比結果。從表3可以看出：TARMAX模型的誤差均低于其他模型，MAPE的值基本為ARIMAX模型的一半，相比之下RMSE和其他誤差指標也較低；雖然ARIMAX模型的預測誤差略低于ARIMA模型，但該模型未考慮非線性因素，所以預測效果略差?？傮w來說，TARMAX模型在居民用電負荷預測方面效果更優(yōu)，該模型對不同季節(jié)氣溫影響下的居民用電負荷均有良好的適應能力。

表3 不同月份居民用電負荷預測精度

根據文中1.1節(jié)所述，平均氣溫與負荷的相關系數略小于最高氣溫的相關系數，為了驗證平均氣溫對居民用電負荷的影響大小，表4給出了以平均氣溫為協(xié)變量的TARMAX模型的預測結果。通過與以最高氣溫為協(xié)變量的預測結果相比可以看出：兩者的預測誤差較為接近，表明平均氣溫對負荷也有重要的影響。

表4 以平均氣溫為協(xié)變量的預測精度

圖11為2014年1月到2016年8月浙江省西南某地級市和北京市的月用電負荷-月平均最高氣溫散點圖，月負荷數據由一個月中每日平均負荷數據累加得到?？梢钥闯觯罕本┑貐^(qū)的負荷也存在門限效應，與浙江地區(qū)相比，由于地域因素，其門限值小于浙江地區(qū)的門限值。所以本文所提方法在北方地區(qū)同樣適用。

圖11 不同地區(qū)負荷-氣溫散點圖

4 結 論

本文充分利用氣溫與居民用電負荷之間的關系，發(fā)現了居民用電負荷時間序列的門限效應。針對此類非線性特征，以氣溫為協(xié)變量、氣溫突變點為門限，建立了非線性TARMAX模型。所建模型克服了傳統(tǒng)線性時間序列模型對非線性時間序列擬合的困境；同時，加入了外源因素——氣溫，進一步提高了預測精度。文中應用MCMC算法搜尋到了氣溫突變點，反映了居民用電負荷的非線性特征。其次，根據隨機搜索變量方法高效地選擇出模型系數，提高了算法的實際應用價值。通過實例對不同季節(jié)下的居民用電負荷進行了預測。結果表明：TARMAX預測效果優(yōu)于傳統(tǒng)線性時間序列模型、LSTM和MLP，驗證了該方法在負荷預測方面的有效性，且能適應氣溫較大幅度變化。

本文所用算法可以與機器學習、深度學習相結合，構成新的組合模型來進一步提高負荷預測精度；由于在協(xié)變量的選擇上考慮了氣溫因素，因此，預測的效果會受到天氣預報準確度的影響；同時，在今后的研究中，可以考慮多重氣象因素對電力負荷的影響。