楊云，張小強*,b,c，徐新昊

（西南交通大學(xué)，a.交通運輸與物流學(xué)院；b.綜合交通大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)國家工程實驗室；c.綜合交通運輸智能化國家地方聯(lián)合工程實驗室，成都 611756）

0 引言

我國高鐵快速發(fā)展的同時，負債也在持續(xù)增加。根據(jù)國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，2021年中國鐵路總公司總負債增至5.76 萬億元，較2019年同期增加4900億元。提升運營管理與盈利水平，已成為我國高鐵亟待解決的問題。由于客流具有較為明顯的高峰和低谷特征，而固定票價不能反映列車之間服務(wù)的差異性，無法有效改變客流分布特征。造成高峰時段出行需求大于供給，客流流失，從而影響鐵路企業(yè)收益。2015年12月國家發(fā)改委出臺文件允許高鐵票價實行市場調(diào)節(jié)，鐵路企業(yè)可以依據(jù)相關(guān)法律法規(guī)自主定價，部分鐵路企業(yè)已經(jīng)開始根據(jù)客流出行規(guī)律，對不同時段車次實施差別定價。結(jié)果表明，差別定價可以調(diào)節(jié)高峰時段、非高峰時段客流分布。在非高峰時段采用折扣票價，能夠吸引更多的旅客選擇高鐵出行。但當(dāng)前差別定價主要以經(jīng)驗為主，理論方法欠缺，差別定價不盡合理。

目前在確定交通方式或高鐵各車次對旅客的出行價值時，以效用理論最為常用。通過計算效用值大小確定旅客偏好程度，進而采用MNL（Multinomial Logit）、NL（Nested Logit）模型或均衡配流方法，計算各交通方式或車次的客流量。趙翔等[1]以旅行時間、票價和舒適度為效用函數(shù)影響因素，采用MNL 模型研究在隨機客流需求和多交通方式競爭條件下的旅客選擇偏好。趙鵬等[2]認為旅客對平行車次選擇具有明顯差異性，出發(fā)時段是影響旅客選擇的關(guān)鍵要素，在效用函數(shù)里加入了時段價值。趙鵬等[3]以票價、運行時間和時段價值為效用函數(shù)影響因素，采用均衡配流方法研究旅客對平行車次的選擇偏好。蔡鑒明等[4]考慮運行時間、發(fā)車時段和舒適性這3個因素，進行市場細分確定不同類別旅客的效用函數(shù)。這些研究在計算出行效用時，假定旅客是完全理性的，得到的都是絕對效用值。Tversky[5]通過大量行為心理學(xué)實驗提出前景理論，認為決策者在決策過程中是有限理性個體，其效用值跟自身的認知水平和風(fēng)險態(tài)度等相關(guān)，并以前景值替代效用值。景云等[6]基于前景理論計算前景值，研究旅客在有限理性下對高鐵列車類型的定價情況。后來兩位學(xué)者[7]又在研究中發(fā)現(xiàn)，前景理論存在不能滿足隨機占優(yōu)的局限，將其改進為累積前景理論，被廣泛應(yīng)用在經(jīng)濟學(xué)、社會心理學(xué)等領(lǐng)域。在差別定價方面，江文輝等[8]認為固定票價不能反映車次間的差異和旅客需求狀況，造成平行車次間客座率失衡和收入損失，并提出3種差別定價方案。李博等[9]針對平行車次客座率不均衡的情況，以兩列車整體收益最大為目標(biāo)，確定最優(yōu)定價與預(yù)售時間和剩余席位之間的關(guān)系。景云等[10]考慮公路競爭條件下，對京津城際鐵路進行分時定價，均衡不同時段客流和提升鐵路部門收益。

上述高鐵差別定價研究較少考慮時段價值因素和旅客的有限理性特征，且未對時段價值進行量化。本文針對以上不足，首先對旅客進行分類，再計算時段價值，然后基于累積前景理論建立各類旅客感知效用函數(shù)。以鐵路企業(yè)為上層決策者，旅客為下層決策者，構(gòu)建以鐵路企業(yè)收益最大化，旅客廣義出行費用最小為目標(biāo)的分時差別定價雙層規(guī)劃模型，采用基于靈敏度分析的啟發(fā)式方法求解。最后以中短途城際線路邕北線為例進行驗證。

1 基于累積前景理論的異質(zhì)旅客出行效用函數(shù)構(gòu)建

為準(zhǔn)確刻畫旅客的出行效用，依據(jù)旅客自身屬性和出行特征進行潛在類別劃分。然后考慮旅客選擇的有限理性，建立列車產(chǎn)品出行效用模型，以累積前景值作為異質(zhì)旅客選擇不同產(chǎn)品的效用值。

1.1 基于LCA潛在類別的旅客分類思路

由于旅客群體的異質(zhì)性，其對不同列車產(chǎn)品會表現(xiàn)出差異化的乘車選擇行為。對于同一客流OD，客流所選擇的各備選列車間的差異主要體現(xiàn)在發(fā)車時段、運行時間、票價等方面有所差異。對于普遍小于300 km 的城際列車來說，影響旅客選擇的主要因素為發(fā)車時段和票價。

劃分旅客潛在類別時，假定旅客的外顯變量E、F、H的水平組合為{e,f,h} ，旅客的潛在類別概率為

式中：X為潛在變量；t為潛在類別；為{e,f,h} 屬性水平組合的類別概率與條件概率、、計算值的積；為各類別求和后聯(lián)合概率的極大似然估計。這種潛在類別模型分類與傳統(tǒng)聚類方法相比，優(yōu)點在于可以處理分類數(shù)據(jù)，采用極大似然法進行參數(shù)估計，能更精確地計算類別數(shù)量[11]。

1.2 異質(zhì)旅客累積前景值計算

累積前景理論的一個重要特征是參考點取值非常關(guān)鍵，異質(zhì)旅客對同一影響因素的心理參考點不同，使得相同決策對不同旅客產(chǎn)生的感知效用也有差異。第n種出行決策影響因素的累積前景值計算如下。

假設(shè)因素n取值x（n）近似服從均值為μ，方差為σ的正太分布n（μn,σ2n）。將取值等分成r+s+1等份，r、s為整數(shù)。取每一等分段的中值作為決策方案結(jié)果，有為劃分第r、s段的中值。每等分段上的概率分布值作為相應(yīng)概率，第r、s等分段對應(yīng)的概率分別為。第m類旅客對該因素的心理參考點，計算各決策結(jié)果，確認為因素n對第m類旅客的收益（＞0）或損失（＜0）。

第n種影響因素對第m類旅客的價值函數(shù)為

式中：α，β為風(fēng)險偏好系數(shù)；λ為損失規(guī)避系數(shù)。

由于風(fēng)險偏好依賴于參考點，異質(zhì)旅客的參考點不一樣，風(fēng)險偏好系數(shù)也不一樣[12]，第m類旅客的風(fēng)險偏好系數(shù)為

式中：ζ為規(guī)模參數(shù)，ζ≤1；M為旅客劃分的類別總數(shù)；xm,o，xM,o分別為第m和M類參考點。參考點越小，個體對相同大小的變化越敏感。各類旅客價值函數(shù)如圖1所示。

圖1 異質(zhì)旅客的價值函數(shù)Fig.1 Value function of heterogeneous passengers

價值函數(shù)需結(jié)合決策概率權(quán)重函數(shù)對累積前景值進行測度。

式中：g為車次j選擇概率；w-、w+為決策概率權(quán)重函數(shù)；η、θ為概率感知參數(shù)，Tversky 等[7]給出其取值為η=0.61，θ=0.69。累積決策權(quán)重克服了前景理論決策權(quán)重函數(shù)不滿足一階隨機占優(yōu)的局限性，即

式中：R、S為價值函數(shù)為負值和正值的個數(shù)；gm,R、gm,S分別為價值最小、最大方案的概率；、為累積權(quán)重函數(shù)。則第n種決策影響因素對第m類旅客的累積前景值為

1.3 各時段價值量化

參照文獻[2]的方法，以某線路基準(zhǔn)票價p為基礎(chǔ)。當(dāng)其他影響因素不變時，通過問卷調(diào)查獲得旅客的偏好出行時段，以及旅客愿意從偏好出行時段轉(zhuǎn)到其他票價打折時段出行的票價折扣率（取值分別為0.6、0.7、0.8 和0.9 折）。則愿意為偏好出發(fā)時段ψ轉(zhuǎn)移到其他時段所支付的折扣票價為該時段的價值dψ。

式中：ψ為劃分的時段數(shù)；n1、n2、n3和n4為折扣下的轉(zhuǎn)移旅客數(shù)，對應(yīng)票價折扣為0.9，0.8，0.7和0.6。

1.4 基于累積前景理論的異質(zhì)旅客出行效用計算

根據(jù)第m類旅客第j列車的發(fā)車時段和票價兩個影響因素分別計算累積前景值dj,m和pj,m為

綜合上述兩個因素的累積前景值，第j列車第m類旅客的綜合感知效用為

式中：為某段的時段價值；為某段的票價價值；εj,m為不可觀測費用隨機項。

2 城際列車分時定價雙層規(guī)劃模型

城際列車分時定價即根據(jù)列車發(fā)車時段的價值差異制定不同的票價，具體表現(xiàn)為不同時段開行具有相同方案特征的列車車次票價不一樣。由于異質(zhì)旅客對不同票價需求不同，結(jié)合不同時段旅客出行需求差異和有限理性選擇，利用票價調(diào)節(jié)各時段異質(zhì)旅客分布，兼顧雙方利益。因此，可構(gòu)建鐵路企業(yè)收益最大，旅客出行感知廣義費用最小的雙層規(guī)劃模型來確定各時段的最優(yōu)票價。

2.1 模型假設(shè)

由于分時定價最終體現(xiàn)在不同時段的車次定價與客流關(guān)系上，對分時定價做出以下假設(shè)：

（1）以2 h 為一個時段對列車發(fā)車時間進行劃分，同一時段內(nèi)開行的所有車次時段價值相同，具有統(tǒng)一的時段定價。

（2）旅客為有限理性，選擇感知費用最小的客運列車產(chǎn)品。

（3）城際列車客流需求與出行感知廣義費用相關(guān)，客流量隨著價格變化而變化。

2.2 上層規(guī)劃模型

高鐵各時段車次定價雙層規(guī)劃模型的上層決策者為鐵路運營企業(yè)，下層決策者為旅客。上層模型以鐵路企業(yè)在各OD 對獲得的客票收入最大化為目標(biāo)。

式中：W為OD 對總數(shù)；N為列車總數(shù)；M為旅客總類別數(shù)；p（w）j為OD 對w間第j趟列車的票價為票價為p時第m類旅客選擇j趟列車OD 對w間的客流量，隨票價而變化；、分別為OD 對w間第j趟列車票價的上、下限，設(shè)票價浮動范圍為基準(zhǔn)價的上、下20%。

2.3 下層規(guī)劃模型

下層模型根據(jù)上層模型決策出的價格進行客流量分配，目標(biāo)是以旅客出行感知廣義費用最小。

式中：（x）為旅客在第j趟列車OD 對w的廣義費用；Q（w）為OD 對w間客流量之和?？紤]高鐵旅客需求量會隨高鐵廣義出行費用的變化而變化，構(gòu)建彈性需求模型[13]，不同OD 對w間的彈性需求函數(shù)為

式中：A、B分別為OD 對w兩城市的相關(guān)系數(shù)；h（u（w））為最小廣義出行費用u（w）的函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)。下層模型改進為

式中：（x）為需求函數(shù)的反函數(shù)，隨著需求總量Q（w）單調(diào)遞減。引入需求函數(shù)后，模型轉(zhuǎn)化為彈性需求問題，由于彈性需求問題求解相對困難，增加一個虛擬列車次將彈性問題轉(zhuǎn)換為固定需求問題求解。該虛擬車次的加載需求e（w）和阻抗函數(shù)Lw（e（w））分別為

則彈性需求問題可轉(zhuǎn)換為固定需求問題，式（18）可轉(zhuǎn)換為

采用冪函數(shù)形式的廣義費用函數(shù)，可觀測廣義出行費用采用異質(zhì)旅客綜合感知費用，構(gòu)建客流分配模型為

式（26）為OD對w第m類旅客等于該類旅客的上限；式（27）為第j列車次所有類別旅客之和小于等于第j列車次容量；式（28）為第j列車次第m類旅客大于等于0。

3 算法設(shè)計

雙層規(guī)劃模型的求解方法有多種，本文采用基于靈敏度分析的粒子群算法進行求解。該方法主要是確定上、下層模型中，車次各類旅客量與票價間的反應(yīng)公式，通過靈敏度分析法得到第m類旅客流量與車次j票價的導(dǎo)數(shù)，并在某個可行解處泰勒展開，將反應(yīng)式線性近似為

式中：為車次j的第m類旅客均衡配流下的最優(yōu)解。

將線性近似函數(shù)代入上層模型求解得到新票價，采用粒子群算法反復(fù)迭代得到最優(yōu)解。算法流程如圖2所示，具體步驟如下。

圖2 算法流程Fig.2 Algorithm flowchart

Step 1 初始化票價。確定粒子群規(guī)模U，每個粒子的位置和速度vi，設(shè)置最大迭代次數(shù)Gger，迭代步數(shù)i=0。

Step 2 確定反應(yīng)函數(shù)。利用靈敏度分析法得到車次j第m類旅客流量對票價的導(dǎo)數(shù)，并最終確定反應(yīng)函數(shù)的線性近似函數(shù)。

Step 3 將種群位置代入下層規(guī)劃，得到車次各類旅客最優(yōu)客流量，利用線性近似函數(shù)求出車次最優(yōu)票價。

Step 4 迭代。xi=xi+1，更新粒子群位置和速度，求解新目標(biāo)函數(shù)值。

Step 5 若i ＞Gger，則停止迭代，輸出最優(yōu)解和。

4 算例分析

以南寧-北海（邕北）城際線路為例，該線長197 km，屬于城際中短途運輸。由于同一時段內(nèi)開行車次較多，任意選擇日常運行的非高峰時段車次D8305和高峰時段車次D8309作為代表性列車，以二等座為例進行分時定價。

4.1 基本數(shù)據(jù)

南寧-北?；鶞?zhǔn)票價為73元，兩車次相關(guān)數(shù)據(jù)如表1 所示，假定每車次為南寧-北海預(yù)留250個席位，則兩列車次該OD 對客流量上限為500人。參數(shù)取值分別為λ=2.25，?=1 3[12]，a=2 ，b=0.4[13]，以票價參考點計算異質(zhì)旅客風(fēng)險偏好系數(shù)。

表1 車次運行參數(shù)Table 1 Train running parameters

為獲取其他相關(guān)數(shù)據(jù)，組織人員于2021年12月23日和24日在南寧東站候車室對邕北線旅客開展RP（Revealed Preference）和SP（Stated Preference）調(diào)查，共發(fā)放400份問卷，收回有效問卷383份。采用Mplus 軟件進行市場細分，得到各種旅客類型。通過問卷獲取每類旅客對影響因素的心理期望支付值，確定參考點取值，詳細情況如表2所示。

表2 異質(zhì)旅客對各影響因素的心理參考點Table 2 Psychological reference points of heterogeneous travelers for each influencing factor

結(jié)合當(dāng)前列車開行方案，假設(shè)列車運行時間為6:00-22:00，以2 h 為一個時段，通過支付意愿確定各時段的價值均值如表3所示。

表3 不同時段價值表Table 3 Value table for different time periods

考慮到其他交通方式的競爭情況，根據(jù)預(yù)留席位，假設(shè)兩車次客流量上限為500，該OD定員人數(shù)需求線性函數(shù)為

新增虛擬車次j為D1，客流量為q0，阻抗函數(shù)為

4.2 分時差別定價方案

通過上文雙層規(guī)劃模型和粒子群算法，對兩個時段的列車進行差別定價優(yōu)化，在粒子群算法中，種群規(guī)模U=20，最大迭代次數(shù)Gger=50，粒子群維數(shù)z=2，學(xué)習(xí)因子c1=c2=0.5，慣性權(quán)重ω=0.9，粒子更新速度vmax=2，vmin=-2，利用Matlab 軟件求解，得到收益函數(shù)的收斂情況如圖3 所示，當(dāng)函數(shù)迭代到20次時，基本保持穩(wěn)定，票價和客流量具體結(jié)果如表4和表5所示。

圖3 收益目標(biāo)函數(shù)收斂圖Fig.3 Revenue objective function convergence plot

表4 兩車次分時定價客流量Table 4 Passenger flow after optimization of two trains

由表4 可知，分時定價均衡了車次間客流，該OD對高峰時段車次D8309總旅客數(shù)減少12人，客座率由100%降到95.2%；非高峰時段車次D8305總旅客數(shù)有增加19 人，客座率由83.6%提高至91.2%。兩車次吸引了更多的旅客選擇高鐵出行，總客流增加7 人，增幅1.53%。調(diào)節(jié)了車次內(nèi)各類旅客占比，在同一車次中，經(jīng)濟型旅客變化比例最大，高峰時段車次降低了50%，非高峰時段車次提升了近67%，高峰時段車次旅客占比最多由休閑型變?yōu)樯虅?wù)型。兩種方案的最終取整票價和收益變化如表5所示。

表5 票價及收益對比Table 5 Fare and revenue comparison table

從表5可以看出，分時定價較基準(zhǔn)定價方案收益增加了829元，提升了2.47%，驗證了方法的有效性。鐵路企業(yè)可以根據(jù)異質(zhì)旅客對不同時段車次的感知效用不同，采用累積前景值，計算不同旅客對不同車次的靈敏度系數(shù)，做到更加精準(zhǔn)化的分時定價。最終通過分時定價改變旅客出行時段，達到均衡客流和調(diào)節(jié)不同車次異質(zhì)旅客構(gòu)成比例的目的，實現(xiàn)把不同時段車票銷售給有相應(yīng)需求的旅客，提高收益。

5 結(jié)論

本文以城際中短途高鐵為例，區(qū)分異質(zhì)旅客出行效用差異，考慮列車的時段價值，基于累積前景理論對不同時段車次進行差別定價，為城際列車差別定價提供新的思路。結(jié)果表明，基于累積前景理論的分時差別定價相對于固定票價可以提高收益約2.5%，能改變不同時段車次客流量的大小，均衡車次間客流。差別定價可以調(diào)節(jié)不同時段車次中異質(zhì)旅客占比，在相同差額票價調(diào)整下，商務(wù)型旅客轉(zhuǎn)移率最小，經(jīng)濟型旅客轉(zhuǎn)移率最大。

由于調(diào)查沒有獲取不同OD 對的數(shù)據(jù)，加之每個時段開行的車次較多，案例分析僅選取單個OD的兩個時段的列車代表該時段進行分時定價，實例驗證具有一定的局限性。邕北線基準(zhǔn)票價不高，票價浮動范圍有限，差別定價對收益影響不大，對商務(wù)型和休閑型旅客敏感性不是特別顯著。本文也沒有考慮運行時間因素的影響，后續(xù)研究中長途高鐵差別定價將做更全面地考慮。